Buku Teks Matematik Tingkatan 2 KSSM

Buku Teks Digital Matematik Tingkatan 2 KSSM

• Matematik T2 – Kandungan
• Matematik T2 – Bab 1 Pola dan Jujukan
• Matematik T2 – Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

• Matematik T2 – Bab 3 Rumus Algebra
• Matematik T2 – Bab 4 Poligon
• Matematik T2 – Bab 5 Bulatan
• Matematik T2 – Bab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi

• Matematik T2 – Bab 7 Koordinat
• Matematik T2 – Bab 8 Graf Fungsi
• Matematik T2 – Bab 9 Laju dan Pecutan
• Matematik T2 – Bab 10 Kecerunan Garis Lurus

• Matematik T2 – Bab 11 Transformasi Isometri
• Matematik T2 – Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat
• Matematik T2 – Bab 13 Kebarangkalian Mudah
• Matematik T2 – Jawapan

atau

• Buku Teks Digital Matematik KSSM Tingkatan 2 (Bab 1 – Bab 13) – Drive 1

• Buku Teks Digital Matematik KSSM Tingkatan 2 (Bab 1 – Bab 13) – Drive 2

p. 1

KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAHMATEMATIKTINGKATAN 2PenulisBahariah binti Hj. BaharamBaharizah binti Hj. Baharam Nurul Jannah binti AhmadNurazreen binti Mohd TahirMohd Nazri bin Mohd HanafiahEditorMohan a\/l NanuMuhammad Nur Syafiq bin JamaluddinNafisah binti Yeop Mohamad KassimPereka BentukMohamad Zairul bin Mohamad KassimWan Nora Ashikin binti Abd RazakIlustratorAhmad Fitri bin Tajudin2017

p. 2

BAB 1iiBab 1 Pola dan JujukanPENGHARGAANKEMENTERIANPENDIDIKANMALAYSIANO. SIRI BUKU: 0062KPM2017 ISBN 978-967-2031-05-5Cetakan Pertama 2017© Kementerian Pendidikan MalaysiaHak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan dalam buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula, disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk atau cara, baik dengan cara elektronik, mekanik, penggambaran semula mahupun dengan cara perakaman tanpa kebenaran terlebih dahulu daripada Ketua Pengarah Pelajaran Malaysia, Kementerian Pendidikan Malaysia. Perundingan tertakluk kepada perkiraan royalti atau honorarium.Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan Malaysia oleh:RIMBUNAN ILMU SDN. BHD.No. 92-G, 92-1 & 92-2, Blok 2, Wisma Salleh Saidin, Jalan Dwi Tasik, Dataran Dwi Tasik, Bandar Sri Permaisuri, 56000 Kuala LumpurTel: 03-91722888 Faks: 03-91734888Emel: rimbunanilmu@gmail.comReka Letak dan Atur Huruf:RIMBUNAN ILMU SDN. BHD. (676602-W)Muka taip teks: TimesSaiz taip teks: 11 poinDicetak oleh:BHS BOOK PRINTING SDN. BHD. (95134-K)Lot 4, Lorong CJ\/1B, Kawasan Perindustrian Cheras, 43200 Cheras,Selangor Darul Ehsan,MalaysiaPenerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama banyak pihak. Sekalung penghargaan dan terima kasih ditujukan kepada semua pihak yang terlibat:•Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks, Kementerian Pendidikan Malaysia. •Jawatankuasa Penyemakan Pembetulan Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks, Kementerian Pendidikan Malaysia. •Jawatankuasa Penyemakan Naskhah Sedia Kamera, Bahagian Buku Teks, Kementerian Pendidikan Malaysia. •Pegawai-pegawai Bahagian Buku Teks dan Bahagian Pembangunan Kurikulum, Kementerian Pendidikan Malaysia.•Ahli panel penilaian dan peningkatan mutu.•Bahagian Editorial dan Bahagian Produksi, terutamanya pereka bentuk dan ilustrator.•Semua pihak yang terlibat secara langsung atau tidak langsung dalam menjayakan penerbitan buku ini.

p. 3

BAB 1iiiBab 1 Pola dan JujukanPendahuluan vSimbol dan Rumus viiBab 1Pola dan Jujukan11.1 Pola21.2 Jujukan71.3 Pola dan Jujukan10Bab 2Pemfaktoran dan PecahanAlgebra182.1 Kembangan212.2 Pemfaktoran272.3Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi Asas Aritmetik34Bab 3Rumus Algebra 423.1 Rumus Algebra44Bab 4Poligon 544.1 Poligon Sekata564.2 Sudut Pedalaman dan Sudut Peluaran Poligon62Bab 5 Bulatan74 5.1 Sifat Bulatan765.2 Sifat Simetri Perentas815.3 Lilitan dan Luas Bulatan86Bab 6Bentuk Geometri Tiga Dimensi98 6.1 Sifat Geometri Bentuk Tiga Dimensi 1006.2 Bentangan Bentuk Tiga Dimensi1026.3 Luas Permukaan Bentuk Tiga Dimensi1046.4 Isi Padu Bentuk Tiga Dimensi110Bab 7Koordinat120 7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes 1227.2 Titik Tengah dalam Sistem Koordinat Cartes1327.3 Sistem Koordinat Cartes 140iii

p. 4

BAB 1ivBab 1 Pola dan JujukanBab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat24412.1 Sukatan Kecenderungan Memusat246Bab 13 Kebarangkalian Mudah276 13.1 Kebarangkalian Eksperimen27813.2 Kebarangkalian Teori yang Melibatkan Kesudahan Sama Boleh Jadi 28013.3 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap28713.4 Kebarangkalian Mudah290Jawapan294Glosari308Rujukan311Indeks312ivBab 8Graf Fungsi144 8.1 Fungsi1468.2 Graf Fungsi151Bab 9Laju dan Pecutan168 9.1 Laju1709.2 Pecutan179Bab 10 Kecerunan Garis Lurus 188 10.1 Kecerunan190Bab 11 Transformasi Isometri20611.1 Transformasi20811.2 Translasi21211.3 Pantulan21811.4 Putaran22311.5 Translasi, Pantulan dan Putaran sebagai Isometri23011.6 Simetri Putaran234

p. 5

BAB 1vBab 1 Pola dan JujukanBuku teks Matematik Tingkatan 2 ini ditulis berdasarkan Kurikulum Standard Sekolah Menengah (KSSM). Buku ini terdiri daripada 13 bab yang disusun dan dirancang secara sistematik berdasarkan Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik Tingkatan 2.Pada permulaan bab, murid akan diperkenalkan kepada aktiviti kreatif untuk merangsang pemikiran murid. Di samping itu juga, objektif pembelajaran dan rangkai kata turut disertakan untuk memberikan gambaran ringkas tentang kandungan bab.Buku ini mengandungi ciri-ciri istimewa berikut:RANGKAI KATAAKTIVITI KREATIFINGAT!Mengandungi standard pembelajaran yang akan dipelajari dalam setiap bab.Daftar kata yang terkandung dalam setiap bab.Sejarah ilmuan terdahulu atau asal usul perkataan dalam mata pelajaran Matematik.Bidang pekerjaan yang berkaitan dengan bab ini atau kegunaan ilmu bab ini.Aktiviti induksi yang merangsang perbincangan dan pemahaman dalam kalangan murid.Membantu murid memahami konsep asas matematik melalui aktiviti individu atau berkumpulan.Mengimbas kembali kemahiran dan pengetahuan yang pernah dipelajari.Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan yang perlu diketahui serta fakta penting dalam bab ini.Menarik perhatian murid kepada fakta tambahan yang perlu diketahui, kesilapan yang dilakukan murid dan mengelakkan kecuaian murid.vPERHATIANMASLAHAT BAB INIANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 6

BAB 1viBab 1 Pola dan JujukanTAHUKAH ANDA ?Mengutarakan soalan untuk merangsang pemikiran kreatif dan kritis.Soalan di akhir subtopik untuk menguji kefahaman murid.Quick Response Code ialah data seperti URL dalam bentuk pola yang dapat diterjemahkan menggunakan aplikasi dalam peranti mudah alih pintar.Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan yang perlu diketahui.Memberikan pengetahuan am yang dapat memperkaya bahan teks yang berkaitan. Latihan sumatif untuk pengukuhan dan pengayaan di akhir setiap bab.Soalan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT) untuk menguji kemahiran murid.Rangkuman seluruh bab secara ringkas yang telah dipelajari.Melihat kembali standard pembelajaran yang telah dipelajari sama ada tercapai atau tidak.Aktiviti luar bilik darjah untuk meningkatkan kefahaman dan kreativiti murid di akhir bab.QR Code yang boleh diimbas dengan menggunakan aplikasi imbasan QR Code pada telefon pintar.QR CODEMENJANA KECEMERLANGANviINTI PATI BABREFLEKSI DIRI

p. 7

BAB 1viiBab 1 Pola dan Jujukanviipunca kuasa duapunca kuasa tiga=sama dengan≠tidak sama dengansegi tiganbilangan sebutanπpi∠ sudutTsebutan ke-n∑hasil tambah keseluruhan⩾lebih besar daripada atau sama dengan⩽kurang daripada atau sama dengann (A) bilangan unsur peristiwaRUMUSHasil tambah sudut pedalaman poligon (n– 2) × 180°Teorem Pythagoras:Lilitan 2πjLuas bulatanπj 2Luas sektorπj 2 = θ360°Panjang lengkok 2πj = θ360°Luas permukaan silinder 2πj 2 + 2πjtLuas permukaan konπj 2 + πjsLuas permukaan sfera 4πj 2Isi padu prisma luas keratan rentas × tinggi Isi padu silinderπj 2tIsi padu kon13πj 2tIsi padu sfera43πj 3acbc 2 a 2+ b 2b 2 c 2– a 2a 2 c 2– b 2Jarak dua titik(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2Titik tengah�x1 + x22, y1 + y22�LajuJarakMasaLaju purataJumlah jarak MasaKecerunan, mJarak mencancangJarak mengufukmy2– y1x2– x1mpintasan-ypintasan-xMinJumlah nilai dataBilangan dataKebarangkaliansuatu peristiwa, A= P(A)= n (A)n (S )Peristiwa pelengkap, P(A' ) = 1 – P(A)Muat turun aplikasi percuma imbasan QR Code daripada Google Play, App Storeatau layaran lain ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas QR Code atau layari laman sesawang http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/msvii untuk memuat turun fail video, GeoGebra, hamparan elektronik dan soalan latihan tambahan. Kemudian simpan fail yang dimuat turun untuk kegunaan luar talian.Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra yang percuma untuk membuka fail yang berkenaan. http:\/\/www.geogebra.org\/SIMBOLBilangan kesudahan bagi peristiwa AJumlah bilangan kesudahan bagi ruang sampel, S

p. 8

BAB 1viiiBab 1 Pola dan JujukanANDA AKAN MEMPELAJARI•Pola nombor•Nombor ganjil•Nombor genap•Nombor Fibonacci•Segi Tiga Pascal•Jujukan•Ungkapan algebra•Sebutan•Number pattern•Odd number•Even number•Fibonacci Number•Pascal's Triangle•Sequence•Algebraic expression•Term1.1Pola1.2Jujukan1.3Pola dan JujukanRANGKAI KATABunga matahari ialah bunga yang unik dari segi pola biji benihnya. Biji benihnya tersusun secara spiral dan mengikut arah tertentu. Jumlah biji benih pada spiral itu boleh dibentuk melalui suatu nombor yang dikenali sebagai Nombor Fibonacci. Biji benih ini biasanya terdiri daripada dua jenis spiral. Misalnya, 21 spiral mengikut arah jam dan 34 spiral lawan arah jam. Nombor 21 dan 34 adalah di antara nombor dalam jujukan Fibonacci.

p. 9

BAB 11Bab 1 Pola dan Jujukan1Untuk maklumat lanjut:http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms001Nombor Fibonacci bermula daripada persoalan seorang ahli matematik berbangsa Itali, iaitu Leonardo of Pisa atau Fibonacci dalam bukunya ‘Liber Abaci’ tentang populasi arnab. Persoalan yang dikemukakan adalah jika seekor arnab betina dan arnab jantan ditempatkan di dalam sebuah ruang, berapakah pasangan arnab dapat dihasilkan dalam setahun? Jika setiap pasangan arnab akan menghasilkan satu pasangan yang baharu pada setiap bulan, maka penghasilan populasi arnab ini menghasilkan jujukan seperti yang berikut 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … . Nombor ini dikenali sebagai Nombor Fibonacci. Nombor Fibonacci ini disusun dengan menambah nombor sebelumnya. Contohnya, pasangan arnab tadi ialah 1 + 1, maka populasi arnab telah bertambah menjadi 2. Seterusnya, hasil tambah dua nombor sebelumnya 1 dan 2, maka populasi arnab telah bertambah menjadi 3, begitu juga yang seterusnya.MASLAHAT BAB INIKonsep pola dan jujukan boleh diaplikasi dalam seni bina, rekaan fesyen, sains, ilmu falak, kimia, fizik dan teknologi.1Untuk maklumat lanjut:http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms001Nombor Fibonacci bermula daripada persoalan seorang ahli matematik berbangsa Itali, iaitu Leonardo of Pisa atau Fibonacci dalam bukunya ‘Liber Abaci’ tentang populasi arnab. Persoalan yang dikemukakan adalah jika seekor arnab betina dan arnab jantan ditempatkan di dalam sebuah ruang, berapakah pasangan arnab dapat dihasilkan dalam setahun? Jika setiap pasangan arnab akan menghasilkan satu pasangan yang baharu pada setiap bulan, maka penghasilan populasi arnab ini menghasilkan jujukan seperti yang berikut 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … . Nombor ini dikenali sebagai Nombor Fibonacci. Nombor Fibonacci ini disusun dengan menambah nombor sebelumnya. Contohnya, pasangan arnab tadi ialah 1 + 1, maka populasi arnab telah bertambah menjadi 2. Seterusnya, hasil tambah dua nombor sebelumnya 1 dan 2, maka populasi arnab telah bertambah menjadi 3, begitu juga yang seterusnya.MASLAHAT BAB INIKonsep pola dan jujukan boleh diaplikasi dalam seni bina, rekaan fesyen, sains, ilmu falak, kimia, fizik dan teknologi.

p. 10

BAB 12Bab 1 Pola dan JujukanTujuan: Mengenal corakBahan: Kentang, bawang, batang sawi, kertas lukisan dan cat airLangkah:1.Sediakan sehelai kertas lukisan.2.Dengan pengawasan guru, murid dikehendaki memotong kentang, bawang dan batang sawi seperti gambar yang di bawah.3.Gunakan bahan-bahan tersebut untuk mengecap pada kertas lukisan.4.Selepas itu, keringkan cetakan.5.Nyatakan corak yang diperoleh.AKTIVITI KREATIFTujuan: Mengenal corakBahan: Kain batikLangkah:1. Perhatikan rajah di sebelah yang menunjukkan corak pakaian tradisional masyarakat di Malaysia.Perbincangan:(i)Apakah corak yang dapat dilihat?(ii) Bagaimanakah susunan corak tersebut?1.1 Pola1.1.1 Mengenal pola nomborMengenal dan memerihalkan pola pelbagai set nombor dan objek dalam kehidupan sebenar, dan seterusnya membuat rumusan tentang pola.Daripada aktiviti di atas, murid dapat mengenal pelbagai jenis corak dari alam semula jadi. Corak ini disusun sehingga menghasilkan suatu susunan yang lebih menarik.Daripada aktiviti di atas, dapat diketahui bahawa corak yang dilihat berbentuk poligon dan berulang.

p. 11

BAB 13Bab 1 Pola dan JujukanPola ialah aturan atau corak tertentu dalam senarai nombor atau objek.Tujuan: Mengenal polaBahan: Pensel warna, pembaris, pensel dan kertas gridLangkah:1.Murid membentuk kumpulan.2.Buka fail MS003 untuk memperoleh kertas grid yang telah disediakan.3.Setiap kumpulan dikehendaki melukis corak seperti yang di bawah dan warnakannya.4.Kemudian, lukiskan pula corak yang keempat, kelima dan keenam. Seterusnya, warnakannya.5.Lengkapkan jadual di bawah.Nombor corak12345678Bilangan segi empat1476.Bentangkan hasil dapatan anda.Perbincangan:(i)Nyatakan susunan corak yang dapat diperhatikan.(ii)Hitung bilangan segi empat sama untuk corak yang ketujuh dan kelapan.Daripada aktiviti di atas, bilangan segi empat sama yang dibentuk ialah 1, 4, 7, … iaitu menambah 3 kepada nombor sebelumnya. Penambahan 3 ini dikenali sebagai pola.CONTOH1Lukis corak seterusnya bagi gambar rajah di bawah dan nyatakan polanya.(a)(b)Penyelesaian:(a)(b)Pola: Menambah dua titik kepada corak sebelumnya.Pola: Menambah satu segi tiga kepada corak sebelumnya.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms003 untuk memperoleh kertas grid.

p. 12

BAB 14Bab 1 Pola dan Jujukan(i)ganjil Penyelesaian:(i)Nombor ganjil: 7, 17, 27, 37, 47, 57 dan 67Nombor ganjil diperoleh dengan menambah 10 kepada nombor sebelumnya.CONTOH3(ii)genap(ii)Nombor genap: 12, 22, 32, 42, 52 dan 62Nombor genap diperoleh dengan menambah 10 kepada nombor sebelumnya.+10+10+10+10Diberi urutan nombor 7, 12, 17, 22, 27, …, 67. Kenal pasti dan nyatakan pola bagi urutan nombor Penyelesaian:(a) −10,−4,2,8,…Pola:Menambah 6 kepada nombor sebelumnya.(c)2, 6, 18, 54, … Pola: Mendarab nombor sebelumnya dengan 3.(e)1, 32 , 2, 52, … Pola: Menambah 12 kepada nombor sebelumnya.+12+12+12×3×3×3(d)81, 27, 9, 3, … Pola: Membahagi nombor sebelumnya dengan 3.(f) −2.3,−2.6,−2.9,−3.2,…Pola: Menolak 0.3 daripada nombor sebelumnya.−0.3−0.3−0.3÷3÷3÷3+6+6+6(b) 17,7,−3,−13,…Pola: Menolak 10 daripada nombor sebelumnya.−10−10−10Nombor genap: nombor yang boleh dibahagi tepat dengan 2 seperti 2, 4, 6, 8, … Nombor ganjil: nombor yang tidak boleh dibahagi tepat dengan 2 seperti 1, 3, 5, 7, … Nombor genap dan nombor ganjilCONTOH2Nyatakan pola bagi set nombor berikut.(a) −10,−4,2,8,…(b) 17,7,−3,−13,…(c)2, 6, 18, 54, … (d)81, 27, 9, 3, … (e)1, 32 , 2, 52 , … (f) −2.3,−2.6,−2.9,−3.2,…7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67

p. 13

BAB 15Bab 1 Pola dan JujukanSegi Tiga Pascal di atas bermula dengan nombor 1. Manakala baris kedua ialah 1, 1. Semua baris Segi Tiga Pascal akan bermula dan diakhiri dengan nombor 1. Nombor lain diperoleh dengan menjumlahkan dua nombor pada baris sebelumnya.Nombor 2 dalam baris ketiga diperoleh dengan menjumlahkan nombor 1 dan nombor 1 pada baris sebelumnya. Seterusnya nombor 3 pada baris keempat diperoleh dengan menjumlahkan nombor 1 dan nombor 2 pada baris sebelumnya. Nombor 6 di baris kelima diperoleh dengan menjumlahkan nombor 3 dan nombor 3 pada baris sebelumnya.Cuba anda lengkapkan baris yang seterusnya.Daripada segi tiga di atas pelbagai urutan nombor dengan pola tertentu boleh didapati, antaranya:Segi Tiga Pascal Gambar rajah di bawah menunjukkan sebuah Segi Tiga Pascal. Berpandukan segi tiga tersebut, baris seterusnya diperoleh dengan menambah nombor-nombor pada baris sebelumnya.CONTOH4Lengkapkan Segi Tiga Pascal di bawah.1111111233111456610154102015151611111111233Penyelesaian:111111234136141Urutan: 1, 2, 3, 4, …Pola: Menambah 1111121133114641+++++++++Kaedah 1Kaedah 2111111234136141Urutan: 1, 3, 6, …Pola: Menambah 2, 3, 4, …Pola bagi suatu urutan nombor merupakan corak yang mempunyai urutan yang tertib.Masyarakat Cina mengenal Segi Tiga Pascal dengan nama Segi Tiga Yang Hui dan digambarkan dengan menggunakan angka joran yang dilukiskan dengan sistem angka tongkat.Segi Tiga Yang Hui1 × 1111 × 11121111 × 111123211111 × 1111123432111111 × 11111123454321Tentukan nilai dua sebutan yang berikutnya.Nyatakan dua sebutan nombor berikutnya.(i)3, 8, 15, 24, 35, …(ii)7, 5, 8, 4, 9, 3, …(iii)2, 4, 5, 10, 12, 24, 27, …(iv) 1, 4, 9, 18, 35, …

p. 14

BAB 16Bab 1 Pola dan JujukanLengkapkan urutan nombor di bawah.(a)0, 1, 1, , , , 8, 13, , … (b)1, 3, , , 11, … Penyelesaian:(a)0, 1, 1, 2 , 3 , 5 , 8, 13, 21 , … (b)1, 3, 4 , 7 , 11, … CONTOH5JOM CUBA1.1Nombor FibonacciNombor Fibonacci merupakan suatu corak nombor yang berurutan.Urutan ini bermula dengan 0, 1, 1 dan sebutan seterusnya diperoleh dengan menambah dua sebutan sebelumnya.Misalnya,1,1,2,3,5,8, … 0+1 1+1 1+2 2+3 3+5 1.Lakar corak seterusnya bagi gambar di bawah.(a)(b)0,1,1,2,3,5,8, … 1+11+22+33+5 0,0+1Pola merupakan suatu corak tertentu dalam sesuatu nombor atau objek. Suatu pola dalam senarai nombor ditentukan dengan menambah, menolak, mendarab atau membahagi nombor sebelumnya manakala suatu pola dalam objek ditentukan dengan memerhati susunan objek sebelumnya. Bagaimanakah anda akan membentuk segi empat Fibonacci seterusnya?358211QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms006 untuk melihat salah satu urutan Fibonacci.

p. 15

BAB 17Bab 1 Pola dan Jujukan1.2Jujukan1.2.1 Jujukan2. Nyatakan pola bagi urutan berikut. (a) 5,12,19,26,…(b) −1,−4,−7,−10,… (c) − 4,0,4,8,…(d) 144,72,36,18,…(e)12 , 14,0,−14,…(f) 11.2,−33.6,100.8,−302.4,…3.Bagi urutan nombor 28, 37, 46, 55, … , 145, kenal pasti dan nyatakan pola nombor bagi nombor(i)ganjil(ii)genap4.Lengkapkan urutan Nombor Fibonacci berikut.1, , 2, , , , , … 5.Lengkapkan rajah di bawah.Tujuan: Mengenal pasti pola dalam urutan nombor dan corakBahan: Lembaran kerjaLangkah:1. Buka fail MS007 yang telah disediakan.2.Lengkapkan jadual berikut dengan melukis corak seterusnya.Perbincangan:(i)Nyatakan pola yang anda dapati daripada aktiviti 1, 2 dan 3.(ii) Senaraikan urutan nombor dalam aktiviti 1, 2 dan 3.Menerangkan maksud jujukan.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms007 untuk mendapatkan lembaran kerja.168444488

p. 16

BAB 18Bab 1 Pola dan Jujukan1.2.2 Pola suatu jujukanMengenal pasti dan memerihalkan pola suatu jujukan, dan seterusnya melengkapkan dan melanjutkan jujukan tersebut.CONTOH6Tentukan sama ada urutan nombor berikut suatu jujukan atau bukan.(a) –10, –6, –2, 2, 6, … (b) 4, 5, –7, 10, –14, … Penyelesaian:(a) –10, –6, –2, 2, 6, … Jujukan nomborCONTOH7Lengkapkan jujukan nombor berikut.(a)7, 13, , 25, , , … (c) , 0.3, , 0.027, 0.0081, , … Penyelesaian:(a)7, 13, 19 , 25, 31 , … (c)1 , 0.3, 0.09 , 0.027, 0.0081, 0.00243 , … +6+6+6+6×0.3×0.3×0.3×0.3×0.3Daripada aktiviti sebelumnya, susunan corak seterusnya boleh ditentukan dengan mengikut corak sebelumnya. Suatu susunan nombor atau objek yang mengikut pola ini disebut sebagai jujukan.Jujukan ialah suatu set nombor atau objek yang disusun mengikut suatu pola.(b)4, 5, –7, 10, –14, … Pola: Menambah 4Maka, urutan nombor ini ialah jujukan.Pola: TiadaMaka, urutan nombor ini bukan jujukan.(b) 88, , 64, 52, , , … (d) , , 13, 46, , … (b)88, 76 , 64, 52, 40 , 28 , … (d)13 , 0 , 13, 46, 1 , … +4+4+4+4+112+1724Ahli astronomi menggunakan pola untuk meramal laluan komet.−12−12+13+13+13+13−12−12−12

p. 17

BAB 19Bab 1 Pola dan Jujukan1.Tentukan sama ada urutan nombor berikut ialah suatu jujukan atau bukan.(a) 3, 18, 33, 48, … (b) 100, 116, 132, 148, … (c) 1.0,− 1.7,− 2.4,3.1,…(d) −15,30,60,−120,…(e)14, 121, 122, 133,… (f) − 0.32,−0.16,− 0.8,−0.4,…2.Lengkapkan jujukan nombor di bawah.(a) 34, 28, , 16, , , … (b) , , 32, 16, , 4, … (c)0.07, , 1.12 , , 17.92, … (d)1101, 1, , , , … (e)0.2, 2.4, 28.8, , , … (f),−80,−16, , , … (g) , 23 , 712 , , ,… (h) −8.1,,− 4.1,−2.1,, … JOM CUBA1.2Penyelesaian:(a)92, 88, 84, 80, 76, …(b)21, 63, 189, 567, 1 701, …(c) 13.3,5.3,−2.7,−10.7,−18.7,… (d)80, 16, 3.2, 0.64, 0.128, …CONTOH8Lengkapkan jujukan berikut berdasarkan pola yang diberikan.(a) Menolak 4 daripada nombor sebelumnya.96, , , , , , … (b) Mendarab nombor sebelumnya dengan 3.7, , , , , , … (c)Mengurangkan 8 daripada nombor sebelumnya.21.3, , , , , , … (d)Membahagi nombor sebelumnya dengan 5.400, , , , , , … Nombor segi tiga ialah nombor yang dibentuk dengan pola titik segi tiga.1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, … 1361015

p. 18

BAB 110Bab 1 Pola dan Jujukan(iii)Ungkapan Algebra 1 = 1 + 8 (0) 9 = 1 + 8 (1)17 = 1 + 8 (2) 25 = 1 + 8 (3)33 = 1 + 8 (4)Maka, pola bagi jujukan nombor tersebut boleh ditulis sebagai 1 + 8n dengan keadaan n = 0, 1, 2, 3, 4, … .Seorang juruhias dalaman ingin menyusun jubin pada dinding seperti corak di bawah.Apakah corak seterusnya?Penyelesaian:(i)Nombor Maka, pola ialah +8.(ii)PerkataanMaka, pola bagi jujukan di atas adalah menambah 8 kepada nombor sebelumnya.1, 9, 17, 25, 33, … +8+8+8+8+8+8+8+81, 9, 17, 25, 33, … +8+8+8+81, 9, 17, 25, 33, … 3.Lengkapkan jujukan nombor berikut berdasarkan pola yang dinyatakan.(a) Menambah 7 kepada nombor sebelumnya.42, , ,, , , … (b) Membahagi nombor sebelumnya dengan 2.96, , , , , , … 1.3Pola dan Jujukan1.3.1Pola suatu jujukan menggunakan nombor, perkataan dan ungkapan algebraMembuat generalisasi tentang pola suatu jujukan menggunakan nombor, perkataan dan CONTOH9ungkapan algebra.Nyatakan pola bagi jujukan nombor 1, 9, 17, 25, 33, … menggunakan nombor, perkataan dan ungkapan algebra.Ungkapan Algebra ialah ungkapan yang menggabungkan nombor, pemboleh ubah atau simbol matematik lain dengan operasi. Contoh:2ab + 3c, 5a + 2b3c

p. 19

BAB 111Bab 1 Pola dan Jujukan1.3.2Sebutan bagi suatu jujukan Sebutan sesuatu jujukan dikenali sebagai sebutan ke-n dan ditulis sebagai Tniaitu T ialah sebutan manakala n ialah kedudukan sebutan.Misalnya, 4, 8, 12, 16, …Menentukan sebutan tertentu bagi suatu jujukan.Tn= sebutan ke-nDaripada jujukan di atas, T1 = 4,T2 = 8, T3 = 12,T4 = 16, … Penyelesaian:Langkah 1: Tentukan pola jujukan nombor tersebut.2, 10, 18, … Pola nombor: Menambah 8 kepada nombor sebelumnya.Langkah 2: Senaraikan semua sebutan hingga sebutan kelima seperti di bawah.T1 = 2T4 = 26T2 = 10T5 = 34T3 = 18Maka, sebutan kelima ialah 34.+8+8CONTOH10CONTOH11Nyatakan sebutan kelima bagi jujukan nombor berikut.2, 10, 18, … Diberi jujukan nombor 65, 60, 55, 50, … . Tentukan nombor 40 ialah sebutan yang keberapa dalam jujukan itu.Langkah 2:T1 = 65T2 = 60T3 = 55Maka, 40 ialah sebutan ke-6.T4 = 50T5 = 45T6= 40Permaisuri lebah bertelur di dalam sarangnya. Sarang lebah mempunyai pola yang tersendiri, iaitu berbentuk heksagon.–5–5–565, 60, 55, 50, … Pola: Menolak 5 daripada nombor sebelumnya.Apakah pola untuk jujukan berikut?(i)1, 4, 9, 18, 35(ii)23, 45, 89, 177(iii) 5, 7, 12, 19, 31(iv) 0, 4, 2, 6, 4, 8(v)4, 7, 15, 29, 59, 117Nyatakan pasangan nombor yang sesuai dalam kedudukan A, B, C, D, E.Penyelesaian:Langkah 1: 1(1)3(2)5(5)ABDCE2(1)4(3)6(8)22 + (2 + 2 + 1) = 3232 + (3 + 3 + 1) = 4242 + (4 + 4 + 1) = 5252 + (5 + 5 + 1) = 62(i)Nyatakan dua sebutan seterusnya.(ii)Nyatakan sebutan ke-n.

p. 20

BAB 112Bab 1 Pola dan JujukanJOM CUBA1.31.Tentukan pola jujukan nombor menggunakan perkataan.(a)4, 12, 36, 108, 324, … (b)256, 128, 64, 32, 16, … 2.Tentukan pola jujukan nombor di bawah menggunakan ungkapan algebra.(a)2, 4, 8, 16, … (b)5, 8, 11, 14, … (c)3, 6, 9, 12, … (d)3, 1, –1, –3, … 3.Hitung sebutan ketujuh dan kesebelas bagi jujukan nombor di bawah.(a)–3, 5, 13, … (b)4, 125 , 7, … (c)–3.7, –4.3, –4.9, … 1.3.3Penyelesaian masalahCONTOH12Menyelesaikan masalah yang melibatkan jujukan.Gambardiatasialahmesinpemberimakananikansecaraautomatikdanspesifikasinya.EngWeimenetapkan pemberian makanan ikannya 4 kali sehari. Pemberian makanan yang pertama pada pukul 7:35 pagi. Pada pukul berapakah ikan itu diberi makanan untuk kali yang ketiga?Memahami masalahWaktumemberikan makanan kepada ikan pada kali ketiga.Melaksanakan strategiPola: 6 jamT1= 7:35 pagiT2= 7:35 pagi + 6 jam= 1:35 petangT3= 1:35 petang + 6 jam= 7:35 petangMaka, ikan diberi makanan kali ketiga pada pukul 7:35 petang.Merancang strategi Membuat kesimpulan1 hari = 24 jam1 kali = 244= 6 jamMesin Pemberi Makanan Ikan AutomatikSpesifikasi•Saiz bekas: Sederhana•Makanan kering dan pelet boleh digunakan•Pemasa disediakan untuk mengatur jadual pemberian makanan•Menggunakan sistem terbaharu untuk mengelakkan makanan daripada menjadi lembap atau tersumbat di dalam bekas penyimpanan•Boleh dikendalikan secara automatik atau manual•Paparan skrin digital

p. 21

BAB 113Bab 1 Pola dan JujukanMENJANA KECEMERLANGAN4.Jadual di bawah menunjukkan jadual perjalanan lima buah bas dari Kuala Lumpur ke Pulau Pinang.BasMasa bertolakA8:00 pagiB8:30 pagiC9:00 pagiDEBerdasarkan jadual di atas, jawab soalan yang berikut.(a)Hitung selang masa bertolak antara dua buah bas.(b) Pada pukul berapakah bas E akan bertolak?(c)Pada pukul berapakah bas E akan sampai di Pulau Pinang jika perjalanan mengambil masa selama 5 jam?1.Padankan istilah berikut dengan pernyataan yang betul.Nombor yang tidak boleh dibahagi tepat dengan 2.Urutan ini bermula dengan 0, 1, 1 dan sebutan seterusnya diperoleh dengan menambah dua sebutan sebelumnya.Nombor yang boleh dibahagi tepat dengan 2.Aturan geometri pada pekali binomial dalam sebuah segi tiga.Segi Tiga PascalNombor ganjilNombor FibonacciNombor genap2.Nyatakan pola bagi jujukan nombor yang diberikan.(a) 7, 13, 19, 25, … (b) 54, 50, 46, 42, … (c)–13, –39, –117, –351, … (d)1 296, 216, 36, 6, … 3.Lengkapkan jadual di bawah.Jujukan NomborPerkataanUngkapan Algebra(a) 2, 4, 6, 8, … (b) 100, 50, 25, 12.5, …

p. 22

BAB 114Bab 1 Pola dan Jujukan4.Lengkapkan urutan nombor berikut.(a) 1, 3, 5, , 9, , … (b) , ,− 2 0,−10,−5,… (c)268, , , 169, 136, , … (d)12, , 13, , 16, … 5. Empatsebutanpertamabagisuatujujukanialah9,x, –5, –12, …(a) Hitung nilai x.(b) Nyatakan pola jujukan itu menggunakan(i)nombor(ii)perkataan(iii)ungkapan algebra6.Lengkapkan Nombor Fibonacci di bawah.0, 1, 1, , , , … 7.Gambar rajah di bawah menunjukkan lima aras pertama untuk Segi Tiga Pascal. Lengkapkan Segi Tiga Pascal tersebut. Nyatakan bagaimana Segi Tiga Pascal itu dibentuk.8. Empatsebutanpertamabagisuatujujukanialah11, x, –5, –13, …(a)Hitung nilai x.(b)Nyatakan sebutan ke-10, T10.111111111

p. 23

BAB 115Bab 1 Pola dan Jujukan9.Nina menyusun butang baju seperti di bawah.(a) Nyatakan pola bagi bilangan butang baju.(b) Nyatakan urutan bilangan butang baju.(c) Lukiskan susunan butang baju untuk sebutan keempat.(d) Hitung nilai T6.10. EncikHamidinginmelakukanpenanamansemulapokokkelapasawit.Jarakbagisetiappokokkelapasawitialah9mdanjaraktanamantersebutberbentuksegitigasamasisi.EncikHamidtelahmelakar satu peta tanamannya seperti rajah di bawah. JikaEncikHamidmenanam18batangpokokkelapasawit,berapakahluastanahbeliau?11.Raiyan telah pergi ke klinik untuk berjumpa dengan doktor kerana demam selesema yang berlanjutan melebihi tiga hari. Doktor telah memberikan tiga jenis ubat, iaitu ubat demam, antibiotik dan ubat selesema. Bantu Raiyan untuk membuat jadual pemakanan ubat jika dia bermula makan ubat pada pukul 8:30 pagi.Ubat demam = 2 biji 3 kali sehariAntibiotik = 1 biji 2 kali sehariUbat selesema= 1 biji 1 kali sehariUbat123DemamAntibiotikSelesema9 m

p. 24

BAB 116Bab 1 Pola dan JujukanJujukan ialah suatu susunan nombor atau objek yang mengikut pola tertentu.INTI PATI BABPola ialah suatu aturan atau corak tertentu dalam senarai nombor atau objek.Pola sesuatu jujukan merupakan corak yang mempunyai urutan yang tertib.Perkataan4, 7, 10, 13, 16, … Jujukan bermula dengan nombor 4 dan menambah 3 kepada nombor sebelumnya.− 9,−11,−13,−15,−17,… T1T2T3 T4 T5 Sebutan pertama, T1 =−9Sebutan kedua, T2 =−11Sebutan ketiga, T3 =−13Sebutan keempat, T4=−15Sebutan kelima, T5=−17Pola bagi pelbagai set nombor(i) Nombor genap dan nombor ganjil4, 9, 14, 19, … nombor genap: 4, 14, 24, … nombor ganjil: 9, 19, 29, … (ii) Segi Tiga Pascal(iii) Nombor Fibonacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 111121131464311+10+10+10+10+5+5+5Ungkapan Algebra3, 6, 9, 12, 15, … ditulis sebagai 3n‚ n = 1, 2, 3, … Nombor3, 6, 9, 12, 15, … Pola: Penambahan 3+3+3+3+3PolaJujukanPola dan JujukanPola Suatu JujukanSebutan bagi Suatu Jujukan

p. 25

BAB 117Bab 1 Pola dan Jujukan1.Mengenal dan memerihalkan pola pelbagai set nombor dan objek dalam kehidupan sebenar.2.Menerangkan maksud jujukan.3.Mengenal pasti dan memerihalkan pola suatu jujukan.4.Melengkapkan dan melanjutkan jujukan.5.Membuat generalisasi tentang pola suatu jujukan menggunakan nombor, perkataan dan ungkapan algebra.6.Menentukan sebutan tertentu bagi suatu jujukan.7.Menyelesaikan masalah yang melibatkan jujukan.Tajuk: Blok futuristikBahan: Cawan kertas, botol mineral, gam, pembaris dan guntingSetiap kumpulan dikehendaki menyediakan satu blok bangunan yang bercirikan masa hadapan (futuristik) menggunakan cawan kertas dan botol mineral.Warnakanhasilbinaandannamakanbloktersebut.Bentangkan hasil binaan setiap kumpulan. Pada akhir bab ini, saya dapat:REFLEKSI DIRI

p. 26

BAB 218Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra2.1Kembangan2.2Pemfaktoran2.3Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi Asas Aritmetik•Kembangan•Ungkapan algebra•Faktor•Faktor Sepunya Terbesar (FSTB)•Pecahan algebra•Kuasa dua sempurna•Pendaraban silang•Pengangka•Penyebut•Sebutan terendah•Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK) •Expansion•Algebraic expression•Factor•Highest Common Factor (HCF)•Algebraic fraction•Perfect square•Cross multiplication•Numerator•Denominator•Lowest term•Lowest Common Multiple (LCM)RANGKAI KATA18Umumnya algebra merupakan cabang matematik yang digunakan bagi menerangkan perhubungan antara beberapa kuantiti unit, contohnya jarak dengan laju, berat dengan tinggi dan lain-lain. Melalui perhubungan ini, murid boleh mempelajari kemahiran menyelesaikan masalah dalam pelbagai situasi.ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 27

BAB 219Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra19Menurut buku berjudul ‘al-Jabr w'al-Muqabala’ yang ditulis oleh seorang ahli matematik berbangsa Arab, Muhammad Ibn Musa alKhwarizmi, perkataan algebra berasal daripada ‘al-Jabr’. Beliau juga digelar sebagai ‘Bapa Algebra’ atas sumbangan beliau dalam bidang algebra.MASLAHAT BAB INIAlgebra banyak digunakan dalam perbandingan harga, proses jual beli, ukuran, perubahan nilai dan sebagainya.Algebra juga digunakan dalam bidang seperti bidangkimia,fizik,forensikdanlain-lain.Untuk maklumat lanjut:http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms019

p. 28

BAB 220Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraAKTIVITI KREATIFTujuan: Mengira luas menggunakan kaedah jubin algebraBahan: Kertas berwarna hijau dan biruLangkah:1. Potong kertas berwarna biru menjadi segi empat sama berukuran 6 cm panjang dan 6 cm lebar.2. Potong kertas berwarna hijau mengikut ukuran saiz 6 cm panjang dan 2 cm lebar.3.Hitung luas kertas biru dan kertas hijau dengan kaedah 1 dan kaedah 2.Kaedah 1: Luas kertas biru + luas kertas hijauKaedah 2: Panjang × (lebar biru + lebar hijau)4.Adakah terdapat persamaan jawapan pada kedua-dua kaedah? Bincangkan.5.Berdasarkan rajah di bawah, hitung luas segi empat ABCD.Ax cmx cm3 cmDBC(6 cm + 2 cm)6 cmJubin algebra adalah manipulatif matematik yang membolehkan murid untuk lebih memahami cara pemikiran algebra dan konsep algebra.+6 cm2 cm6 cm6 cmQR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms020 untuk menonton video jenis-jenis jubin algebra.

p. 29

BAB 221Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra2.1 Kembangan2.1.1 Kembangan ungkapan algebraKembangan ungkapan algebra bermaksud hasil pendaraban satu atau dua ungkapan dalam kurungan.Menerangkan maksud kembangan dua ungkapan algebra.(+) × (+) +(+) × (–)(–) × (+)–(–) × (–)+CONTOH1Kembangkan setiap ungkapan berikut.(a) 6(3 + 4w)(b) 3r(r – 2s)(c) −5b(a + 3)(d) −2y3(9y – 3z + 6x)2.1.2 Kembangan dua ungkapan algebraTujuan: Menentukan luas segi empat ABEFBahan: Lembaran kerjaLangkah:1. Hitung luas ABEF dengan menggunakan dua kaedah di bawah.Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra.Kaedah 2:Luas ABEF= panjang × lebar= EF × AF= × = cm2Kaedah 1 :Luas ABEF= Luas ACDF – Luas BCDE= – = cm2Perbincangan:Adakah jawapan bagi kaedah 2 sama seperti kaedah 1? Terangkan.Apabila melakukan kembangan ungkapan algebra, setiap sebutan dalam tanda kurungan mesti didarabkan dengan sebutan di luar kurungan.5x cmACFED3 cm3 cmBPanjang EF boleh diperoleh dengan menulis ungkapan berikut.EF = (5x − 3) cmUngkapan algebra ialah ungkapan yang menggabungkan nombor, pemboleh ubah atau simbol matematik lain dengan operasi. Misalnya, 2a + 5

p. 30

BAB 222Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraPenyelesaian:(a) 6(3 + 4w)= (6 × 3) + (6 × 4w)= 18 + 24w(c) −5b(a + 3) =(−5b × a)+(−5b × 3) =−5ab −15b(b) 3r(r – 2s)= (3r × r) + �3r ×(−2s)�= 3r2−6rs(d) 2y3(9y – 3z + 6x)= �−2y3 × 9y�+�−2y3× (– 3z)� +�−2y3× 6x� =−6y2 + 2yz –4xyabCDABbaab+311112Tujuan: Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebraBahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Aktiviti berikut dijalankan secara berpasangan.2.Murid pertama menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 1.3.Murid kedua menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 2.Luas segi empat sama RSTU boleh dihitung denganSUTBDACRaabbKaedah 1AaBabCabbDbLuas segi empat sama RSTU = Luas A + Luas B + Luas C + Luas D= ( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × )= + + + = + + a

p. 31

BAB 223Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra(a + 2)(a + 1)= a(a + 1) + 2(a + 1)= a2 + a + 2a + 2= a2 + 3a + 2(a + b)(a + b) =(a + b)2(a – b)(a – b) =(a – b)2(a + b)(a – b)= (a × a) + �a ×(–b)� + (b × a) + �b × (–b)�= a2 – ab + ba – b2= a2 – b2PERHATIAN(a + b)(a – b) = a2 – b2(a + b)(a + b)≠a2 + b2(a – b)(a – b)≠a2 – b2Apabila melakukan kembangan dua ungkapan algebra dalam dua tanda kurungan, setiap sebutan dalam tanda kurungan pertama mesti didarabkan dengan setiap sebutan dalam tanda kurungan kedua. Misalnya,Perbincangan:Adakah jawapan bagi kedua-dua kaedah terdapat persamaan?CONTOH2Kembangkan setiap ungkapan berikut.(a) (y + 1)(y – 3) (b)(4 + 3r)(2+ r) (c) (3r + 4s)(r – 2s)(d)(3p + 2)2Penyelesaian:(a) (y + 1)(y – 3)= y(y – 3) + 1(y – 3)= y2 – 3y + y – 3= y2 – 2y – 3Kaedah 2Asingkan segi empat sama kepada dua bahagian seperti berikut.Luas segi empat RSTU = Luas A dan B + Luas C dan D= ()(a + b) + ()(a + b)= + + + = + + Sebutan serupa boleh diselesaikan(b) (4 + 3r)(2+ r)= 8 + 4r + 6r + 3r2= 8 + 10r + 3r2= 3r2 + 10r + 8ABaabCDabbKaedah alternatif(i) Pendaraban silang(ii) Bentuk lazimMaka, a2 + 3a + 2aaa2+2+1+22aa3a(×)(×)(+)aaa+ 2+1+2a2+2aa2 + 3a + 2(+)×

p. 32

BAB 224Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra(c) (3r + 4s)(r 2s)= 3r(r –2s) + 4s(r –2s)= (3r × r) + �3r × (– 2s)� + (4s × r) + �4s ×(–2s)�= 3r2 –6rs + 4sr –8s2= 3r2 2rs 8s2(d) (3p + 2)2= (3p + 2)(3p + 2)= 9p2 + 6p + 6p + 4= 9p2 + 12p + 42.1.3 Gabungan operasi termasuk kembanganPenyelesaian gabungan operasi bagi ungkapan algebra mahupun sebutan algebra mestilah mematuhi hukum 'BODMAS'.Mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan gabungan operasi termasuk kembangan.Sebutan serupasr = rsSebutan serupa boleh diselesaikanSebutan serupa boleh diselesaikanQR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms024a untuk menonton video kaedah pendaraban silang.Tujuan: Menulis hubungan algebra berdasarkan jubin algebraBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS024B untuk memperoleh paparan yang menunjukkan heksagon sekata berwarna kuning serta bentuk lain yang berwarna merah, biru dan hijau.2.Pilih gabungan bentuk berwarna merah, biru atau hijau untuk dimasukkan ke dalam heksagon sekata berwarna kuning tersebut.3.Tuliskan hubungan algebra yang diperoleh.4.Pilih gabungan bentuk yang lain untuk dimasukkan ke dalam trapezium hijau.Perbincangan:Bandingkan hasil dapatan anda dengan kumpulan lain.Sebutan algebra disusun daripada kuasa tertinggi kepada kuasa terendah.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms024b untuk membina poligon.Hubungan antara pendaraban ungkapan Binomial secara berulang dengan Segi Tiga Pascal.Nyatakan dua sebutan seterusnya.(a + b)0(a + b)4(a + b)3(a + b)2(a + b)11461111111233a + ba2 + ab + b2a3 + a2b + ab2 + b3a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b414

p. 33

BAB 225Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraCONTOH3B= BracketsO= OrderD= DivisionM= MultiplicationA= AdditionS= SubtractionUntuk maklumat lanjut:Imbas QR Code di bawah atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms025 Permudah.(a) (3w – 2)(4w – 1) – 10w(b) (r – 3t)2 + 4rt (c) (x + y)(x – y) + x(x – 2y)Penyelesaian:(a) (3w – 2)(4w – 1) – 10w = 3w (4w – 1) – 2 (4w – 1) – 10w= 12w2 – 3w – 8w + 2 – 10w= 12w2 – 3w – 8w – 10w + 2= 12w2 – 21w + 2(c)(x + y)(x – y) + x(x – 2y) = x2 – xy + xy – y2 + x2 – 2xy= x2 + x2– y2 – xy + xy – 2xy= 2x2 y2– 2xy(b) (r – 3t)2 + 4rt = (r – 3t)(r – 3t) + 4rt= r2– 3rt – 3rt + 9t2+ 4rt= r2 + 9t2 – 3rt – 3rt + 4rt= r2 + 9t2 – 2rtCONTOH4CONTOH5Menyelesaikan masalah yang melibatkan kembangan dua ungkapan algebra.2.1.4 Penyelesaian masalah Puan Maria mempunyai sebidang permaidani yang panjangnya (3r −2)meterdanlebarnyaialah(r + 1) meter. Hitung luas permaidani Puan Maria.Penyelesaian:Luas = panjang × lebar= (3r – 2)(r + 1)= 3r2 + 3r – 2r – 2= 3r2 + r – 2Maka, luas permaidani ialah (3r2 + r – 2) meter persegi. Ramesh menerima wang saku sebanyak RM50 untuk (y – 8) hari. Setiap hari dia membelanjakan sebanyak RM(x−3)untuksecawankopidanRM(x + 4) untuk mi rebus. Hitung baki wang Ramesh.Hukum Kalis Agihan digunakan apabila melakukan kembangan.a × (b + c) = a × b + a × ca × (b−c) = a × b−a × c(3r – 2) m(r + 1) m

p. 34

BAB 226Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraJOM CUBA2.1Penyelesaian:Memahami masalahKenal pasti jumlah harga kopi dan mi rebus.(x−3)+(x + 4)= 2x + 1Melaksanakan strategiMenghitung baki perbelanjaan dengan proses kembangan.Wangsaku−Jumlahperbelanjaan=50(2xy + y16x8)=502xyy + 16x + 8=58−2xy−y + 16xMerancang strategi Membuat kesimpulanBaki wang saku. RM(58−2xy−y + 16x)1. Berdasarkan jubin algebra berikut, tulis luas kawasan berlorek dalam bentuk pendaraban dua ungkapan algebra.(a)(b)2. Kembangkan ungkapan algebra berikut.(a)3(x + 2)(b) 4(8x3)(c) 2(a + 5)(d) p(6p−8)(e)−r8 (2s−8)(f) −2(pr−2pq)(g)3(5bc6) (h) 7(2ef + 3e)(i)8g(2 + gh)3.Kembangkan ungkapan algebra berikut.(a)(a + 1)(a + 2)(b)(x−5)(x + 4)(c)(2 + m)(5−m)(d)(3p−2)(4p−1) (e) (3r−2)(4r−1) (f) (2r + s)(4r−3s)(g)(2d12b)(3d12b)(h)(r3s)2(i)(4e3)24. Permudah ungkapan berikut.(a)(5b + 3) + 4(3b−a)(b)3(4m−5mn)−2(8m + mn)(c)(h−j)2−2h(3h−3j)(d)(x + y)(x−y) + 2x(x + 2y)Tentukan jumlah perbelanjaan dalam masa (y−8)haridengankaedah kembangan.Hari × Harga= (y−8)(2x + 1)= 2xy + y−16x−8aa1114x4x33

p. 35

BAB 227Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra5. Hitung luas rajah berikut dengan menggunakan ungkapan algebra. (a)(b)(c)(d)6. Hadila berumur 2 tahun lebih muda daripada Kai Yee. Umur bapa Kai Yee ialah kuasa dua umur Hadila. Jika Kai Yee berumur p tahun, hitung jumlah umur mereka bertiga. Ungkapkan jawapan anda dalam bentuk ungkapan algebra.7.Sebuah permukaan meja berbentuk segi empat tepat mempunyai panjang (5x−2)meterdanlebar (x +2)meter.EncikPhillipinginmeletakkancerminkacadiatasmejatersebut.Lebarmeja yang tidak ditutupi dengan cermin ialah (x −3)meter.Ungkapkanluaspermukaanmejayang tidak ditutupi dengan cermin kaca tersebut.8. Hitungkan panjang LM dalam sebutan y.2p –35x +22x 37y –34y –1KML3y 2y – 1Menghubungkaitkan pendaraban ungkapan algebra dengan konsep faktor dan pemfaktoran, dan seterusnya menyenaraikan faktor bagi hasil darab ungkapan algebra tersebut.2.2 Pemfaktoran2.2.1Konsep faktor dan pemfaktoranPemfaktoran ialah proses mengenal pasti faktor sebutan dan ungkapan algebra dan apabila didarabkan akan menghasilkan ungkapan asal. Pemfaktoran merupakan proses songsangan kepada kembangan.Misalnya, faktor bagi 3pMaka, faktor bagi 3p ialah 1, 3, p dan 3p.1 × 3p3 × pw +32w4w –2��

p. 36

BAB 228Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra4x + 2 = 2(2x + 1) 2 ialah faktor sepunya bagi 4x dan 2.Faktor, Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi hasil darab ungkapan algebraFaktor sepunya ialah faktor bagi sebutan algebra yang membahagi dengan tepat dua atau lebih sebutan lain. Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) ialah faktor yang terbesar antara semua faktor sepunya.Perhatikan ungkapan,CONTOH6Faktor sepunya bagi 9c2d, 3d2e dan 6def ialah 1, 3, d dan 3d. 3d ialah faktor sepunya kerana boleh membahagi semua sebutan di atas dengan tepat. Maka, faktor sepunya bagi 6h dan 4gh ialah 1, 2, h dan 2h.(b) 9c2d, 3d2e dan 6def9c2d = 1 × 3 × 3 × c × c × d3d2e = 1 × 3 × d × d × e6def = 1 × 2 × 3 ×d× e × fPemfaktoran ialah songsangan kepada kembangan.PemfaktoranKembangana(a + b) = a2 + abPERHATIAN'1' ialah faktor bagi semua sebutan algebra.Menggunakan FSTBUngkapan algebra boleh difaktorkan dengan mencari Faktor Sepunya Terbesar (FSTB). 2.2.2 Pemfaktoran ungkapan algebraMemfaktorkan ungkapan algebra dengan pelbagai kaedah.8x12x24xialah FSTBMisalnya,Maka, ungkapan algebra bagi 8x + 12x2 boleh ditulis sebagai hasil darab dua faktor seperti,4x(2 + 3x)Ini dinamakan pemfaktoran.Faktor bagi 1616 ÷ 1 = 1616 ÷ 2 = 816 ÷ 4 = 416 ÷ 8 = 216 ÷ 16 = 1Maka, faktor bagi 16 ialah 1, 2, 4, 8 dan 16.Senaraikan semua faktor sepunya bagi setiap sebutan berikut.(a) 6h, 4gh(b) 9c2d, 3d2e, 6defPenyelesaian:(a) 6h = 1 × 6h2 × 3h3 × 2hh× 6 4gh = 1 × 4gh4 × gh2 × 2gh 2g × 2hg × 4hh × 4g

p. 37

BAB 229Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraSemak jawapan anda dengan kaedah kembangan.4x (2 + 3x)= 8x + 12x2FSTB boleh ditentukan dengan kaedah pembahagian berulang.FSTB= 4x8x , 12x22x , 3x22 , 3x4xMenggunakan beza antara dua sebutan kuasa dua sempurnax2 – y2 ialah sebutan beza kuasa dua. x2 – y2 boleh difaktorkan dengan beza kuasa dua sempurna.Kaedah ini hanya boleh digunakan jika kedua-dua sebutan algebra tersebut ialah kuasa dua sempurna. Nombor kuasa dua sempurna.1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …CONTOH7Penyelesaian:2.(a)(b)1.Tentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi setiap sebutan (a) 6h , 4gh(b)9c2d , 3d2e , 6def2.Faktorkan setiap ungkapan berikut.(a) 3x + 15(b) 7m + 21m2Penyelesaian:1.(a)(b)323hd3x +15 x +56h ,4gh3h ,2gh3 , 2g9c2d , 3d2e , 6def3c2d , d2e , 2def3c2, de, 2ef7m7m +21m2m +3m21 + 3mFSTB = 3dPerhatikan, x2 4 = x2 22= (x + 2)(x 2)Semak semula dengan kaedah kembangan(x + 2)(x−2)= x(x−2)+2(x−2)= x2−2x + 2x−4= x2−4FSTB = 2hFSTB = 3Maka, 3(x + 5)FSTB = 7mMaka, 7m(1 + 3m)Penyelesaian:(a) b2 – 1 = b2 –12= (b + 1)(b – 1)(b) 9m2 100 = (3m)2 – 102= (3m + 10)(3m −10)CONTOH8Faktorkan setiap ungkapan berikut.(a) b2 – 1(b) 9m2 –100 (c) 3y2 – 147(d) 5k2 – 80NomborganjilBeza kuasa dua112 − 02322 − 12532 − 22742 − 32952 − 421162 − 521372 − 62

p. 38

BAB 230Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraMenggunakan pendaraban silangBagi ungkapan algebra berbentuk ax2 + bx + c dengan a≠0dana, b, c ialah suatu integer boleh difaktorkan dengan kaedah pendaraban silang.Perhatikan contoh di bawah berserta penerangannya untuk pemfaktoran ungkapan algebra x2 + 6x + 8.(c) 3y2 – 147 = 3(y2 – 49)= 3(y2 – 72)= 3(y+ 7)(y– 7)Suatu ungkapan algebra seperti x2 + 2xy + y2 boleh difaktorkan sebagai (x + y)(x + y). Identiti Pemfaktoran(a) (x + y)2= (x + y)(x + y)= x2 + 2xy + y2(b) (x – y)2= (x – y)(x – y)= x2 – 2xy + y2(c) x2 – y2= (x + y)(x−y)QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms030 di bawah untuk menonton video tentang kaedah pemfaktoran menggunakan jubin algebra.(d) 5k2 – 80 = 5(k2 – 16)= 5(k2−42)= 5(k +4)(k −4)FSTB 3 dan 147 ialah 3FSTB 5 dan 80 ialah 5Langkah 1: Bandingkan pekali1x2 + 6x + 8ax2 + bx + cMaka, a = 1, b = 6 dan c = 8Langkah 2: Faktor bagi 8 ialah 1, 2, 4 dan 8. 2 dan 4 dipilih kerana menepati c, iaitu 2 × 4 = 8. Langkah 3: 2 dan 4 dipilih kerana menepati b, iaitu 2 + 4 = 6.Langkah 4: Lakukan darab silang seperti di bawah.Langkah 5: Faktor x2 + 6x + 8 ialah (x + 2)(x + 4).Hasil Tambah bHasil Darabc 1 + 8 = 9−1 + (−8) = −9 1 × 8 = 8−1 × (−8) = 8 2 + 4 = 6−2 + (−4) = −6 2 × 4 = 8−2 × (−4) = 8 2 + 4 = 6 2 × 4 = 8x+2 2xx+4 4xx2 +8 6xcb(×)(×)(+)Pemfaktoran dan pembahagianx + 2 x2 + 6x + 8(−)x2 + 2x4x + 8(−) 4x + 8�� + 4

p. 39

BAB 231Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraPenyelesaian bagi−2y29y + 5boleh jugaditulis(−2y + 1 )(y + 5).Bincangkan.2m3 3mm2 4m2m2 +6 7mx−3−3xx−3−3xx2 +9 −6x(+)CONTOH9Faktorkan setiap ungkapan berikut.(a) x2−6x + 9 CONTOH11Faktorkan ungkapan berikut.(a)–2y2 – 9y + 5(b)–3x2 – 8x – 5Penyelesaian:(a)(b)Maka, –2y2 – 9y + 5 = (2y – 1)(–y – 5).2y−1+yy−5−10y−2y2 +5 −9y(×)(×)(+)(b) m2 −2m−8CONTOH10Faktorkan ungkapan berikut.2m2 + 7m + 6Penyelesaian:Cubaan pertama:Cubaan kedua:Pendaraban faktor 6:1 × 62 × 3Maka, 2m2 + 7m + 6 = (2m + 3)(m + 2).2m1 1mm6 12m2m2 +6 13m(×)(×)(+)(×)(×)(+)Maka, x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3).Maka, m2 2m8=(m + 2)(m4).Penyelesaian:(a)x2−6x + 9Pendarabanfaktor 9:(−1) × (−9)(−3) × (−3)2 + (− 4) = −2Pendarabanfaktor 8:1 × (−8) −2 × 42 × (−4)(b) m2 −2m−8−3+ (−3) = −6m2 2mm− 4− 4mm2−8−2mSemak jawapan dengan kaedah kembanganQR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms031 untuk menonton video tentang pemfaktoran menggunakan kaedah pendaraban silang.(×)(×)(×)(×)(+)Maka, –3x2 – 8x – 5 = (3x + 5)(–x – 1).3x5−5xx−1−3x−3x2−5−8x(×)(×)(+)

p. 40

BAB 232Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraCONTOH12CONTOH13Faktorkan setiap ungkapan berikut.(a) pq + qr + ps + rsPenyelesaian:(a) pq + qr + ps + rs= (pq + qr) + (ps + rs) = q(p + r) + s(p + r)= (q + s)(p + r) 2.2.3 Penyelesaian masalahMenyelesaikan masalah yang melibatkan pemfaktoran.Luas sebuah padang bola sepak berbentuk segi empat tepat ialah (4x2 + 16x) meter persegi. Padang itu telah ditenggelami air seperti dalam rajah di bawah. Jika lebar padang itu ialah 4x meter dan dua kawasan yang ditenggelami air ialah segi tiga bersudut tegak yang sama saiz, berapakah luas kawasan yang tidak ditenggelami air?(b) 2px + 6qy – 4py – 3qx(b) 2px – 4py – 3qx + 6qy= (2px – 4py) – (3qx – 6qy)= 2p(x – 2y) – 3q(x – 2y)= (x – 2y)(2p – 3q)kawasan yang ditenggelami air4xPenyelesaian:Memahami masalahMerancang strategi Kenal pasti panjang padangPanjang = luaslebar= 4x2 + 16x4x= 4x(x + 4)4x11= (x + 4)Melaksanakan strategiLuas kawasan yang tidak ditenggelami air = Luas padang – luas dua segi tiga bersudut tegak= 4x2 +16x – (2x2 + 8x)= 4x2 – 2x2 + 16x – 8x= 2x2 + 8xLuas dua segi tiga bersudut tegakLuas = 2 × �12 × tapak × tinggi�= 2 × �12 × 2x × (x + 4)�= 2x2 + 8xMembuat kesimpulanLuas kawasan yang tidak ditenggelami air= (2x2 + 8x) m2Tapak segi tiga bersudut tegak= 4x ÷ 2= 2xTentukan tapak segi tiga bersudut tegakMenggunakan faktor sepunya dalam empat sebutan algebraab + ac + bd + cd = (ab + ac) + (bd + cd) = a(b + c) + d(b + c)= (b + c)(a + d)Hukum Kalis AgihanGabungkan sebutan yang ada faktor sepunya di dalam satu kurunganFaktor sepunyaPemfaktoran boleh dilakukan seperti berikut.2x2 + 7x + 3= 2x2 + 6x + x + 3= 2x(x + 3) + (x + 3)= 2x(x + 3) + 1(x + 3)= (2x + 1)(x + 3)

p. 41

BAB 233Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraJOM CUBA2.21.Senaraikan faktor sepunya dan FSTB bagi setiap sebutan berikut.(a) 8y, 12y(b) 2b, 3b(c) 3w, 5w2(d) 10m2, 15mk(e) 5bc, 2c2, 3cd(f) 4a2b, 8b2c, 6bcd2.Faktorkan ungkapan algebra berikut.(a) 5e + 10(b) 2ab−8a2(c) 3abc + 6a2b(d) 4x– 12x2(e) ef + f2 + fg(f) 2x2 – 4xy + 6wx3.Faktorkan ungkapan algebra berikut.(a) b2– 81(b) a2– b2(c) x2– 1(d) 16y2– 49(e) (m + 3)2– 16(f) 4(x– 1)2– 94. Faktorkan ungkapan algebra berikut.(a) x2 + 9x + 14(b)x2 + 7x – 18(c) x2 – 5x – 24(d) m2 + 11m – 26(e) y2 – 2y – 15(f)k2 – 8k + 16(g)2m2 – 11m – 6(h)9f2 – 12f + 4 (i)2m2 + 4m – 16(j)2x2 – 5x – 7(k)12y2 + 8y – 15(l)5p2 + 6p – 8(m)–5m2 – 6m + 8(n)–3p2 + 8p−4 (o) – 6x2 – x + 155.Faktorkan ungkapan algebra berikut.(a) pq– qr– pw + rw(b) x2 + xy + 6x + 6y(c) 3ab– 9ad + bc– 3cd(d)ah + aj – bh – bj(e)jm – jn + ym – yn(f)9xy – 3xz + 12py – 4pz6.Lantai di sebuah bilik berbentuk segi empat tepat dan sebidang permaidani berukuran 3 meter panjang dan 2 meter lebar dibentangkan di dalam sebuah bilik.(a) Hitung luas lantai yang tidak ditutupi permaidani.(b) Felisa ingin menutupi keseluruhan lantai bilik dengan permaidani yang sama saiz. Nyatakan berapa bidang permaidani yang perlu dibeli sekiranya nilai y = 2.(y + 2) m2 m(2y−1)m3 m

p. 42

BAB 234Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraAnda telah mempelajari kembangan, pemfaktoran dan penyelesaian masalah. Cuba selesaikan gabungan operasi berikut yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi Asas AritmetikMelaksanakan penambahan dan penolakan ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.Menambah atau menolak pecahan algebra dengan penyebut yang samaCONTOH14Permudah.(a) 2x2 – 2(4x + 5)Penyelesaian:(a) 2x2 – 2(4x + 5) = 2x2 – 8x – 10= 2(x2−4x−5)= 2(x – 5)(x + 1)(b) 4w (w – 2) – 5(b)4w (w – 2) – 5 = 4w2 – 8w – 5= (2w – 5)(2w + 1)2.3.1 Penambahan dan penolakan ungkapan algebraSebelum menyelesaikan pecahan, langkah pertama ialah menyamakan penyebut.(a)(b)(c)(d)37 + 27 = 573y 5 + 8y 5 = 11y 57x 5−x 10= × 2× 27x 5−x 10= 14x 1�� 10= 13x 104xy2x y= 4xy2−× xy× xyx y= 4xy2x2y xy2= 4−x2y xy2CONTOH15Permudah setiap yang berikut.(b)y 2x−3y 2x(b) y 2x−3y 2x= y −3y2x= 2y 2x−= –y x(c)x +25w−x 55w(c) x +25w−x −55w= x +2−(x −5)5w= x +2x +55w= 75w(a) 4a 5 + 3a 5Penyelesaian:(a) 4a 5 + 3a 5= 7a 5(−)×(−)=+yx=−yxTanda negatif tidak boleh berada di bahagian penyebut11

p. 43

BAB 235Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra12× 2× 2 – 14= 2 – 14= 1434 – 13= × 3× 33 4– × 4× 41 3= 912– 412= 512CONTOH16Menambah atau menolak pecahan algebra yang penyebutnya tidak samaSalah satu daripada penyebutnya ialah gandaan bagi penyebut yang lainPermudah setiap ungkapan berikut.(a) 34y−12y(b) 4rs – 2rsPenyelesaian:× 2× 2× r × r (a) 34y – 12y = 32 4y= 14ySamakan penyebutnyaPenyelesaian:(a) 14p + 46p = 1 4p + 46p= 312p + 812p= 1112pPenyebut pecahan tersebut tidak mempunyai faktor sepunyaCONTOH17Permudah setiap ungkapan berikut.(a) 5x3−3x2Penyelesaian:(a) 5x33x2=1�� –9x6= x6× 2× 2× 3× 3(b) 2a3 + b2c(b) 2a3 + b2c= 2a3 + b2c= 4ac +3b6c× 2c× 2c× 3Penyebut pecahan mempunyai faktor sepunyaCONTOH18Permudah setiap ungkapan berikut.(a) 14p + 46p(b) m4r – 5m14rs 2p4p , 6p2, 3GSTK = 2p × 2 × 3 = 12p× 3× 3× 2× 2× 7s× 7s × 2× 2 2r4r , 14rs2, 7sGSTK = 2r × 2 × 7s = 28rs(b) m4r – 5m14rs = m4r – 5m14rs= 7ms 10m28rs× 3Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK)(b) 4rs – 2rs=4−2r2rs

p. 44

BAB 236Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra34÷ 54= 341× 451= 352.3.2 Pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra Melaksanakan pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.Untuk mendarab dan membahagi ungkapan algebra, anda perlu memfaktorkan ungkapan tersebut, kemudian memansuhkannya sekiranya terdapat faktor sepunya pada pengangka dan penyebutnya. Misalnya,Proses ini memerlukan kemahiran pemfaktoran yang telah anda pelajari.CONTOH19Permudah.(a) a212ab × b21 + a (b) (h + k)22k – h × 6k– 3hh2– k2(c) 5aa + 2b ÷ 2ab3a + 6b (d)a2– b10a – 5b ÷ (a– b)28a – 4bPenyelesaian:(a) a212ab × b2(1 + a)= (a +1)(a –1)2ab11× b(b)(1 + a)11= b(a –1)2a(b) (h + k)22k – h × 6k– 3hh2– k2= (h + k)(h + k)2k – h11× 3(2k h)(h + k)(h – k)11= 3(h + k)h – k(d) a2– b210a – 5b ÷ (a– b)28a – 4b= (a + b)(a – b)5(2a – b)11× 4(2a– b)(a – b)(a – b)11= 4(a + b)5(a b)(2p + 4) ÷ (p2 −4) boleh ditulis sebagai 2p +4p2–4.2p +4p2–4 = 2(p +2)p2–22= 2(p +2)(p +2)(p – 2)11= 2p –2Faktorkan pengangkaPermudah ungkapan atau sebutan yang sama jika adammn11 = 1n2s28sp= 112(s)(s)8(s)(p)= s4pa2 + 2ab + b2 = (a + b)2a2−2ab + b2 = (a−b)2a2−b2 = (a + b)(a−b)a + 1 = 1 + aa − b = −(b − a)(p − q)2=(q − p)2Faktorkan(c) 5aa + 2b ÷ 2ab3a + 6b = 5a(a + 2b)11× 3(a + 2b)2ab11 = 152bPermudah ungkapan yang samaPermudah ungkapan yang samaPermudah ungkapan yang samaPermudah ungkapan yang samaSalingan1xadalahx ÷ 1 dan tukarkan operasi÷kepada×1x÷1x= 11x× x11= 1

p. 45

BAB 237Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraSelesaikan gabungan operasi berikut.(a) 25b(15a + 25b) + ab(b) 9k2 – 12k +4(3k +2)(3k – 2)(c) 12m– 18m24n216n × nm(d) a – b3a + b ÷ (a – b)26a +2b CONTOH202.3.3 Gabungan operasi ungkapan algebraMelaksanakan gabungan operasi ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.Penyelesaian:(a) 25b(15a + 25b) + ab= 25b × 5(3a + 5b) + ab11= 2(3a + 5b) b+ ab= 6a + 10bb + ab= 7a + 10bbJOM CUBA2.31. Permudah setiap yang berikut.(a) 4(b −1)2 −9(b)(m + 3)2 −16(c)(p −5)2 −49(d)7x(x −1)−3(e)(2c −1)2 +2(4 + c)2.Permudah setiap yang berikut.(a)3y5 + 3y5(b)3m +2nm – 2n – m – 5nm – 2n(c)4r – 3s2r + 3s – 3r – 4s2r + 3s3.Permudah setiap yang berikut.(a)5p – 2p2(b)2s3 – 4s9(c)3x + y – 3z4(x + y)4.Permudah setiap yang berikut.(a)3u4 + 5v3(b)16s – 25t(c)2r – 2 + 43sPERHATIANPemfaktoran dua, tiga dan empat sebutan:Empat sebutan6xy + 2y + 9x +3Contoh:(6xy + 2y) + (9x + 3)= 2y(3x + 1) + 3(3x + 1)= (2y + 3)(3x + 1)Tiga sebutanFaktor dalam dua kurungan ( )( )Contoh:x2−4x−21= (x−7)(x + 3)a2b2 = (a + b)(ab)Contoh:x216= (x + 4)(x4)Dua sebutan(d) a – b3a + b ÷ (a – b)26a +2b = a – b3a + b × 6a +2b (a – b)2= (a – b)(3a + b) × 2(3a + b) (a – b)(a – b)= 2a – b1111(c) 12m– 18m24n2–16n × nm= 6m(2 – 3m)4n(n –4)32 × nm= 3(2 – 3m)2(n –4)1111(b) 9k2 – 12k +4(3k +2)(3k – 2)= (3k –2)(3k –2)(3k +2)(3k – 2)= 3k –23k +211

p. 46

BAB 238Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra5.Permudah setiap yang berikut.(a)m9 + n12(b)33mn + n6m2(c)4d2g + 35dg6.Permudah.(a)x2– xxy(b)6a + 1512(c)m + nm2 – n2(d)2k – 14k2 – 1(e)c2 – 92c + 67.Permudah.(a)2a – 3 × 33+ a(b)hk – 2 × yh +3(c)3m(m – n) × 2mn(n – 2m)(d)2rs – 2 × s – 4r + 58.Permudah.(a)mx + 2 × 2(x + 2)m2(x – a)(b)2r2rs – s2 × 5r – 5s2r – 4r2(c)xx + 2 × x2 + 5x + 65x2(d)e + 2f5e – 2f × 4f2–10ef3e2 – 9ef9.Permudah.(a)5a2a + 3 ÷ 3ba + b(b)4n – 3 ÷ 8a3n – 9(c)6y2x2+ xy ÷ 18xyx + y(d)f – 1eg + 2e ÷ fg – gg + 210. Selesaikan gabungan operasi berikut.(a)x2+ xx2– y2 × xy – y2x + y(b)4p2 – 1p2 – 1 × pq + q4p – 2(c)pq – prr2– 1 ÷ q2 – r2r2 + r(d)st + tu4t2 – 1 ÷ s2 – u24t2 + 4t +11.Kembangkan setiap ungkapan berikut.(a)12 (6a + 12b)(b)(n + 2)(n – 5)(c)(a + 2b)2(d)(4x – y)2(e)�2v – 13w��3v + 23w�(f)(h – k)2 – 4h(2k – 3h)2.Faktorkan setiap ungkapan berikut.(a)12m – 18m2(b) y2 –81(c)4ab – 8a2b(d)x2 –16y2(e) (s – 3)2 –1(f)x2 + 4x + 3(g)x2 + 2x – 15(h) x2 + 6x + 8(i) 6cd – 2ce – 3bd + be3.Permudah setiap ungkapan berikut.(a)a + 24v + a – b2v(b)3e5ab – 5d4c(c)4f2g – 35fgMENJANA KECEMERLANGAN

p. 47

BAB 239Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra(d)n + 2m2 + nmp(e)5x8yz + y – 112xz(f)rs4y + 2 – r18yz4.Nenek mempunyai sekeping coklat berukuran (k2 – 16) cm panjang dan dia ingin membahagikannya kepada cucunya seramai (k – 4) orang. Berapakah ukuran panjang coklat yang akan diterima oleh setiap cucunya?5.Gurdip dan Jumrang ialah pekerja sambilan di sebuah kedai runcit. Gurdip mendapat bayaran gaji RM3 per jam lebih murah daripada dua kali gaji Jumrang. Katakan gaji Jumrang ialah RMx per jam, hitung jumlah gaji bagi (x + 2) jam gaji Gurdip dan (2x + 3) jam gaji Jumrang. Tulis dalam bentuk ungkapan algebra.6.Luas sebidang tanah untuk membuat parkir kereta di sebuah pasar raya ialah 25(x2 – 8x + 16) meter persegi.(i) Jika luas seunit tapak parkir kereta ialah (x – 4)2 meter persegi, berapa buahkah kereta yang dapat diparkirkan di tempat tersebut?(ii)4 unit tapak parkir telah ditempah oleh pemilik pasar raya tersebut. Berapakah unit tapak parkir yang tinggal?7.Khairul ingin menampal dindingnya dengan kertas hiasan dinding. Dindingnya berukuran (x + 5) meter panjang dan (3x 2)meterlebar.(i) Berapakah luas kawasan dinding yang akan ditampal dengan kertas hiasan dinding sekiranya ukuran pintu ialah (x – 1) meter panjang dan x meter lebar?(ii) Sekiranya harga kertas hiasan dinding tersebut ialah RM8x per meter persegi, berapakah jumlah wang yang perlu dibayar oleh Khairul?8.Swee Lee sepatutnya dapat menyiapkan (28 + 16x) bilangan soalan matematik dalam masa 4 jam. (i) Berapakah bilangan soalan yang dapat disiapkan dalam masa 30 minit?(ii) Sekiranya Swee Lee hanya dapat menyiapkan (14 + 8x) bilangan soalan tersebut, berapa lamakah masa yang diambilnya?9.Azimah membuat seloyang kuih lapis berbentuk segi empat tepat berukuran (3x + 2) cm panjang dan (x + 2) cm lebar. Dia memotong kuih lapis tersebut kepada 6 bahagian panjang dan 3 bahagian lebar. Hitung luas sepotong kuih lapis tersebut dalam bentuk ungkapan algebra.10. EncikHanapiinginmendirikansebuahbanglosatutingkatdisebidangtanahberukuranx meter lebar dan y meter panjang. Dia perlu menyediakan 2 meter rizab jalan untuk jirannya.(i) BerapakahluastanahEncikHanapiyangasal?(ii)Berapakah perbezaan luas tanah yang asal dengan luas tanah selepas ditolak rizab jalan?(iii)Sekiranya harga tanah ialah RM18 per meter persegi, berapakahhargakeseluruhantanahEncikHanapi?xy2Rumah jiran

p. 48

BAB 240Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan AlgebraINTI PATI BABPemfaktoranProses menulis suatu ungkapan algebra sebagai hasil darab dua atau lebih sebutan atau ungkapan algebra.Pemfaktoran ialah songsangan kepada kembangan.•2a – a2 = a(2 – a)•a2 + 4a + 3 = (a + 1)(a + 3) •a2 –7a + 10 = (a – 5)(a – 2)•a2 –36 = (a2 – 62) = (a – 6)(a + 6)•ab + ac + bd + cd = (b + c)(a + d)•a22ab + b2 = (ab)2Penambahan dan PenolakanSebelum menambah atau menolak dua pecahan algebra, semak penyebutnya dahulu. Jika penyebutnya tidak sama, anda perlulah samakannya.•a4 + b4 = a + b4•1a + 1b = b + aab•12a – 1ab= × b × b 12a – ×2×21ab= b –22abPemfaktoran dan Pecahan AlgebraKembanganPendaraban suatu ungkapan dengan suatu sebutan lain atau ungkapan algebra yang lain.•a(x + y) = ax + ay•(a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by•b(c + d) = bc + bd•(b + c)(d + e) = bd + be + cd + ce•(b + c)2 = b2 + 2bc + c2•(bc)2 = b22bc + c2•(b + c)(b c) = b2c2Pendaraban dan PembahagianLaksanakan pemfaktoran kepada ungkapan jika perlu, sebelum pembahagian atau pendaraban dilakukan.m + nx y ÷ (m + n)2x2– y2 = m + nx – y × (x + y)(x − y)(m + n)(m + n)= x + ym + n1111

p. 49

BAB 241Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra1.Menerangkan maksud kembangan dua ungkapan algebra.2.Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra.3.Mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan gabungan operasi termasuk kembangan.4.Menyelesaikan masalah yang melibatkan kembangan dua ungkapan algebra.5.Menghubungkaitkan pendaraban ungkapan algebra dengan konsep faktor dan pemfaktoran, dan seterusnya menyenaraikan faktor bagi hasil darab ungkapan algebra tersebut.6.Memfaktorkan ungkapan algebra dengan pelbagai kaedah.7.Menyelesaikan masalah yang melibatkan pemfaktoran.8.Melaksanakan penambahan dan penolakan ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.9.Melaksanakan pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.10.Melaksanakan gabungan operasi ungkapan algebra yang melibatkan melibatkan kembangan dan pemfaktoran.Pada akhir bab ini, saya dapat:Tajuk:Berapakah sukatan sebaldi air ini?Bahan: Sebaldi air (dilabel z), beberapa botol mineral kecil (dilabel x), beberapa botol mineral besar (dilabel y) dan corongSetiap kumpulan diberi beberapa botol mineral yang kosong (berbeza saiz) dan corong. Murid diminta menuangkan air tersebut ke dalam botol kosong. Tulis hubungan algebra tentang sukatan air tersebut. Bentangkan hasil jawapan setiap kumpulan. Adakah sukatan setiap kumpulan sama? Dapatkah anda menentukan isi padu air?zxxxyyyREFLEKSI DIRI

p. 50

BAB 342Bab 3 Rumus Algebra•Rumus algebra•Pemboleh ubah•Pekali•Perkara rumus•Algebraic formula•Variable•Coefficient•Subject of formula3.1Rumus AlgebraRANGKAI KATA42Sebuah kedai borong menjual pakaian dengan harga RMy. Pada musim perayaan, kedai borong tersebut memberikan diskaun kepada jumlah pembelian pakaian seperti yang berikut.Sebagai seorang pengatur cara komputer, anda diminta untuk membangunkan satu atur cara yang mengandungi rumus pengiraan harga jualan pakaian tersebut.ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 51

BAB 343Bab 3 Rumus Algebra43MASLAHAT BAB INIRumus algebra diaplikasi oleh jurutera, ahli statistik, ahli matematik dan ahli astronomi dalam melaksanakan urusan kerjaya mereka.Al-Khwarizmi memperkenalkan nombor negatif dan perpuluhan. Beliau juga mengasaskan satu pengaturcaraan matematik menggunakan satu set arahan untuk menyelesaikan suatu pengiraan yang kompleks.Untuk maklumat lanjut:http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms043

p. 52

BAB 344Bab 3 Rumus Algebra3.1Rumus AlgebraUngkapan algebra ialah gabungan dua atau lebih sebutan algebra menggunakan operasi tambah, tolak, darab atau bahagi. Rumus algebra ialah ungkapan algebra yang ditulis dalam bentuk persamaan.Tujuan: Mengenal rumusBahan: Kalendar persekolahanLangkah:1.Murid melakukan aktiviti ini secara berpasangan.2.Hitung jumlah wang yang dapat disimpan daripada situasi berikut (anggap pengiraan bermula dari 1 hari bulan hingga hari terakhir setiap bulan).Situasi 1 Badrul seorang murid tingkatan 2 yang suka menabung. Dia menerima wang saku sebanyak RM5 dan berbelanja sebanyak RM4.50 secara tetap pada setiap hari persekolahan. Berapakah jumlah wang simpanan Badrul pada bulan Januari?Situasi 2Sedthu mengumpul wang sebanyak RM15 setiap bulan. Jika dia menerima wang saku sebanyak RM10 sehari, hitung perbelanjaan Sedthu dalam sehari pada bulan April.3.Nyatakan kaedah menghitung wang simpanan.AKTIVITI KREATIFTujuan: Membentuk rumus algebraBahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Murid melakukan aktiviti ini secara berkumpulan.Sebuah kelab kebudayaan akan membuat persembahan pada malam kebudayaan peringkat sekolah. Jadual di sebelah menunjukkan bilangan penari mengikut jenis tarian dan bangsa yang diwakili oleh satu abjad seperti dalam jadual berikut.3.1.1 Membentuk rumusDaripada dua situasi di atas, anda perlu menulis persamaan yang menghubungkan nilai wang saku, nilai wang belanja dan bilangan hari dengan operasi tambah dan darab untuk mendapatkan nilai wangsimpanan.Wangsaku,wangbelanjadanbilanganhariialahpembolehubah.Andabolehmenentukan jumlah wang simpanan dengan mengubah nilai pemboleh ubah tersebut.Membentuk rumus berdasarkan suatu situasi.

p. 53

BAB 345Bab 3 Rumus AlgebraJenis tarianBangsaMelayuCinaIndiaSumazaua2c2aKuda Kepang2bb5bSinga2c3acAbjad a, b dan c dikenali sebagai pemboleh ubah. 2. Terbitkan rumus untuk setiap perkara rumus yang berikut.(a)s, bilangan penari berbangsa Cina.(b)d, bilangan penari tarian Kuda Kepang.(c)w, bilangan penari India dan Melayu.Perbincangan:(i)Perbezaan rumus di antara kumpulan di dalam kelas anda.(ii)Kesimpulan daripada aktiviti di atas.CONTOH1Suzi menjual dua jenis kek pada harga yang berlainan. Kek coklat dijual pada harga RM3 sepotong manakala kek keju dijual pada harga dua kali ganda harga kek coklat. Sempena pembukaan cawangan baru, dia memberikan diskaun 10% untuk semua harga kek. Terbitkan rumus pengiraan harga jualan kek, jika m potong kek coklat dan npotong kek keju berjaya dijual. Penyelesaian: Harga kek keju = 2 kali ganda kek coklat= 2 × RM3 = RM6 Harga jualan, z= �(bilangan kek coklat × harga) + (bilangan kek keju × harga)� × diskaun= �(m × RM3) + (n × RM6)�×(100%−10%)= (RM3m + RM6n) × 90%= (3m + 6n) × 0.9dengan, z= harga jualan m = bilangan kek coklatn = bilangan kek kejuRumus algebra; z= 0.9 (3m + 6n) = 2.7m + 5.4nRumus yang diterbitkan s = 2c + b + 3a, d = 8b, w = 3a + 7b + 3c. Daripada aktiviti di atas, rumus dibentuk dengan menghubungkan beberapa pemboleh ubah.Adakah persamaan ini digelar rumus?(i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c)(ii) pa + qa=baBincangkan.Dalam aktiviti di sebelah, s,ddanw ialah perkara rumus dan boleh ditulis di sebelah kiri atau kanan.Pemboleh ubah dalam sesuatu rumus boleh diwakili dengan huruf ahinggaz (dalam contoh 1, mdan n mewakili pemboleh ubah). z dalam rumus di sebelah dikenali sebagai perkara rumus.Tarian Sumazau ialah tarian tradisi suku kaum Kadazan Dusun di Sabah. Tarian Sumazau dipersembahkan pada Tadau Kaamatan yang disambut pada setiap bulan Mei.http:\/\/www.jkkn.gov.my\/pemetaanbudaya\/

p. 54

BAB 346Bab 3 Rumus AlgebraPerkara rumus bagi persamaan di atas boleh ditukar seperti berikut.(i)a = P – 2b(ii) b = P −a2Perimeter, P bagi sebuah segi tiga sama kaki boleh diungkapkan dalam sebutan a dan b sebagai P = a + 2bUngkapkan m sebagai perkara rumus.(a) q = m + p(b)b = 2s – m(c) a = 52m(d) t =m – n–3Penyelesaian:CONTOH2abb(b)(c)(d)Pemboleh ubah boleh diungkapkan menjadi perkara rumus suatu rumus algebra. Begitu juga perkara rumus boleh menjadi pemboleh ubah rumus algebra tersebut.3.1.2 Menukar perkara rumusMenukar perkara rumus bagi suatu persamaan algebra.(a)m + p = qm + p – p= q – p Maka, m = q – p 2s – m= b2s –2s m= b – 2sm= b 2s1–1×(– m)= 1–1(b –2s) m= –b +2s Maka, m=2s b m – n–3= tm – n–3 × –3= t × (–3) m – n = – 3t m n + n = – 3t + n m= – 3t + n Maka, m = n –3tPerkara rumus sebaikbaiknya ditulis di sebelah kiri persamaan.Anda telah belajar menyelesaikan persamaan linear dengan tiga kaedah berikut.(a)Kaedah cuba jaya(b)Aplikasi konsep kesamaan(c)Kaedah pematahbalikana= 52ma × 2m= 52m × 2m 2am= 52am2a= 52a Maka, m= 52am diungkapkan dalam sebutan am diungkapkan dalam sebutan n dan tPekali bagi perkara rumus mesti bernilai 1.1 × p= p1 × p= p0 × p= 013 × p= p313 × p = p3m diungkapkan dalam sebutan p dan q111111m diungkapkan dalam sebutanb dan s

p. 55

BAB 347Bab 3 Rumus Algebra(c)p3= w�p3�2= w2p3= w2p3 × 3= w2 × 3 p= 3w2Ungkapkan p sebagai perkara rumus.Penyelesaian:CONTOH3(a)q = p(b)s = p2(c)w = p3(d)t = 1p2(a) p= q (p)2 = (q)2p= q2(d) t= 1p2 t× p2= 1p2 × p2 tp2= 1 p2 = 1tp= 1t(b)p2= sp2 = sp= sMenentukan nilai suatu pemboleh ubah apabila nilai pemboleh ubah lain diberikan.Nilai bagi satu perkara rumus boleh diperoleh apabila semua nilai pemboleh ubah diberikan. Sebaliknya, nilai suatu pemboleh ubah boleh diperoleh apabila nilai perkara rumus dan pemboleh ubah lain diberikan.3.1.3 Menentukan nilai pemboleh ubahCONTOH4Diberi w = 7t – 5u, hitung nilai berikut(a) nilai w apabila t = 3 dan u = –2 (b) nilai t apabila w = 15 dan u = 4Penyelesaian:(a) Gantikan t = 3 dan u = –2 ke dalam rumus.w =7(3)5(−2)= 21 + 10= 31 −a + a = 0 −a−a=−2a −a × a=−a2(−a)×(−a)= a2 −a ÷ a=−1(−a)÷(−a)= 1Kedua-dua belah persamaan dikuasaduakan(�a2)2 = a2�a2= aPERHATIAN�x= x12(�x)2 = (x12)2= x12× 2= x1111PERHATIANSalinganKuasa duaPunca kuasa dua(�x)2 = a2, x = a21x= a, x = 1a√x2 = √a , x = ±√a

p. 56

BAB 348Bab 3 Rumus AlgebraCONTOH53.1.4 Penyelesaian masalahHarga seketul ayam goreng di kantin sekolah ialah dua kali ganda harga sebungkus roti. Dengan wang sebanyak RM5, Azman membeli dua bungkus roti dan seketul ayam. Baki perbelanjaan tersebut ialah RM1 dan disimpan. Jika Azman membawa RM12, berapa ketulkah ayam goreng yang dapat dibeli dengan jumlah bilangan roti yang sama?CONTOH6(b) Gantikan w = 15 dan u = 4 ke dalam rumus. 7t – 5u= w 7t – 5(4) = 15 7t = 15 + 20 t=357t = 5Diberi m =14(p – q)2, hitung nilai q jika diberi m = 16 dan p = 3.Penyelesaian:m× 4= 14(p q)2 × 4 4m= (p q)2�4m=√(p q)2 p q= �4m – q= �4m – p(– q) × 1–1= �√4m – p� × 1–1 q =−√4m + pq= p – √4mq = 3 – √4(16)q= 3 – 8 q = –5Gantikan m = 16 dan p = 3Kedua-dua belah persamaan dipuncakuasaduakanKedua-dua belah persamaan didarab 1–1Menyelesaikan masalah yang melibatkan rumus.Kaedah alternatifGantikan m = 16 dan p = 3 16= 14(3 − q)2 64 = (3 − q)2√64= (3 − q)8= 3 − qq= 3 − 8q= −5Rumus AlgebraPemboleh ubahPemboleh ubah ialah kuantiti yang nilainya belum dikenal pasti atau boleh berubah.PemalarPemalar ialah kuantiti yang nilainya tetap.Rumus AlgebraRumus algebra ialah persamaan yang menghubungkan beberapa pemboleh ubah.Perkara RumusPerkara rumus ialah pemboleh ubah bersandar yang diungkapkan dalam sebutan pemboleh ubah tak bersandar bagi suatu rumus. Perkara rumus sentiasa mempunyai pekali 1.Penentuan perkara rumus melibatkan(a)satu daripada operasi asas matematik.(b)kuasa atau punca kuasa.(c)gabungan operasi asas dan kuasa atau punca kuasa.

p. 57

BAB 349Bab 3 Rumus AlgebraJOM CUBA3.1Memahami masalahBilangan ayam goreng yang boleh dibeli oleh Azman dengan wang sebanyak RM12.Melaksanakan strategi(a) Wakilkanbilanganayamgorengdenganhurufy.(b)Jumlah harga roti + Jumlah harga ayam = RM12 (RM1 × 2) + (RM2 × y) = RM12 2 + 2y= 12y= 12 – 22= 5Membuat kesimpulanAzman dapat membeli 5 ketul ayam goreng.Penyelesaian:Merancang strategiMenentukan harga sebungkus roti(a) Wakilkanhargarotidanayamdenganhurufx.Harga roti = RM xHarga ayam = RM2x(b)Jumlah harga roti + Jumlah harga ayam + RM1 = Jumlah belanja 2(RMx) + RM2x + RM1 = RM5 2x + 2x + 1 = 5 4x + 1 = 5x= 5−14= 1Maka, harga sebungkus roti ialah RM1 dan harga seketul ayam ialah RM2.1.Ungkapkan huruf dalam kurungan sebagai perkara rumus.(a)z = m −qp m v = u + 2 u 3y = 7wx x 3a = 45 + b b 5q = 3u−5 u 2w =−4+5v v2a = √3b + 5 b(−5t)2 = 25w236 w (−3m)2 = 4p −8 m √(9r2) = 4s−7 [r] 2.Harga sehelai kemeja ialah RM35, manakala harga sehelai seluar ialah RM45. Diskaun sebanyak 15% diberikan pada harga sehelai kemeja, manakala diskaun sebanyak 10% diberikan pada harga sehelai seluar. Tulis rumus jualan, z, jika Syamsul ingin membeli x helai kemeja dan yhelai seluar.

p. 58

BAB 350Bab 3 Rumus Algebra3. Selesaikan yang berikut.(a)Diberi c = 4d + 8, hitung(b) Diberi 4p=185q, hitung(i)nilai c apabila d = 2(i) nilai p apabila q = 2(ii)nilai d apabila c = 10(ii) nilai q apabila p = 2(c) Diberi 13m = 23n + 8, hitung(d) Diberi √4m = n2 −52, hitung(i) nilai m apabila n=−15 (i)nilai n apabila m = 4(ii) nilai n apabila m = 30(ii) nilai m apabila n = 2(e)Diberi 3u = 4r + s, hitung(f) Diberi 35p = 23q −14r, hitung(i) nilai u apabila r = 5 dan s =−2 (i)nilaip apabila q = 3 dan r = 8(ii) nilai r apabila u = 3 dan s = 3(ii) nilai q apabila r=−12danp = 10(iii)nilai s apabila u = 2 dan r = 12(iii) nilai r apabila p=−15danq =−15(g)Diberi √3a= 9b−4c, hitung(h) Diberi 112s = 35t2+ 13u2, hitung(i)nilai a apabila b = 13 dan c = 12(i) nilai s apabila t =−5danu = 3(ii) nilai b apabila c = 3 dan a = 12(ii) nilai t apabila u =−6dans = 28(iii)nilai c apabila a = 3 dan b = 3 (iii) nilai u apabila s = 46 dan t = 564.Tulis rumus algebra berdasarkan situasi berikut.(a) Jumlah harga, RMz yang perlu dibayar oleh seorang pembeli yang membeli x buah buku kerja dan y kotak set geometri. Setiap buku kerja dan set geometri masing-masing berharga RM5.90 dan RM3.60.(b) Dalam suatu jamuan kelas, seorang guru membeli p karton minuman tin untuk diagihkan kepada q orang murid. Daripada sejumlah minuman tin tersebut, tujuh tin dikeluarkan untuk dibahagi kepada guru mata pelajaran. Jika satu karton mengandungi 24 tin minuman, hitung bilangan tin minuman yang diterima oleh setiap murid, b dalam sebutan p dan q.(c)Kasut A dijual dengan harga RM35 sepasang, manakala kasut B berharga RM76 sepasang. Kedai Kasut Cantik menawarkan diskaun sebanyak 15% untuk pembelian dua pasang kasut. Kasut A dan kasut B boleh dicampur bilangannya. Mei Ling membeli m pasang kasut A dan n pasang kasut B. Hitung harga yang perlu dibayar, P dalam sebutan m dan n.(d) Sebuah kereta mampu bergerak sejauh 10 km dengan isian petrol sebanyak 1 liter. Ungkapkan kos petrol, RMx yang perlu diisi untuk perjalanan sejauh s km jika satu liter petrol berharga RMt.MENJANA KECEMERLANGAN1. Tulis rumus algebra daripada situasi berikut.(a) A mewakili luas, manakala x mewakili panjang sisi sebuah segi empat sama. Tulis rumus yang menghubungkan A dengan x.

p. 59

BAB 351Bab 3 Rumus Algebra(b) Bayaran sewa sebuah gelanggang sepak takraw ialah RM5 bagi satu jam yang pertama. Bayaran bagi setiap jam yang berikutnya ialah RM3. Tulis rumus yang menghubungkan jumlah bayaran, p dan jam yang disewa, h.(c) Pecutan, a ialah perbezaan antara laju akhir, v2 dan laju awal, v1 yang dibahagikan dengan masa, t. Tulis hubungan antara a, v2, v1 dan t.2. Ungkapkan huruf dalam kurungan sebagai perkara rumus.(a) m =–3q + pqx =–p – ww 2e =4g +3h g 34m 6p =34q q w = 3v2v 2m = 34n2 n 3w = (v + 1)212v54f = 5k −7k Diberi w = x + y1 + x, hitung nilai(i) w, jika x = 2 dan y=8(ii) x, jika w = 20 dan y = 5(iii) y, jika w = 5 dan x = 6(c) Diberi−2p = (q + 1)(r + q), hitung nilai(i) p, jika q = 3 dan r = 3q(ii) q, jika p = 3 dan r = 2q(iii) r, jika p =13 dan q = 2p3. Hitung nilai yang berikut.(b)Diberi 6b = c −d29, hitung nilai(i) b, jika c = 20 dan d = 2(ii) c, jika b = 19 dan d = 2(iii) d, jika b =12dan c = 90(d)Diberi 4s2 = �3t – 4u5�2, hitung nilai(i) s, jika t= s −1 dan u = 2s(ii) t, jika s =− 5u dan u = 3(iii) u, jika s = 13t dan t=2−u4. Seorang pengurus cawangan kedai makanan segera dibayar gaji 3 kali ganda berbanding dengan gaji pekerja sambilan, RMx sehari. Masa bekerja untuk pekerja sambilan ialah separuh dari masa bekerja pengurus itu, y dalam tempoh sebulan. Jika mereka bekerja 26 hari dalam sebulan, tulis rumus perbezaan gaji, RMz antara kedua-dua pekerja tersebut dalam sebutan x dan y.5.Julia mengambil 40 saat untuk berjalan sejauh 50 meter. Bantu Julia menulis rumus mengira tempoh perjalanan, t dalam minit, dari rumahnya ke sekolah yang berjarak s kilometer.6.Luas trapezium di bawah ialah 36 cm2. Jika x + y = 11 cm, hitung nilai x dan y.xcm4 cm2y cm

p. 60

BAB 352Bab 3 Rumus AlgebraINTI PATI BABRumus algebra menggabungkan ungkapan algebra dengan operasi tambah, tolak, darab atau bahagi dalam bentuk persamaan.1. y= 3x – 52. w= 6 – 7vv3. A= 12th4. L= πj2Suatu nilai pemboleh ubah dalam rumus algebra boleh diperoleh apabila diberi suatu nilai pemboleh ubah yang lain.Contoh:Diberi Q = 2vv + u , hitung nilai u, jika v = 2, Q = 4Maka, u = 3Penyelesaian masalah melibatkan penukaran perkara rumus, gabungan operasi asas aritmetik, kuasa dan punca kuasa.Perkara rumus diwakili oleh abjad. Perkara rumus boleh berubah bergantung kepada nilai pemboleh ubah yang ingin diperoleh. w = – 6 – 8tt= – 6 – w8REFLEKSI DIRI1. Membentuk rumus berdasarkan suatu situasi.2. Menukar perkara rumus bagi suatu persamaan algebra.3. Menentukan nilai suatu pemboleh ubah apabila nilai pemboleh ubah lain diberikan.4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan rumus.Pada akhir bab ini, saya dapat:Rumus Algebra

p. 61

BAB 353Bab 3 Rumus AlgebraTajuk: Papan mengiraBahan: Kad manila, kotak terpakai, kertas warna, gam dan guntingLangkah:1. Buat satu papan mengira untuk mengira harga yang perlu dibayar oleh murid bagi pembelian tiga barang.2. Contoh barang yang hendak dibeli ialah pen, air mineral dan buku tulis.3.Harga pen, air mineral dan buku tulis ditentukan oleh murid mengikut harga semasa.BarangBilanganabcHargaa × RM b × RM c × RM Jumlah(i)(ii)(iii)Jumlah keseluruhanContoh papan mengira++(i)(ii)(iii)

p. 62

BAB 454Bab 4 PoligonBAB4BAB 44.1Poligon Sekata4.2Sudut Pedalaman dan Sudut Peluaran Poligon•Poligon•Poligon sekata•Poligon tak sekata•Paksi simetri•Sisi•Sudut pedalaman•Sudut peluaran•Sudut penggenap•Origami•Polygon•Regular polygon•Irregular polygon•Axis of symmetry•Side•Interior angle•Exterior angle•Supplementary angle•OrigamyRANGKAI KATADalam kehidupan seharian, terdapat gabungan bentuk poligon di sekeliling kita terutamanya dalam reka bentuk bangunan. Gabungan bentuk poligon dapat menghasilkan suatu seni yang menarik dan pelbagai.Pola geometri ini dapat dilihat pada Masjid Terapung Tanjung Bungah, Pulau Pinang yang memiliki keunikan gabungan seni bina tempatan dan Asia Barat.54ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 63

BAB 455Bab 4 PoligonBAB4Poligon berasal daripada perkataan ‘polygon’ yang bererti ‘poly’, banyak dan ‘gon’ yang bermaksud sudut. Poligon dinamakan mengikut jumlah sisinya. Untuk poligon yang lebih besar, ahli matematik menulis mengikut bilangan sisi, contohnya 17-gon. MASLAHAT BAB INIPoligon diaplikasikan dalam mencipta logo, membuat mural pada dinding sekolah dan membuat simetri pada lukisan.Dalam bidang teknologi, ilmu poligon digunakan dalam seni bina bangunan, bumbung, corak dalaman, rekaan pakaian dan banyak lagi.Kerjaya yang terlibat dalam bidang ini ialah juruukur, juruteknik, jurutera, arkitek, perekagrafikdanbanyaklagi.55Untuk maklumat lanjut:http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms055

p. 64

BAB 456Bab 4 Poligon4.1 Poligon Sekata4.1.1 Sifat geometri poligon sekataPoligon sekata ialah poligon yang semua sisinya sama panjang dan semua sudut pedalamannya sama saiz.Mengenal poligon sekataTujuan: Meneroka sifat geometri poligon sekataBahan: Pembaris dan jangka sudutJIKHLEFDGPoligon ialah bentuk tertutup pada satu satah yang dibatasi tiga atau lebih garis lurus sebagai sisi-sisinya.AKTIVITI KREATIFTujuan:Menghasilkan pentagon menggunakan lipatan kertas (origami)Bahan: Kertas berbentuk segi empat sama dan guntingLangkah:1.Lipat kertas segi empat sama kepada dua bahagian seperti Rajah A.2.Labelkan setiap bucu segi empat tepat dengan PQRS.3.Lipat bucu P rapat ke sisi QR. Pastikan bucu ditemukan dengan tepat sebelum anda menekan kertas untuk membentuk garisan lipatan seperti Rajah B. Buka lipatan.4.Lipat bucu Q ke sisi PS sepertiRajah C. Buka lipatan. Terdapat kesan lipatan berbentuk X dan tandakan titik tengah.5.Bawa bucu S ke titik tengah tadi, kemudian lipat.6.Ambil bucu yang menyentuh titik tengah tadi dan bawa ke sisi paling kanan dan lipatkan.7.Ambil bucu P, rapatkan ke sisi tengah TUmenjadi bentuk seperti Rajah D.8. Lipatkan ke belakang.9.Akhir sekali, gunting bahagian atas lipatan seperti Rajah D.10. Buka lipatan kertas, nyatakan bentuk origami yang terhasil.QRTQRPSRajah ARajah BRajah CSUPMenghuraikan sifat geometri poligon sekata menggunakan pelbagai perwakilan.BACQR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms056untuk melihat video tutorial origami berbentuk pentagon. Rajah DOrigami berasal daripada perkataan Jepun yang bermaksud ‘ori’ = seni, ‘gami’ = kertasURTQPS

p. 65

BAB 457Bab 4 PoligonAntara rajah berikut, yang manakah merupakan sebuah poligon sekata atau poligon tak sekata?(a)(b)(c)(d)(e)(f)CONTOH1Segi tiga ABCPanjang sisiUkuran sudutAB∠CABBC∠ABCCA∠BCAKesimpulan: Segi empat DEFGPanjang sisiUkuran sudutDE∠GDEEF∠DEFFG∠EFGGD∠FGDKesimpulan: Pentagon HIJKLPanjang sisiUkuran sudutHI∠HIJIJ∠IJKJK∠JKLKL∠KLHLH∠LHIKesimpulan: Perbincangan:Bincangkan hasil dapatan anda.Penyelesaian:(a) Poligon tak sekata(b)Poligon tak sekata(c) Poligon sekata(d) Poligon sekata(e) Poligon tak sekata(f) Poligon tak sekataLangkah:1. Ukur panjang sisi dan sudut pedalaman semua poligon. 2. Lengkapkan jadual di bawah.Poligon sekata ialah poligon yang semua sisinya sama panjang dan semua sudut pedalamannya sama saiz. Poligon sekata mempunyai sudut pedalaman yang kongruen. Poligon tak sekata pula ialah poligon yang tidak semua sisinya sama panjang.Menentukan jenis poligonSesuatu poligon boleh mempunyai tiga atau lebih sisi.Poligon SekataSemua sisi sama panjang. Semua sudut pedalaman sama saiz.3 sisi Segi tiga6 sisi Heksagon4 sisi Segi empat7 sisi Heptagon5 sisiPentagon 8 sisiOktagon Poligon Tak SekataTidak semua sisi sama panjang.3 sisi Segi tiga6 sisi Heksagon4 sisi Sisi empat7 sisi Heptagon5 sisiPentagon 8 sisiOktagon Poligon CengkungMempunyai sekurangkurangnya satu sudut lebih daripada 180°.Poligon CembungTiada sudut pedalaman lebih daripada 180°.Poligon KompleksMempunyai garisan yang bersilang dalam poligon itu.Bukan poligonBulatanBentuk yang mempunyai garisan melengkungBentuk tak tertutupObjektiga dimensi

p. 66

BAB 458Bab 4 PoligonBilangan paksi simetri bagi sebuah poligon sekata adalah sama dengan bilangan sisi poligon tersebut.Menentukan paksi simetriTujuan:Menghuraikan paksi simetri poligon sekataBahan: Perisian geometri dinamik,pencetak, gunting dan kertas A4Langkah:1.Buka fail MS058A untuk memperoleh lembaran kerja yang telah disediakan. Cetak fail tersebut.2.Bahagikan kelas kepada dua kumpulan.3.Kumpulan pertama dikehendaki menggunting bentuk poligon sekata, manakala kumpulan kedua menggunting bentuk poligon tak sekata.4.Dengan cara melipat poligon tersebut, tentukan paksi simetri bagi semua poligon sekata dan poligon tak sekata itu.5.Lengkapkan jadual di bawah.Perbincangan:(i)Apakah kaitan antara bilangan sisi poligon sekata dengan bilangan paksi simetri?(ii) Buat kesimpulan hasil dapatan kumpulan pertama dan kumpulan kedua.Bilangan SisiBilangan Paksi SimetriPoligon sekataPoligon tak sekataQR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms058b untuk mendapatkan nama poligon pelbagai sisi.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms058a untuk mendapatkan lembaran kerja. Bagi poligon tak sekata bilangan paksi simetri harus diterokai dengan kaedah lipatan.

p. 67

BAB 459Bab 4 Poligon4.1.2 Membina Poligon SekataPoligon sekata boleh dibina dengan menggunakan pelbagai kaedah. Terokai aktiviti di bawah.Membina poligon sekata menggunakan pelbagai kaedah dan menerangkan rasional langkah-langkah Tujuan:Menghasilkan poligon sekatapembinaan.Bahan: Perisian geometri dinamik, pencetak, kertas dan guntingLangkah:1.Buka fail MS059A untuk eksplorasi poligon sekata.2.Klik arahan polygon dan pilih regular polygon.3.Klik sebarang titik pada satah Cartes.4.Klik sebarang titik kedua.5.Pada tetingkap regular polygon, di ruangan vertices masukkan bilangan bucu yang hendak dibina. Contohnya, pentagon ada lima bucu.6.Ulang langkah yang sama untuk heksagon sekata, heptagon sekata, oktagon sekata dan nonagon sekata.7.Cetak dan tampal hasil kerja anda dalam buku.Perbincangan:Bincangkan hasil dapatan anda.Tujuan: Menghasilkan oktagon sekata menggunakan origamiBahan: Pencetak, kertas warna berbentuk segi empat sama dan guntingLangkah:1.Buka fail MS059B untuk menyaksikan tutorial menghasilkan origami berbentuk oktagon.2.Lipat kertas kepada dua bahagian seperti Rajah A. Buka lipatan. 3.Bawa bucu Q ke bucu S dan lipat seperti Rajah B. Buka lipatan seperti Rajah C dengan kedudukan T berada di tengah-tengah sisi PS.4.Bawa sisi PS dengan T berada di atas garisan pepenjuru PR seperti Rajah D dan lipat.5.Guntingkan garisan putus-putus warna hitam.6.Buka lipatan, maka terhasillah oktagon.Perbincangan:Bincangkan hasil dapatan anda.Tujuan: Membina poligon sekata menggunakan alat geometriBahan: Pensel, pembaris, kertas A4 dan jangka lukisQR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms059buntuk menyaksikan tutorial menghasilkan origami berbentuk oktagon. QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms059auntuk eksplorasi rangsangan minda. QPRajah ARSQPRajah BRSQPRajah CRSTQPRajah DRSOktagon

p. 68

BAB 460Bab 4 PoligonAktiviti 2:Bina segi empat sama bersisi 4 cm.Aktiviti 3:Bina sebuah heksagon sekata bersisi 3.5 cm.Poligon sekata juga boleh dibina dengan kaedah membahagi sama sudut di pusat bulatan mengikut bilangan sisi.(d) Lukiskan garisan dari A ke C dan B ke C. Terhasillah segi tiga sama sisi.(c) Bina lengkok dengan jejari 5 cm dari titik B supaya bersilang dengan lengkok pertama tadi. Titik persilangan dilabel C.(a)Bina tembereng garis AB dengan panjang 5 cm.(b) Bina lengkok dengan jejari 5 cm dari titik A.C(d)Bina dua lengkok berjarak 4 cm dari B dan D supaya kedua-dua lengkok itu bersilang. Titik persilangan dilabel C.(c)Bina satu lengkok berjarak 4 cm dari Asupaya bersilang dengan garis serenjang itu. Titik persilangan dilabel D(a)Bina tembereng garis AB dengan panjang 4 cm.(b)Bina satu garis serenjang dengan AB yang melalui titik A.A4 cmBABABDABDC(d)Lukiskan garisan AB, BC, CD, DE, EF dan FA untuk membentuk sebuah heksagon sekata.(c)Bina lengkok berjarak 3.5 cm dari B dan tandakannya sebagai C dan ulang langkah tersebut sehingga F.(a)Bina sebuah bulatan berjejari 3.5 cm. Tandakan satu titik pada lilitan dan label sebagai A.(b)Bina satu lengkok berjejari 3.5 cm dari A dan tandakannya sebagai B.4 cmAFBCDEAFBCDEABAAktiviti 1:Bina segi tiga sama sisi dengan panjang sisi 5 cm.Daripada kesemua aktiviti yang telah dijalankan, kaedah yang paling jitu dalam membina poligon sekata adalah dengan menggunakan perisian geometri dinamik.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms060 untuk menghasilkan poligon sekata menggunakan alat geometri.Perbincangan:Bincangkan hasil dapatan anda.A5 cmBABABAB

p. 69

BAB 461Bab 4 PoligonJOM CUBA4.13.Lengkapkan jadual berikut dengan ciri-ciri poligon.2.Surih rajah berikut. Tentukan bilangan paksi simetri pada setiap rajah jika ada.(a)(b)(c)(d)1.Tentukan sama ada setiap poligon berikut merupakan poligon sekata atau poligon tak sekata.(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)120°60°Poligon sekataNama poligonBilangan sisiBilangan bucuBilangan paksisimetri4.Bina poligon sekata berikut dengan pembaris dan jangka lukis.(a)Segi tiga sama sisi dengan panjang sisi 3.4 cm.(b)Segi empat sama bersisi 3.6 cm.(c)Heksagon sekata bersisi 4 cm.(d)Heptagon sekata bersisi 4.2 cm.(e)Oktagon sekata bersisi 4.5 cm.

p. 70

BAB 462Bab 4 Poligon4.2.1 Hasil tambah sudut pedalamanTerdapat perkaitan antara bilangan sisi sebuah poligon dengan hasil tambah sudut pedalamannya. Perhatikan aktiviti di bawah.4.2 Sudut Pedalaman dan Sudut Peluaran PoligonMenerbitkan rumus hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon.Tujuan: Meneroka bilangan setiap segi tiga di dalam poligonBahan: Kertas dan protraktorLangkah:1.Buka fail MS062 untuk mendapatkan maklumat tentang bentuk-bentuk poligon.2.Cetak segi tiga, segi empat, pentagon, heksagon, heptagon, oktagon dan nonagon.5.Lukis poligon sekata yang berikut dengan membahagi sudut pada pusat secara sama saiz.(a) Pentagon sekata(b) Heksagon sekataQR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms062 untuk mendapatkan lembaran kerja bentuk-bentuk poligon.Sudut pedalaman ialah sudut yang terbentuk oleh dua sisi bersebelahan di dalam sesuatu poligon.Sudut a, b dan c ialah sudut pedalaman.Sudut x, y dan z ialah sudut peluaran.Sudut peluaran ialah sudut yang terbentuk apabila satu sisi poligon dipanjangkan. Penggenap kepada sudut pedalaman.xabyzcHasil tambah sudut pedalaman satu segi tiga ialah 180°.abca + b + c = 180°Sudut Peluaran 115°Sudut Pedalaman 65°Sudut peluaran + Sudut pedalaman = 180°.180°

p. 71

BAB 463Bab 4 Poligon3.Sambungkan bucu setiap poligon untuk membentuk segi tiga dalam poligon seperti contoh di bawah.4.Lengkapkan jadual di bawah.Perbincangan:(i)Apakah hubungan antara bilangan sisi, n dengan bilangan segi tiga?(ii) Apakah hubungan antara bilangan sisi segi tiga dengan hasil tambah sudut pedalaman?5.Hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon = Bilangan segi tiga × 180°= × 180°Pentagon boleh dibahagi kepada 3 segi tiga. Cuba anda nyatakan jumlah sudut pedalaman pentagon.Hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon = (n 2) × 180°.CONTOH2Nyatakan bilangan segi tiga yang terbentuk bagi setiap poligon yang berikut.(a) Poligon 13 sisi(b)Poligon 18 sisiPenyelesaian:(a) Bilangansegitiga=132= 11(b) Bilangansegitiga=182= 16PoligonBilangan sisi (n)Bilangan segi tigaHasil tambah sudut pedalamanSegi tiga311 × 180° = 180°Segi empat422 × 180° = 360° PentagonHeksagonHeptagonOktagonNonagonDekagon1121321234Dalam sebutan nBilangan sisiNama Poligon12dodekagon13tridekagon14tetradekagon15pentadekagon16heksadekagon17heptadekagon18oktadekagon19enneadekagon20ikosagon

p. 72

BAB 464Bab 4 Poligon4.2.2 Hasil tambah sudut peluaran poligonTujuan: Meneroka hasil tambah sudut peluaranBahan: Perisian geometri dinamikHasil tambah sudut peluaran sebuah poligon ialah 360°.Membuat dan mengesahkan konjektur tentang hasil tambah sudut peluaran poligon.(b)Hasil tambah sudut pedalaman= (n−2)×180° =(42)×180°= 360°Maka, x + 130° + 60° + 90°= 360\u00b�� + 280° = 360\u00b�� =360°−280\u00b�� = 80°Penyelesaian:(a)Hasil tambah sudut pedalaman= (n−2)×180° =(5−2)×180°= 540°Maka, x + 100° + 130° + 60° + 90°= 540\u00b�� + 380° = 540\u00b�� =540°−380\u00b�� = 160°CONTOH3Hitung nilai x bagi poligon berikut.(a) (b)100°130°60\u00bİ°60\u00b��Langkah:1.Buka fail MS064 untuk memperoleh lembaran kerja yang telah disediakan. Cetak fail tersebut.2.Buat konjektur bagi setiap poligon di ruang yang disediakan dalam lembaran bercetak.3.Buka fail hasil tambah sudut peluaran.ggb.4.Teroka setiap poligon yang disediakan.5.Seret penggelongsor dilate untuk mengubah saiz sisi poligon yang dipaparkan.6.Sahkan hasil tambah sudut peluaran poligon.Perbincangan:Bincangkan hasil tambah sudut peluaran poligon.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms064 untuk mendapatkan lembaran kerja di sebelah.Konjektur ialah proposisi atau teorem yang kelihatan benar. Keputusan konjektur tidak dibuktikan secara formal. Konjektur membolehkan kita membuat spekulasi daripada suatu situasi matematik. Contohnya, jika kita menambah dua nombor positif, maka hasilnya sentiasa lebih besar daripada nombor tersebut.PoligonnHasil tambah sudut peluaranKonjekturKesahan (Ya \/ Tidak)

p. 73

BAB 465Bab 4 PoligonCONTOH4(a)Hitung nilai x bagi setiap rajah berikut.(b)∠FCD = 360°5= 72\u00b�� =180°−72°−72°= 36°4.2.3 Nilai sudut pedalaman, sudut peluaran dan bilangan sisi suatu poligonCONTOH5Hitung nilai sudut pedalaman bagi sebuah heksagon sekata.Penyelesaian:Bilangan sisi heksagon sekata, n = 6Hasil tambah sudut pedalaman = (n −2)×180°=(6−2)×180°= 4 × 180°= 720° Maka, sudut pedalaman = Hasil tambah sudut pedalamanBilangan sisi= 720°6= 120°Menentukan nilai sudut pedalaman, sudut peluaran dan bilangan sisi suatu poligon.Sudut pedalaman poligon sekata= (n − 2) × 180°n(b)Dalam rajah di bawah, ABCDE ialah sebuah pentagon sekata. BCF dan EDF ialah garis lurus. Hitung nilai x. xFDCEBAPenyelesaian:(a) Hasil tambah sudut peluaran = 360\u00b�� + 160° + 120° = 360\u00b�� + 280° = 360\u00b�� =360°−280\u00b�� = 80°CONTOH6Hitung nilai b bagi rajah di sebelah.Penyelesaian:360° = (30° + b + b + 50° + 45° + 15° + 60° + 30°)360°= 230° + 2b 2b=360°−230° 2b= 130° b= 65°30°60°b50°45°15°30° + bx160°120°Sudut peluaran poligon sekata Sudut pedalaman = 180° − sudut peluaran= 360°n

p. 74

BAB 466Bab 4 PoligonPERHATIANJumlah sudut pedalamanSudut pedalaman Sudut peluaran180° − sudut peluaranatauatau4 × 180° = 540°bilangan segi tiga180° − sudut pedalamanjumlah sudut pedalamanbilangan sisi360°bilangan sisi(n−2)×180°3456segi tigasegi empatpentagonheksagonPOLIGON SEKATAMemahami masalahMenghitung sudut y menggunakan rumus (n2)× 180°nSudut x berada dalam segi tiga sama kaki.∠UPQ = ∠TSR = y180° −∠UPQ2Merancang strategi(a) y = (62)× 180°6 y= 120°(b) x = 180° −120°2 x= 30° z = 30°(sudut selang seli)Melaksanakan strategi(b)Perbezaan antara ydengan (x + z)= 120° −(30° + 30°)= 60°Membuat kesimpulan(a) y = 120°(b) y−(x + z) = 60°CONTOH8CONTOH7CONTOH9Hitung bilangan sisi sebuah poligon sekata berikut apabila diberi nilai sudut pedalaman.(a)108°(b)144°Penyelesaian:(a) Sudutpeluaran =180°−108°= 72°Bilangan sisi, n= 360°sudut peluarann= 360°72°n= 5Hitung nilai sudut peluaran bagi sebuah oktagon sekata.Penyelesaian:Bilangan sisi sebuah oktagon sekata, n= 8Hasil tambah sudut peluaran= 360°Maka, sudut peluaran= 360°8= 45°(b) Sudutpeluaran =180°−144°= 36°Bilangan sisi, n= 360°sudut peluarann= 360°36°n= 104.2.4 Penyelesaian masalahGambar rajah di sebelah ialah heksagon sekata yang dibesarkan daripada corak pada sebiji bola sepak.(a) Hitung sudut y.(b) Hitung perbezaan antara y dengan (x + z).Menyelesaikan masalah yang melibatkan poligon.Penyelesaian:TSyzxRQPU

p. 75

BAB 467Bab 4 Poligon3.Hitung nilai x bagi setiap rajah berikut.(a)(b)(c)(d)JOM CUBA4.21. Nyatakan bilangan segi tiga yang terhasil dalam poligon berikut dan hitung jumlah sudut pedalamannya.PoligonBilangan segi tiga dalam poligonJumlah sudut pedalamanPentagonHeksagonHeptagonOktagonNonagon80°130\u00b��x100°75°85\u00bP°76°2.Namakan semua sudut pedalaman dan sudut peluaran bagi setiap poligon yang berikut.(a)(b)Sudut pedalaman:Sudut pedalaman:Sudut peluaran:Sudut peluaran:ghabdcfebgcihdejaf70°60°50\u00bĒ°

p. 76

BAB 468Bab 4 Poligon4.Bagi setiap rajah di bawah, hitung nilai p, q dan r.(a)(b)5.Hitung nilai a + b + c.(a)(b)(c)(d)6.Tentukan bilangan sisi bagi poligon yang mempunyai hasil tambah sudut pedalaman(a) 900°(b) 1 080°(c) 1 260°7.Zaidi mempunyai sebuah kebun sayur berbentuk poligon sekata. Garis putus-putus dalam rajah di bawah merupakan paksi simetri kebun beliau.(a) Apakah bentuk sebenar kebun sayur Zaidi?(b) Hitung nilai y.8.Rajah menunjukkan dua buah kolam renang di sebuah pusat sukan berbentuk oktagon dan pentagon sekata. Apakah nilai sudut x?x1.Bina poligon berikut dengan jangka lukis dan pembaris.(a) Segi tiga sama sisi ABC dengan sisi 4 cm.(b) Segi empat sama PQRS dengan sisi 3 cm. MENJANA KECEMERLANGANybacbqr112°60°abc98°65°100°r45°pq80°pbac60°80°85°abc80°

p. 77

BAB 469Bab 4 Poligon2.Hitung nilai p, q, dan r dalam rajah yang berikut.(a)(b)(c)3.Hitung nilai x bagi poligon berikut.(a)(b)(c)4.Hitung bilangan sisi bagi setiap poligon sekata berikut.(a)(b)(c)(d)5.(a)Hitung nilai bagi x + y dalam rajah di bawah.36°140°140°150°150°(b) Rajah menunjukkan logo berbentuk pentagon sekata. FED ialah garis lurus. Hitung nilai x + y.ABCFEDyx(c) Dalam rajah di bawah, HIJKL ialah sebuah pentagon. KJM ialah garis lurus. Hitung nilai a + b + c + d.HLKJMIbacd65°r85°135°pq40°pr105°q75\u00bĠ°2x85\u00b`°100°110°130¾\u00b��y65°150°140°q45°pr

p. 78

BAB 470Bab 4 Poligon6.Azreen ingin melukis logo bagi Kelab Pembimbing Rakan Sebaya di sekolahnya. Dia memilih bentuk heksagon sekata berjejari 4 cm. Bantu Azreen melukis logonya dengan menggunakan pembaris, protraktor dan jangka lukis.7.Hasil tambah semua sudut pedalaman sebuah poligon sekata ialah 2 700°. Nyatakan bilangan sisi poligon itu.8.Dalam rajah di bawah, hitung nilai p + q.9.Berdasarkan rajah di bawah, ABCDEFGH ialah sebuah oktagon sekata dan EFKLM ialah sebuah pentagon sekata. Hitung ∠CBM.10.Sudut peluaran sebuah poligon sekata ialah 2h, manakala sudut pedalaman poligon yang sama ialah 7h.(a) Hitung nilai h.(b) Hitung sudut pedalaman dan sudut peluarannya.(c) Hitung bilangan sisi poligon dan namakan poligon tersebut.11.Rajah di bawah ialah 4 buah pentagon sekata dan sebuah segi empat sama. Hitung nilai x.xABHGFEDC67°MLKpq80°92°60°98°70°

p. 79

BAB 471Bab 4 Poligon13.Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada corak yang terhasil melalui cantuman jubin. Terdapat dua jenis jubin, iaitu jubin A dan jubin B yang merupakan poligon sekata. Hitung bilangan sisi jubin A.12.Bahar ingin membina sebuah poligon yang mempunyai jumlah sudut pedalaman 300°. Bolehkah Bahar membina poligon tersebut? Jelaskan jawapan anda.14. Devaaadalahseorangpelajarjurusanrekagrafikdisebuahuniversititempatan.BantuDevaamenghitung nilai x untuk membina bingkai gambar bercirikan gabungan poligon yang terdiri daripada sebuah pentagon sekata dan dua buah rombus.15.Hitung nilai x.xJubin AJubin AJubin AJubin AJubin BJubin Bx

p. 80

BAB 472Bab 4 PoligonINTI PATI BABSudut peluaran sebuah poligon ialah penggenap kepada sudut pedalaman poligon itu.Sudut Peluaran + Sudut Pedalaman = 180°Hasil tambah sudut peluaran = 360°Poligon tak sekata ialah poligon yang tidak semua sisinya sama panjang.Poligon sekata ialah poligon yang semua sisinya sama panjang dan semua sudut pedalamannya sama saiz.Sudut PeluaranSudut Pedalaman= 360°3= 360°4= 360°5= (32)×180°3= (4−2)×180°4= (5−2)×180°5Bilangan paksi simetri poligon sekata dengan n sisi ialah npaksi simetri.Poligon SekataPoligon Tak SekataHasil tambah sudut pedalaman = (n −2)×180°•Sudut Pedalaman =(n−2)×180°n•Sudut Peluaran = 360°nHasil tambah sudut peluaran= 360°

p. 81

BAB 473Bab 4 Poligon1.Menghuraikan sifat geometri poligon sekata menggunakan pelbagai perwakilan.2.Membina poligon sekata menggunakan pelbagai kaedah dan menerangkan rasional langkah-langkah pembinaan.3.Menerbitkan rumus hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon.4.Membuat dan mengesahkan konjektur tentang hasil tambah sudut peluaran poligon.5.Menentukan nilai sudut pedalaman, sudut peluaran dan bilangan sisi suatu poligon.6.Menyelesaikan masalah yang melibatkan poligon.Pada akhir bab ini, saya dapat:Sebagai seorang peniaga kedai makanan, reka cipta sebuah logo perniagaan anda menggunakan gabungan bentuk dua atau tiga poligon. Anda boleh menggunakan perisian geometri dinamik, alat geometri atau origami dalam menghasilkan logo anda.Bentangkan rasional pemilihan logo perniagaan anda itu di dalam kelas.Contoh logoREFLEKSI DIRI

p. 82

BAB 574Bab 5 BulatanPergerakan jarum jam akan menghasilkan bulatan pada pusingan lengkap 360°. Dalam bahasa Yunani, pergerakan jarum jam disebut 'kirkos' yang bermaksud berpusing dan melengkok.5.1Sifat Bulatan5.2Sifat Simetri Perentas5.3Lilitan dan Luas Bulatan•Bulatan•Lilitan•Jejari•Pusat•Diameter•Perentas•Tembereng•Sektor•Sektor minor•Sektor major•Tembereng minor•Tembereng major •Simetri•Circle•Circumference•Radius•Centre•Diameter•Chord•Segment•Sector•Minor sector•Major sector•Minor segment•Major segment•SymmetryRANGKAI KATA74ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 83

BAB 575Bab 5 BulatanBulatan ditakrifkan sebagai lingkaran bagi titik yang bergerak dari satu titik tetap pada jarak yang sama. Titik tetap itu dikenali sebagai pusat bulatan dan jarak yang sentiasa sama ini disebut sebagai jejari. Bulatan juga merupakan satu lengkung tertutup yang dinamakan lilitan bulatan atau perimeter bulatan. Ahli matematik bernamaEuclidialahorangpertamayangmengkaji bulatan. Beliau juga dikenali sebagai ‘Bapa Geometri’ kerana kajiannya.MASLAHAT BAB INIBab ini boleh diaplikasikan dalam seni bina, ilmu falak, reka bentuk dan astronomi.Untuk maklumat lanjut:http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms07575

p. 84

BAB 576Bab 5 BulatanAKTIVITI KREATIFTujuan: Mengenal bulatanBahan: Kertas warna, gam, gunting, tali dan penebukLangkah:1.Murid membentuk kumpulan.2.Setiap kumpulan dikehendaki menyediakan seberapa banyak bulatan dalam pelbagai saiz. Contohnya seperti rajah di sebelah.3.Bulatan yang dibina akan digunakan untuk menghias kelas.4.Tulis rumus matematik yang telah dipelajari sebelum ini seperti rumus luas segi empat, luas segi tiga, isi padu kubus, isi padu kuboid, teorem Pythagoras dan sebagainya dalam bulatan.5.1 Sifat Bulatan5.1.1Mengenal bahagian bulatanMengenal bahagian bulatan dan menerangkan Tujuan: Mengenal bahagian bulatansifat bulatan.Bahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS076 yang telah disediakan.2.Perimeter sebuah bulatan dinamakan .3.Seret titik A yang berada di tengah bulatan ke semua arah.(i)Titik A dinamakan bulatan.4.Seret titik B mengelilingi bulatan.(i)Garisan dari pusat bulatan ke sebarang titik pada perimeter bulatan dinamakan .5.Seret titik C mengelilingi bulatan, kemudian seret titik C' mengelilingi bulatan.(i)Garisan CC' yang melalui pusat dan menyentuh lilitan dinamakan .6.Seret titik E dan titik D mengelilingi bulatan.(i)Garisan yang menyambung dua titik pada lilitan bulatan dinamakan .(ii)Rantau yang dibatasi itu dinamakan .7.Seret titik C dan D.(i)Apakah dua garisan yang terhasil? Garisan AC dan .(ii)Rantau yang dibatasi oleh dua jejari ini dinamakan . Perbincangan:Bina satu kesimpulan tentang penerokaan anda. Daripada aktiviti di atas, beberapa bahagian bulatan telah dikenal pasti seperti rajah di sebelah.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms076 di bawah untuk mengenal bahagian bulatan.

p. 85

BAB 577Bab 5 BulatanDalam rajah, O ialah pusat bulatan.Kenal pasti bahagian bulatan berikut.Penyelesaian:a,Perentasc,Jejarie, SektorDiameter ialah perentas yang paling panjang bagi sesuatu bulatan.Bulatan ialah lingkaran bagi satu titik yang bergerak sama jarak dari satu titik tetap.TemberengRantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan satu perentas.Tembereng MinorTembereng MajorSektorRantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari.Sektor Sektor MajorMinorLengkok Lengkok MajorMinorLengkokLengkok adalah sebahagian daripada lilitan.DiameterGaris lurus yang menyentuh lilitan dan melalui pusat bulatan.PerentasGaris lurus yang menyambung sebarang dua titik pada lilitan.BahagianbulatanPusatSatu titik tetap yang berjarak sama dari semua titik pada lilitan bulatan.JejariGaris lurus dari pusat bulatan ke sebarang titik pada lilitan bulatan.LilitanPerimeter sebuah bulatan.CONTOH1b,Diameterd,Lilitanf,LengkokMengapakah bola, glob dan guli tidak dikenali sebagai bulatan?abOdfce

p. 86

BAB 578Bab 5 BulatanSyarat LangkahPenyelesaian(a) Bina bulatan apabila diberi jejari 3 cm dan berpusat O.1.Tandakan satu titik O.2.Ukur jangka lukis berjarak 3 cm pada pembaris.3.Letakkan hujung tajam jangka lukis pada titik O dan lukis sebuah bulatan berjejari 3 cm.(b) Bina diameter yang melalui titik Qdalam bulatan yang berpusat di titik O.1.Sambungkan titik O dan Q dengan garis lurus menggunakan pembaris.2.Lanjutkan garis itu sehingga menyentuh lilitan. Maka, garis lurus yang melalui Q dan pusat yang menyentuh lilitan ialah diameter.(c) Bina dua perentas dengan panjang 3 cm dari titik P pada bulatan.1.Buka jangka lukis pada pembaris dan ukur selebar 3 cm.2.Letakkan hujung tajam jangka lukis pada titik P.3.Lukis lengkok yang memotong lilitan dan labelkan titik A.5.1.2Membina bulatanTujuan: Membina suatu bulatan dan bahagian bulatan berdasarkan syarat yang diberikanBahan: Jangka lukis, protraktor, pembaris dan penselLangkah:Membina suatu bulatan dan bahagian bulatan berdasarkan syarat yang diberi.OAPO3 cmLangkah 1OQOLangkah 2Langkah 1Qdiameter

p. 87

BAB 579Bab 5 Bulatan4.Sambungkan titik P ke titik Ayang telah ditanda pada lilitan.5.Maka, garisan PA ialahperentas.(d) Bina sektor bulatan bersudut 60° pada pusat bulatan yang berjejari 2 cm.1.Lukis sebuah bulatan berpusat O dengan panjang jejari OA ialah 2 cm.2.Dengan menggunakan protraktor, tandakan satu titik pada sudut 60° dari jejari OA.3.Lukis jejari OB dengan menyambung pusat O dari titik itu dengan garis lurus.Maka, AOB ialah sektor bulatan.Perbincangan:Daripada aktiviti di atas, apakah bahagian bulatan yang telah dibina?Daripada aktiviti di atas, murid dapat(a)membina suatu bulatan apabila diberi panjang jejari atau diameter.(b)membina diameter melalui satu titik yang tertentu dalam suatu bulatan.(c)membina perentas melalui satu titik yang tertentu dan diberi panjang perentas.(d)membina sektor bulatan apabila diberi sudut sektor dan panjang jejari suatu bulatan.OAP3 cmBAO60°OA2 cmOLangkah 2Langkah 1Langkah 2Langkah 3TapakPusatSkala dalamSkala luarUntuk mengukur sudut ABC, letakkan pusat protraktor di atas bucu sudut tersebut. Pastikan garisan yang tertera nilai 0 terletak di atas garisan AB. Baca sudut menggunakan skala luar. Maka, sudut ABC ialah 120°.ABC

p. 88

BAB 580Bab 5 Bulatan2.Bina bulatan yang berjejari(a)3 cm(b) 4.5 cm(c)2.5 cm(d) 6 cm3.Bina diameter yang melalui titik Q bagi setiap bulatan berpusat di O.(a) (b) 4.Bina perentas sebuah bulatan dengan jejari dan panjang perentas seperti berikut.JejariPanjang Perentas(a) 3 cm4 cm(b) 4.5 cm6.7 cm5.Dengan menggunakan protraktor, bina sektor AOB dengan O ialah pusat bulatan. Jejari dan ∠AOBadalah seperti berikut.Jejari∠AOB(a) 3 cm70°(b) 3.6 cm120°OQJOM CUBA5.1CODBA1.Namakan(i)titik O. (ii) garis AOC.(iii)sektor AOB. (iv) garis OA. (v)lengkok AB. (vi)garis BC. (vii) kawasan berlorek BCD. OQ

p. 89

BAB 581Bab 5 Bulatan5.2Sifat Simetri Perentas5.2.1Ciri-ciri bulatanMenentusahkan dan menerangkan bahawa(i)diameter ialah paksi simetri bulatan;(ii)jejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas itu dan sebaliknya;(iii)pembahagi dua sama serenjang dua perentas bertemu di pusat bulatan;(iv)perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang; dan(v)perentas yang sama panjang adalah sama jarak dari pusat bulatan dan sebaliknya.Tujuan: Menentusahkan(i) sifat diameter sebuah bulatan.(ii) hubungan jejari yang berserenjang dengan perentas.Bahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS081untuk memperoleh fail yang telah disediakan.2.Klik kotak Aktiviti.3.Seret titik Q ke titik P,T, U, B1,V dan Z.(i)Namakan diameter bulatan tersebut. Garisan .(ii)Perhatikan nilai sudut yang terdapat di pusat bulatan apabila diameter QQ' digerakkan. Adakah pergerakan ini menghasilkan nilai sudut yang sama? Adakah bentuk terhasil juga sama?(iii)Jika anda melipat bulatan tersebut pada garisan QQ', adakah bentuk itu dapat bertindih dengan tepat?(iv)Diameter pada suatu bulatan dikenali sebagai .4.Klik semula kotak Aktiviti untuk aktiviti seterusnya.5.Seret penggelongsor Gerakkan Saya sehingga selesai.(i)Jejari yang membahagi dua sama perentas adalah dengan perentas tersebut.(ii)Jejari yang berserenjang dengan perentas perentas tersebut.(iii)Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang .Perbincangan:Nyatakan kesimpulan bagi semua aktiviti penerokaan di atas. Bulatan mempunyai bilangan paksi simetri yang tidak terhingga kerana sebarang garis lurus yang melalui pusatnya merupakan paksi simetri bagi bulatan tersebut.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms081 untuk sifat simetri perentas 1.Jejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas itu. Diameter sebuah bulatan merupakan suatu paksi simetri bulatan tersebut.Diameter ialah perentas yang melalui pusat bulatan.O

p. 90

BAB 582Bab 5 BulatanTujuan: Menentusahkan(i) sifat pembahagi dua sama serenjang dua perentas. (ii) sifat-sifat perentas yang sama panjang dalam suatu bulatan.Bahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS082 untuk memperoleh fail yang telah disediakan.2.Seret titik A supaya AB = CD.3.Klik kotak pada jarak garis berserenjang dari pusat bulatan.4.Ulang langkah 1 dan 2 jika ingin mendapat nilai jarak yang lain.Perbincangan:(i) Di manakah garisan OP dan OQ bertemu?(ii) Adakah panjang lengkok AGB dan CID sama?(iii) Jika panjang AB = CD, jarak OP = jarak .(iv) Adakah jarak OP dan OQ sama?OOOPembahagi dua sama serenjang dua perentas bertemu di pusat bulatan.Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang.Dua perentas yang sama panjang adalah sama jarak dari pusat bulatan dan sebaliknya.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms082untuk sifat simetri perentas 2.Berapakah bilangan paksi simetri untuk separuh bulatan?

p. 91

BAB 583Bab 5 BulatanRajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan dengan perentas MN yang berserenjang dengan jejari OP.(a)Adakah panjang MS sama dengan panjang SN? Jelaskan.(b)Jika jejari bulatan ialah 10 cm dan OS = 8 cm, hitung panjang perentas MN.Penyelesaian:(a)Ya, MS = SNOPKMAQBNCONTOH3(b)MS = �102−82MS = �100−64MS = �36MS = SN = 6Maka, MN = 12 cm.Jejari OP yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas.Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan garis MN ialah perentas.(a)Namakan paksi simetri bagi rajah ini.(b)Diberi OK = 3 cm dan NK = 4 cm, hitung panjang ON.(c)Namakan sudut yang sama saiz dengan ∠ONK.Penyelesaian:(a) AOB dan POQCONTOH2MNPSOTeorem PythagorasAB2 + BC2 = AC2ataua2 + b2 = c2ABacbC(b)ON2= 42+ 32ON= �(16 + 9)ON= �25ON= 5Maka, panjang ON ialah 5 cm.NKO4 cm3 cmDua jejari dan perentas membentuk segi tiga sama kaki.OAB10 cm8 cm(c) ∠OMKOialah pusat bulatan. Apakah hubungan antara OP, OQ dan OM?OQPMON = OM

p. 92

BAB 584Bab 5 BulatanRajah di sebelah menunjukkan dua perentas yang sama panjang RS dan TU. POQ ialah garis lurus yang melalui pusat bulatan O. Diberi OP = 5 cm dan RS = 24 cm.(a)Hitung panjang PR.(b)Adakah lengkok minor RMS dan TNU sama panjang? Jelaskan.(c)Hitung jejari bulatan itu.Penyelesaian:(a)Jejari yang berserenjang dengan perentas, membahagi perentas itu kepada dua bahagian yang sama panjang,Panjang PR = 24 ÷ 2 = 12 cm(b) Ya, perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang.(c)OR = �PR2 + OP2= �122 + 52= �144 + 25= �169= 13 cmCONTOH4Perentas RS dan TU sama panjangOR, OS, OT dan OU ialah jejari bulatan5.2.2Pusat dan jejari bulatan Menentukan pusat dan panjang jejari bagi suatu bulatan melalui pembinaan geometri.Tujuan: Menentukan pusat dan jejari bulatanBahan: Jangka lukis, pembaris, pensel, bahan yang berbentuk bulatLangkah:1.Surih bentuk bulat pada sehelai kertas.2. Bina dua perentas, PQ dan PR dari titik P bulatan itu.3.Bina garisan pembahagi dua sama serenjang bagi perentas PQ dan PR.4.Titik persilangan dua garisan pembahagi dua sama serenjang ditandakan dengan O.5.Lukis satu garisan dari O ke lilitan bulatan dan namakannya sebagai OT.Perbincangan:(i) Bincangkan ciri titik O.(ii) Bincangkan ciri garisan OT.Pembahagi dua sama serenjang bagi sebarang perentas akan sentiasa bersilang di pusat bulatan.PQORTSudut pada lilitan dalam sebuah semi bulatan ialah 90°.UQRSTPMNO

p. 93

BAB 585Bab 5 BulatanJOM CUBA5.21.Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan. MNOP dan KNL ialah garis lurus. Diberi bahawa MN = 8 cm dan NP = 18 cm. Hitung panjang KL.2.Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan yang berpusat O. JKL dan KOM ialah garis lurus. Diberi bahawa JK = KL = 15 cm dan jejari bulatan 25 cm. Hitung panjang, dalam cm, garis KOM.5.2.3Penyelesaian masalahCONTOH5Menyelesaikan masalah yang melibatkan sifat Seorang tukang besi diminta membina sebuah kerangka tingkap simetri perentas.berbentuk bulatan seperti rajah di bawah. Tingkap berbentuk bulatan itu berdiameter 50 cm. Tiga batang besi, PR,US dan QT yang tidak sama panjang digunakan untuk menyokong tingkap tersebut. Hitung panjang PR.Penyelesaian:OMNPKPONLMemahami masalahDiameter tingkap = 50 cmQT = 31 cmUS = 48 cmHitung panjang PR.Membuat kesimpulanMaka, PR ialah 14 cm.Merancang strategi jejari = diameter 2= 502= 25 cm OT = �OU2 −UT2 OQ= QTOT PQ= �OP2 OQ2 PR= PQ × 2PQ= �252 −242= �625576= �49= 7 cm OT= �252 −242= �625−576= �49= 7 cm PR= 7 + 7= 14 cmMelaksanakan strategiOMLJKOQ=31−7= 24 cmUPRSQ31 cm48 cmOT

p. 94

BAB 586Bab 5 BulatanTujuan: Menentukan hubungan antara lilitan bulatan dengan diameterBahan:Jam randik, baldi, tayar basikal, pita pengukur, pensel atau sebarang bahan yang boleh digunakan untuk diganti dengan bahan berbentuk bulat yang berada di sekeliling andaLangkah:1.Dengan menggunakan pita ukur, ukur lilitan bagi permukaan jam randik, baldi dan tayar basikal.2.Ukur diameter bagi ketiga-tiga bahan tersebut.3.Salin dan lengkapkan jadual di bawah.BahanLilitan (cm)Diameter (cm)1. Jam randik2. Baldi3. Tayar basikalPerbincangan:(i)Bincangkan perkaitan antara diameter dengan lilitan.(ii)Apakah nilai nisbah lilitan kepada diameter?Daripada aktiviti di atas didapati nilai nisbah lilitan kepada diameter, iaitu π suatu bulatan ialah 3.142 atau 227 .Lilitan DiameterINGAT!Diameter = 2 × Jejari5.3Lilitan dan Luas Bulatan5.3.1 Hubungan lilitan bulatan dengan diameterLilitan bulatan ialah ukuran sekeliling bagi satu bulatan. Rajah di bawah menunjukkan sebuah meja bulat yang perlu dipasang skirtinguntuk majlis perkahwinan. Berapakah panjang kain skirting yang diperlukan?Ukuran untuk skirting itu dapat dihitung dengan rumus yang melibatkanπ(pi).πdibacasebagai“pai”.Menentukan hubungan antara lilitan dengan diameter bulatan, dan seterusnya mentakrifkan serta menerbitkan rumus lilitan bulatan.LilitanDiameter= π

p. 95

BAB 587Bab 5 Bulatan5.3.2Rumus luas bulatanTujuan: Menerbitkan rumus luas bulatanBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS087 untuk memperoleh fail yang telah disediakan.2.Seret jejari sehingga nilai 3, dan seret n sehingga mencapai nilai 6.Perhatikan perubahan yang berlaku.3.Ulangi langkah 2 dengan mengubah nilai jejari dan bilangan n yang lain.Perhatikan perubahan yang berlaku.Perbincangan:(i)Semakin sektor bulatan itu dibahagikan semakin jelas bentuk segi empat tepat yang dihasilkan.(ii)Tinggi segi empat tepat = bulatan.(iii)Tapak segi empat tepat = lilitan bulatan.Menerbitkan rumus luas bulatan.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms087 untuk menerbitkan luas bulatan.Daripada aktiviti di atas, didapati bahawa luas bulatan = luas segi empat tepat= tapak × tinggi= 12 × lilitan bulatan × tinggi= 12 × 2πj × j= πj2 Maka,luasbulatan=πj2Lilitan sebuah bulatan ialah π didarab dengan diameter seperti rumus di bawah.Rumus lilitan juga boleh diterbitkan menggunakan jejari seperti lilitan = π × diameter= πdlilitan = π × 2 × jejari= 2πj

p. 96

BAB 588Bab 5 BulatanPenyelesaian:(a)Luas= πj2= 227 × �102�2= 78.57 cm2(b) Luas = πj2= 227 × 72= 154 cm25.3.3Lilitan, luas bulatan, panjang lengkok dan luas sektorMenentukan lilitan bulatan Menentukan lilitan, luas bulatan, panjang lengkok, luas sektor dan ukuran lain yang berkaitan.CONTOH6Hitung lilitan sebuah bulatan jika(a)diameter, d = 14 cm. (Guna π = 227 ) (b)jejari, j = 21.3 cm. (Guna π = 3.142)Penyelesaian:(a)Lilitan = πd= 227 × 14= 44 cmCONTOH7(a)Diberi lilitan sebuah bulatan ialah 88 cm. Hitung diameter, dalam cm, bulatan tersebut.(Guna π = 227 ) (b)Diberi lilitan sebuah bulatan ialah 36.8 cm. Hitung jejari bulatan, dalam cm dan bundarkan kepada dua tempat perpuluhan. (Guna π = 3.142)Penyelesaian:(b) Lilitan= 2πj2πj= 36.8 2 × 3.142 × j= 36.8j= 36.86.284j= 5.86 cm (a) Lilitan = πd 88= 227 × dd= 88 ×722d= 28 cm(b)Lilitan = 2πj= 2 × 3.142 × 21.3= 133.85 cmCONTOH8Hitung luas bulatan yang mempunyai (a)diameter 10 cm. (b) jejari 7 cm.(Guna π = 227 )Menentukan luas bulatanINGAT!jejari, j =diameter, d = 2jdiameter2

p. 97

BAB 589Bab 5 BulatanCONTOH9Diberi luas bulatan ialah 616 cm2. Hitung jejari dan diameter. (Guna π = 227 )Penyelesaian: Luas = πj2πj2= 616227 × j2= 61622711 × 72211 × j2 = 616 × 722j2= 616 × 722j2= 196j= �196j= 14 cmDiameter= 2 × 14= 28 cmCONTOH10Diberi lilitan bulatan ialah 66 cm. Hitung luas bulatan. (Guna π = 227 )Penyelesaian: Lilitan = 66 cm 2πj= 66 2 × 227 × j= 66j= 66 × 744j= 10.5 cmLuas= πj2= 227 × 10.52= 346.5 cm2CONTOH11Diberi luas bulatan ialah 75.46 cm2. Hitung lilitan bulatan. (Guna π = 227 )Penyelesaian: Luas = πj2 πj2= 75.46227 × j2 = 75.46j2 = 75.46 × 722j2= 24.01j= �24.01j= 4.9 cm Lilitan= 2πj= 2 × 227 × 4.9= 30.8 cmRajah menunjukkan dua bulatan dalam satu bulatan yang lebih besar. Hitung luas bulatan kawasan berlorek.(a)Hitung luas bagi suku bulatan jika jejarinya ialah 7 cm.(b) Hitung luas bagi semi bulatan jika jejarinya ialah 7 cm.(c) Hitung luas bagi tiga suku bulatan jika jejarinya ialah 7 cm.OOO4 cm4 cmO8 cm

p. 98

BAB 590Bab 5 BulatanLengkok bulatan merupakan sebahagian daripada lilitan bulatan. Lengkok bulatan berkadaran dengan sudut pada pusat bulatan. Maka,Menentukan panjang lengkok suatu bulatanPanjang lengkokLilitan bulatanSudut pada pusat360°Panjang lengkok2πj360°CONTOH12Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan jejari 14 cm dan berpusat di O. Hitung panjang lengkok minor PQ yang mencangkum 60° pada pusat. Tulis jawapan dalam dua tempat perpuluhan.Penyelesaian:Panjang lengkok2πj = 360°Panjang lengkok = 360° ×2πjPanjang lengkok= 60°360° ×2 × 227 × 14= 14.67 cmSimbol  dibaca “theta”, ialah huruf Yunani yang digunakan untuk mewakili sudut.CONTOH13Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan jejari 21 cm dan berpusat di O. ∠ROS ialah 72°. Hitung panjang lengkok major RS.Penyelesaian:Sudutpadapusat =360°−72°= 288°Panjang lengkok2πj= 360°Panjang lengkok = 360° × 2πjPanjang lengkok = 288°360° × 2 × 227 × 21= 105.6 cmSudut boleh diukur menggunakan radian. 1 radian (1 rad) ialah ukuran sudut di pusat bulatan apabila panjang lengkok sama dengan jejari.1 RadianPanjang lengkokrrOBAPQ60°OSudut tirus0° << 90°Sudut cakah90° << 180°Sudut refleks180° << 360°Sudut tegak 90°RS72°O

p. 99

BAB 591Bab 5 BulatanCONTOH14Diberi panjang lengkok suatu bulatan ialah 11 cm dan sudut pada pusat bulatan ialah 45°. Hitung panjang, dalam cm, jejari bulatan itu.Menentukan luas sektor bulatanLuas sektor bulatan merupakan rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari. Luas sektor bulatan adalah berkadaran dengan luas bulatan.Maka,CONTOH15Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 21 mm. Hitung luas sektor minor MON.Penyelesaian:Luas sektorπj2= 360°Luas sektor MON = 100°360° × 227 × 212= 385 mm2OABLuas sektor bulatan Luas bulatan = Sudut pada pusat 360°Luas sektor AOBπj2 = 360°100°O21 mmMNPenyelesaian:360°=Panjang lengkok2πj 2πj= Panjang lengkok × 360° 2 × 227 × j= 11 × 360°45°j= 11 × 360°45°× 722 × 12j=27 7201 980j= 14 cmARC, APB, BSD dan CQDmerupakan lengkok suatu bulatan dan AB, AC, BDdan CD ialah diameter bulatan. Hitung kawasan berlorek.SDRAB14 cmCQP14 cm14 cm

p. 100

BAB 592Bab 5 BulatanCONTOH16Diberi luas sektor QOP ialah 18.48 cm2 dan jejari 12 cm. Hitung nilai .Penyelesaian:Luas sektorπj2= 360°360°= 18.48227 × 122 = 18.48227 × 12 × 12 × 360°= 14.7°5.3.4Penyelesaian masalahCONTOH17Majlis Bandaraya Melaka Bersejarah bercadang membina sebuah taman rekreasi yang berbentuk segi empat tepat dengan panjangnya 63 m dan lebarnya 58 m. Setiap penjuru taman tersebut yang berbentuk sukuan bulatan berjejari 7 m akan ditanam dengan pokok bunga dan di tengah-tengah taman akan dibina sebuah kolam ikan yang berbentuk bulat dengan diameter 28 m. Kawasan yang lain akan ditanam dengan rumput karpet. Hitung luas kawasan yang ditanam dengan rumput karpet. (Guna π = 227 )Penyelesaian:Menyelesaikan masalah yang melibatkan bulatan.Merancang strategi Luas taman rekreasi = panjang × lebarLuas tanaman bunga = 4 × 14πj2Luaskolamikan =πj2Kawasan yang ditanam dengan rumput karpet =luastamanrekreasi−luastanamanbunga−luaskolamikan58 m63 m(iii) Luas kolam ikan = πj2= 227 × 142= 616 m2(i) Luas taman rekreasi = 58 × 63= 3 654 m2(ii) Luas tanaman bunga = 4 × 14 × πj2= 227 × 72= 154 m2Melaksanakan strategiMemahami masalahJejari sukuan bulatan = 7 mTaman berbentuk segi empat tepat.Panjang= 63 mLebar = 58 mDiameter kolam ikan = 28 m Hitung luas kawasan yang ditanam dengan rumput karpet.Membuat kesimpulanMaka, kawasan yang ditanam dengan rumput karpet ialah 3 654 m2−154m2 −616m2= 2 884 m2Hitung luas rantau yang berlorek. Cuba anda tentukan satu rumus untuk menghitung luas anulus.6 cm8 cmOanulus12 cmQOP

p. 101

BAB 593Bab 5 BulatanJOM CUBA5.31.Hitung lilitan bulatan yang mempunyai (a)jejari 7 cm.(b) jejari 56 cm.(c) diameter 9.2 cm.(d) diameter 98 mm.Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π = 227 )2.Diberi lilitan bulatan 24.5 cm. Hitung (a)diameter(b) jejariBerikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π = 3.142)3.Hitung luas bulatan yang mempunyai jejari berikut. (a)21 m(b) 56 mm(c) 7 cm(d) 125 cmBerikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π = 227 )4.Luas bagi sebuah bulatan ialah 38.5 cm2. Hitung(a)jejari(b) lilitan bagi bulatanBerikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π = 227 )5.Hitung luas bulatan, jika lilitan bulatan ialah 15.4 cm.Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π = 227 )6.Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Diberi OF = 6.5 cm dan EG = 5 cm. Hitung luas, dalam cm2, kawasan berlorek. Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan.(Guna π = 3.142)GFEO7.Hitung jejari apabila panjang lengkok dan sudut pada pusat bulatan diberi. Nyatakan jawapan dalam dua tempat perpuluhan.Panjang lengkok(cm)Sudut pada pusat(a)11 45°(b)4.3 35°(c)30.8 120°(d)110 200°

p. 102

BAB 594Bab 5 Bulatan1.Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. PQR dan STU ialah garis lurus. Diberi PQR = STU = 6 cm, hitung panjang yang berikut.(a)PQ(b) ST(c) OTMENJANA KECEMERLANGAN9.Rajah di bawah menunjukkan pelan bagi sebuah taman. ABCD ialah sebuah segi empat tepat. APB dan DQC ialah semi bulatan yang masing-masing berpusat di X dan Y. Diberi AB = 7 cm dan AC = 25 cm. Hitung perimeter, dalam cm, taman itu. PXYQADBC10.Rajah di bawah menunjukkan sukuan OPQ berpusat O. ORST ialah sebuah segi empat sama. Diberi OP = 10 cm dan OR = 7 cm. Hitung luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek. Berikan jawapandalamπ.PROTSQ8.Diberi jejari dan luas sektor bulatan berikut, hitung sudut pada pusat bulatan.JejariLuas sektor(a) 14 cm18.48 cm2(b) 21 m27.72 m2(c) 8.4 cm15.4 cm2SPOQRTU5 cm

p. 103

BAB 595Bab 5 Bulatan2.Rajah di sebelah menunjukkan sebuah dewan makan yang berukuran 10 m panjang dan 8 m lebar yang dihamparkan dengan sembilan bidang permaidani berbentuk bulatan. Diameter satu permaidani itu berukuran 200 cm. Hitung luas, dalam meter persegi, kawasan lantai dewan yang tidak diliputi permaidani.3.Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak PRT. R ialah pusat bagi sukuan itu. Diberi RS = 14 cm, ST = 10 cm dan PQ = 4 cm. Hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. (Gunaπ=227)4.Rajah di sebelah menunjukkan sebidang tanah berbentuk segi empat tepat JLNP yangdimilikiolehEncikRashid.EncikRashidtelah membahagikan tanahnya kepada tiga bahagian. K ialah titik tengah bagi JL dan M ialah titik tengah bagi LN.EncikRashidbercadang untuk menanam sayur di kawasan berbentuk segi tiga KLM dan semi bulatan. Hitung luas kawasan yang tidak ditanam dengansayur.(Gunaπ=3.142)5.Kevin ingin membina satu papan panahan yang berbentuk bulatan. Papan panahan tersebut terdiri daripada dua bulatan yang berpusat di O dan tiga sektor yang berlorek seperti rajah di sebelah. Diameter BOD dan AOC adalah berserenjang antara satu sama lain. Diberi OE = ED = 10 cm. Hitung luas, dalam cm2, kawasan berlorek. (Gunaπ=227)8 m10 m6.Di sebuah muzium terdapat tingkap berbentuk bulat yang dihiasi dengan gelung bulatan yang sama saiz seperti rajah di sebelah. Jejari tingkap tersebut ialah 45 cm. Hitung luas kawasan yang tidakdilitupihiasantersebut.(Gunaπ=3.142)ABCDOEQPRSTJLPNKMO16 cm20 cm

p. 104

BAB 596Bab 5 BulatanPerentasLengkok MinorLengkok MajorSektor MajorTembereng MinorTembereng MajorBulatanBahagian BulatanJejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas itu dan begitu juga sebaliknya. Maka, AE = BE.Dua perentas yang sama panjang adalah sama jarak dari pusat bulatan dan begitu juga sebaliknya.Rumus BulatanLilitanbulatan=πd=2πjINTI PATI BABJejariDiameterSektor MinorLilitanPerentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang dan begitu juga sebaliknya. Lengkok AB = Lengkok CD.Luasbulatan=πj2OOEABCDACDBFOABEOOOPanjang lengkok2πj = 360°Luas sektorπj2 = 360°

p. 105

BAB 597Bab 5 Bulatan1. Mengenal bahagian bulatan yang betul.2. Membina satu bulatan dan bahagian bulatan berdasarkan syarat yang diberikan.3. Menentusahkan dan menerangkan bahawa:(a) Diameter ialah paksi simetri bulatan.(b) Jejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas itu dan sebaliknya.(c) Pembahagi dua sama serenjang dua perentas bertemu di pusat bulatan.(d) Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang. (e) Perentas yang sama panjang adalah sama jarak dari pusat bulatan dan sebaliknya.4. Menentukan pusat dan panjang jejari bagi suatu bulatan melalui pembinaan geometri.5. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sifat simetri perentas.6. Menentukan hubungan antara lilitan dengan diameter bulatan, dan seterusnyamentakrifkanπdanmenerbitkanrumuslilitanbulatan.7. Menerbitkan rumus bulatan.8. Menentukan lilitan, luas bulatan, panjang lengkok, luas sektor dan ukuran lain yang berkaitan.9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan bulatan.Pada akhir bab ini, saya dapat:Tajuk: Permainan papan nomborAnda dikehendaki membina satu papan nombor seperti rajah di sebelah. Papan nombor itu terdiri daripada empat bulatan yang mempunyai berlainan jejari seperti 5 cm, 15 cm, 20 cm dan 25 cm yang dibina pada pusat bulatan yang sama. Bulatan tersebut hendaklah dibahagikan kepada 20 sektor. Setiap sektor hendaklah dilabelkan dengan markah. Papan nombor ini boleh dibina menggunakan kad manila, kertas atau polistirena. Anak panah boleh dibina menggunakan kayu kecil yang dilekat dengan pita pelekat. Permainan ini boleh dimulakan dengan membaling anak panah ke arah papan tersebut untuk mendapat markah.8111491252011841361015217319716REFLEKSI DIRI

p. 106

BAB 698Bab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi6.1Sifat Geometri Bentuk Tiga Dimensi6.2Bentangan Bentuk Tiga Dimensi6.3Luas Permukaan Bentuk Tiga Dimensi6.4Isi Padu Bentuk Tiga Dimensi•Bentuk dua dimensi•Bentuk tiga dimensi •Sifat geometri•Bentangan•Luas permukaan •Isi padu•Rumus•Keratan rentas•Two dimensionalshape•Three dimensional shape•Geometrical characteristics•Net•Surface area •Volume •Formula•Cross sectionRANGKAI KATAMenara Tun Mustapha yang berbentuk silinder merupakan satu daripada mercu tanda kebanggaan rakyat Sabah. Bolehkah anda meneka luas permukaan dan isi padu menara tersebut?Silinder merupakan satu daripada bentuk geometri tiga dimensi yang wujud di sekeliling kita. Perhatikan sekeliling anda dan nyatakan bentuk geometri tiga dimensi yang boleh anda dapati. Bandingkan bentuk geometri yang diperoleh rakan anda.98ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 107

BAB 699Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiPerkataan geometri berasal daripada dua perkataan Yunani, iaitu ‘geo’ yang bermaksud bumi dan ‘metria’ yang bermaksud ukuran. KajiangeometridirevolusiolehEuclidyangmendapat gelaran sebagai ‘Bapa Geometri’. Bukubeliauyangbertajuk‘Elements’merupakan rujukan utama dalam pengajian matematik, terutama dalam bidang geometri pada pertengahan kurun ke-20. MASLAHAT BAB INIPengetahuan dan kemahiran dalam bab ini dapat membantu arkitek dan jurutera untuk mereka bentuk dan melukis pelan sesebuah bangunan.Pereka dalaman juga mengaplikasikan ilmu pengetahuan dalam bab ini untuk menghasilkan landskap dan kerja-kerja rekaan hiasan dalaman yang menarik serta sesuai dengan keluasan ruang yang diperuntukkan.Untuk maklumat lanjut:http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms09999

p. 108

BAB 6100Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiTujuan: MengklasifikasikanbentuktigadimensiBahan:AKTIVITI KREATIF6.1 Sifat Geometri Bentuk Tiga Dimensi6.1.1 Bentuk tiga dimensiLangkah:1.Namakan bentuk geometri bagi setiap objek di atas.2.Bandingkan dan nyatakan perbezaan objek di atas dari segi(i)sifat permukaan(ii) bentuk3.Bincangkan pendapat anda dengan kawan.Setiap objek yang ditunjukkan di atas mempunyai bentuk geometri tiga dimensi dengan sifat geometri yang tersendiri. Bentuk geometri dua dimensi seperti segi tiga, segi empat tepat dan poligon mempunyai panjang dan lebar. Selain itu bentuk geometri dua dimensi mempunyai permukaan yang rata. Bentuk tiga dimensi pula mempunyai panjang, lebar dan kedalaman. Bentuk ini mempunyai permukaan sama ada rata atau melengkung. Namun berbeza dengan bulatan kerana ia melibatkan jejari bulatan. Kita akan membincangkan sifat geometri bagi sesebuah bentuk geometri tiga dimensi dengan lebih lanjut dalam topik ini. Tujuan: Meneroka konsep bentuk dua dimensi dan tiga dimensiBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS100 yang telah disediakan.2.Seret penggelongsor Buka sehingga titik Tutup. Perhatikan perbezaan rajah dua dimensi dan tiga dimensi tersebut.3.Ulang langkah 2 sehingga penggelongsor berada pada pola = 11.Perbincangan:Bincangkan perbezaan bentuk apabila rajah dua dimensi menjadi tiga dimensi.Daripada aktiviti di atas, dapat disimpulkan bahawa bentuk tiga dimensi terbina daripada cantuman bentuk dua dimensi.Membandingkan, membezakan dan mengklasifikasikan bentuk tiga dimensi termasuk prisma, piramid, silinder, kon dan sfera, dan seterusnya menghuraikan sifat geometri prisma, piramid, silinder, kon dan sfera.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms100 untuk meneroka bentangan bentuk tiga dimensi.

p. 109

BAB 6101Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBAB 6JOM CUBA6.11.Nyatakan sifat geometri bagi objek tiga dimensi berikut.(a)(b) (c) (d)Jadual di bawah menerangkan bentuk geometri tiga dimensi dan sifat-sifat geometri.Kongruen bermaksud perihal yang mempunyai saiz dan bentuk yang sama.Adakah kubus dan kuboid merupakan sebuah prisma?Piramid dan prisma dinamakan mengikut bentuk tapak.TetrahedronPrisma segi tiga Prisma heksagonBentuk GeometriSifat GeometriPrisma•Mempunyai dua tapak rata berbentuk poligon yang kongruen dan selari.•Permukaan rata dengan muka lainnya berbentuk segi empat.•Mempunyai keratan rentas yang seragam.Piramid•Mempunyai satu tapak rata berbentuk poligon.•Muka lainnya berbentuk segi tiga yang bertemu di puncak.Silinder •Dua tapak rata berbentuk bulatan yang kongruen dan selari.•Satu permukaan sisi melengkung yang mencantumkan dua tapak.Kon•Satu tapak rata berbentuk bulatan. •Mempunyai satu puncak•Satu permukaan melengkung menyambungkan tapak dengan puncak.Sfera•Semua titik pada permukaan sfera mempunyai satu titik tetap berjarak sama dari pusat sfera.•Mempunyai satu permukaan melengkung.tapaktapakpuncakpusat sferapuncakBentuk geometri serongtapaktapaktapak

p. 110

BAB 6102Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiTujuan: Menganalisis bentangan kon, silinder, prisma dan piramidBahan: Perisian geometri dinamik, gunting dan pita pelekatLangkah:1. Buka fail MS102A yang telah disediakan.2. Seret penggelongsor bagi setiap bentangan dan perhatikan semua bentangan tersebut.3. Buka fail MS102B dan mencetaknya.4. Gunting bentangan itu.5. Lipat bentangan itu di sepanjang garis putus-putus.6. Gunakan pita pelekat untuk menetapkan bentuk tiga dimensi.Contohnya:Langkah 4Langkah 5Langkah 6Bentangan suatu bentuk tiga dimensi diperoleh dengan membuka dan membentangkan setiap permukaan objek tiga dimensi menjadi dua dimensi.2.Nyatakan bentuk tiga dimensi yang mempunyai sifat geometri seperti berikut.(a)Mempunyai satu puncak dengan satu permukaan melengkung.(b)Mempunyai satu puncak dengan tapaknya berbentuk poligon.(c) Semua titik di permukaannya mempunyai jarak yang sama dari pusat objek.6.2 Bentangan Bentuk Tiga Dimensi6.2.1 Bentangan Menganalisis pelbagai bentangan termasuk piramid, prisma, silinder dan kon, dan seterusnya melukis bentangan dan membina model.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms102b di bawah untuk memuat turun fail bentangan.pdf.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms102a di bawah untuk menganalisis bentangan bentuk tiga dimensi.Bentangan KonBentangan SilinderBentangan PrismaBentangan PiramidSebuah kubus dapat memuatkan enam buah piramid dengan tapak segi empat yang bersaiz sama.

p. 111

BAB 6103Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiBentuk GeometriBentanganSilinderKonPiramid segiempatPrisma segi tigaDaripada aktiviti di sebelah dapat disimpulkan bahawa susunan bentangan bentuk tiga dimensi boleh dipelbagaikan. Jadual di bawah menunjukkan bentuk geometri tiga dimensi dan bentangannya.CONTOH1Lakarkan bentangan bagi bentuk geometri tiga dimensi berikut. (a)(b)(c)Penyelesaian:(a)(b)(c)Perbincangan:(i) Adakah bentangan bentuk tiga dimensi boleh dipelbagaikan?(ii)Lakarkan pelbagai bentangan kubus.ttstinggi sendeng, stinggi sendeng, stKon dihasilkan dengan putaran sebuah segi tiga bersudut tepat.sApakah bentuk bentangan sebuah sfera?Berapakah bentuk bentangan yang berbeza bagi sebuah kubus?Apakah bentuk bentangan prisma yang berikut?

p. 112

BAB 6104Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiJOM CUBA6.21.Dengan menggunakan kertas grid 1 cm persegi, lukis bentangan dan bina model setiap bentuk tiga dimensi berikut.(a)(b)(c)(d)2.Nyatakan bentuk tiga dimensi yang boleh dibina daripada bentangan berikut.Bina model sebenar.(a)(b)(c)(d)6.3Luas Permukaan Bentuk Tiga Dimensi6.3.1 Luas permukaan kubus, kuboid, piramid, prisma, silinder dan kon2 cm4 cm8 cm6 cm7 cm10 cm2 cm5 cm6 cm5 cm4 cmTujuan: Menentukan luas permukaan bentuk geometri tiga dimensiBahan: Lembaran kerjaLangkah:Isi petak kosong dengan bilangan muka setiap bentuk geometri tiga dimensi berikut.BentukBentanganLuas PermukaanKubus × luas segi empat samaKuboid × luas segi empat tepat + × luas segi empat sama Menerbitkan rumus luas permukaan kubus, kuboid, piramid, prisma, silinder dan kon, dan seterusnya menentukan luas permukaan bentuk tersebut.6 cm4 cm5 cm7 cm5 cm6 cm8 cm5 cm7 cm7 cm

p. 113

BAB 6105Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiPiramid × luas segi empat sama + × luas segi tiga Prisma × luas segi tiga + × luas segi empatSilinder × luas bulatan + × luas segi empat tepat Kon × luas bulatan + × luas permukaan melengkung Luas permukaan bentuk geometri tiga dimensi dapat dihitung dengan menjumlahkan luas semua permukaan bentuk geometri tiga dimensi tersebut.Perbincangan:Rumus luas permukaan setiap bentuk objek tiga dimensi di atas.Luas permukaan sebuah silinder tertutup dihitung daripada bentangan silindertj2πjjtjDaripada bentangan silinder, panjang segi empat ialah lilitan bulatan dan lebar segi empat ialah tinggi silinder.Luas permukaan silinder = (2 × luas bulatan) + luas segi empat=(2×πj2)+(2πj × t)=2πj2+2πjtLuas bulatan = πj 2Lilitan bulatan = 2πjtsKubus juga dikenali sebagai heksahedron kerana kubus mempunyai enam permukaan.

p. 114

BAB 6106Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiRajah berbentuk segi empat ABCD terhasil. Hasil tambah panjang AB dan CD ialah lilitan tapak kon, AB + CD = Lilitan tapak =2πjMaka, panjang AB = Panjang CD= 12× 2πj=πjLuas permukaan melengkung = Luas segi empat ABCD= panjang × lebar = AB × BC=πj × s=πjsLuasbulatan,tapak =πj2Luas permukaan kon= Luas tapak + Luas permukaan melengkung=πj2 +πjsLuas segi empat = panjang × lebarlpLuas permukaan sebuah kon tertutup dihitung daripada bentangan konApakah beza dua bentangan berikut?Potong permukaan melengkung kepada 88 sektor yang sama saiz, kemudian susun seperti dalam rajah di bawah.ADsBC44 sektor44 sektortinggi sendeng kon,sjsjjsSemakin kecil bahagian permukaan melengkung dipotong, susunan potongan bahagian semakin menyerupai bentuk segi empat dan ukuran dimensinya semakin tepat.Potong permukaan melengkung kepada 88 sektor yang sama saiz:s44 sektorj2πjs

p. 115

BAB 6107Bab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi(c)(d)Penyelesaian:(a)Luas permukaan kubus= 6 × luas segi empat sama = 6 × (4 cm × 4 cm)= 6 × 16 cm2= 96 cm2(b) Luas permukaan kuboid= (4 × luas segi empat tepat) + (2 × luas segi empat sama) = (4 × 4 cm× 7 cm) + (2 × 4 cm× 4 cm)= (4 × 28 cm2) + (2 × 16 cm2)= 144 cm2(c) Luas permukaan piramid= (4 × luas segi tiga) + (luas segi empat sama)= 4�12 × 8 cm × 5 cm� + (8 cm × 8 cm)= 80 cm2 + 64 cm2= 144 cm28 cm8 cm5 cm6 cm4 cm7 cmHitung luas permukaan bentuk geometri berikut.(a)(b)CONTOH24 cm4 cm4 cmBentuk dua dimensi ialah bentuk yang mempunyai dua ukuran asas, iaitu panjang dan lebar yang akan membentuk luas permukaan. Bentuk dua dimensi tidak mempunyai isi padu.Bentuk tiga dimensimempunyai tiga ukuran asas, iaitu panjang, lebar dan tinggi. Bentuk tiga dimensi mempunyai isi padu.Perisian Autocad boleh digunakan untuk mencari luas permukaan sesuatu bentuk geometri.Terdapat dua jenis pepejal, polihedron dan bukan polihedron. Sebuah polihedron ialah pepejal dengan permukaan rata dan setiap muka ialah poligon. Pepejal bukan polihedron ialah pepejal dengan permukaan melengkung seperti sfera, silinder dan kon. 6 cm7 cm4 cm4 cm

p. 116

BAB 6108Bab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi6.3.2 Luas permukaan sferaLuas permukaan sebuah sfera yang berjejari j boleh ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.Luaspermukaansfera=4πj2Menentukan luas permukaan sfera dengan menggunakan rumus.j(d) Luas permukaan prisma= (3 × luas tapak segi empat) + (2× luas segi tiga)= �(1 × 6 cm × 7 cm) + (2 × 5 cm × 7 cm)�+2 �12× 4 cm × 6 cm�= 42 cm2 + 70 cm2 + 24 cm2= 136 cm2Hitungluaspermukaansilinderdisebelah.Diberijejaribulatanialah7cm.(Gunaπ=227 )Penyelesaian:Luaspermukaansilinder=2πj2+2πjt= �2 × 227 × 72� + �2 × 227 × 7 × 9�= 308 cm2 + 396 cm2 = 704 cm2CONTOH39 cm7 cmRajah menunjukkan sebuah kon tegak. Diberi jejari bulatan ialah 3 cm. Hitung luas permukaan kon. (Guna π=227)Penyelesaian:Luaspermukaankon=πj2+πjs= �227 × 32� + �227 × 3 × 5�= 28.29 cm2 + 47.14 cm2 = 75.43 cm2CONTOH45 cm4 cmBagaimanakah cara menghitung luas permukaan prisma-prisma berikut?Bentuk sfera wujud dalam alam sekitar seperti buih dan titisan air. Bolehkah anda fikirkan contoh yang lain?

p. 117

BAB 6109Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiRajah menunjukkan sebuah sfera. Hitung luas permukaan sfera tersebut. Diberi jejari = 14 cm. (Guna π=227) Penyelesaian:Luaspermukaan =4πj2= 4 × 227 × 142= 2 464 cm2CONTOH56.3.3 Penyelesaian masalahRajah menunjukkan sebuah bongkah, gabungan piramid dan kubus. Tinggi bongkah adalah 11 cm. Hitung luas permukaan gabungan bentuk geometri tiga dimensi tersebut. Nyatakan jawapan dalam unit m2Penyelesaian:CONTOH61 m = 100 cm1 m2 = 1 m × 1 m= 100 cm × 100 cm= 10 000 cm2Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas permukaan bentuk tiga dimensi.j= 14 cmMemahami masalahMenghitung luas permukaan bentuk gabungan geometri tiga dimensi.Merancang strategi (i) Menentukan bentuk yang terlibat.(ii) Menentukan rumus luas permukaan bagi setiap bentuk yang terlibat.Melaksanakan strategiBentuk yang terlibat ialah kubus dan piramid. Jumlah luas permukaan = 5 × (luas segi empat) + 4 × (luas segi tiga)= 5(5 × 5) + 4 �12 × 5 × 6.5�= 125 + 65= 190 cm2Membuat kesimpulan1 m2 = 10 000 cm2∴190 cm210 000 cm2 × 1 m2 = 0.019 m2Luas permukaan bentuk gabungan tersebut ialah 0.019 m2.tinggi tegak piramid = 6 cms = tinggi sendeng piramid= �62 + 2.52= 6.5 cmBolehkah rumus di atas digunakan untuk menghitung isi padu?SferaSilinderKubusSegi empat prismaaaadtdv = πd36v = a3v = πd2t4batv = abt5 cm2.5 cmss

p. 118

BAB 6110Bab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi2. Hitung luas permukaan objek berikut.(a)(b)(c)3. Hitung luas permukaan gabungan bentuk geometri tiga dimensi berikut.(a)(b)(c)20 cm260 mmj = 5 cm12 cm12 cm10 cmDiameter hemisfera = 10 cm15 cm45 cm30 cm72 mm83 cm6.4 Isi Padu Bentuk Tiga Dimensi6.4.1 Menerbitkan rumusIsi padu prisma dan silinderTapakTapakKeratan rentasKeratan rentasJOM CUBA6.31. Hitung luas permukaan objek bentuk geometri tiga dimensi berikut.(a)(b)(c)12 cm5 cm6 cm14 cm6 cm3 cm4 cmMenerbitkan rumus isi padu prisma dan silinder, dan seterusnya membentuk rumus piramid dan kon.Isi padu suatu bentuk geometri tiga dimensi ialah ukuran ruang yang memenuhi bentuk geometri tiga dimensi tersebut. Bentuk ini diukur dalam unit padu seperti milimeter padu (mm3), sentimeter padu (cm3) atau meter padu (m3). Perhatikan bentuk geometri tiga dimensi di bawah. Apakah hubungan antara keratan rentas dengan tapak?

p. 119

BAB 6111Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiLuas tapak piramid = p × lTinggi piramid = t2maka, tinggi kubus, t = 2 × tinggi piramidIsi padu piramid = Isi padu kubus6= p × l × t6= p × l × (2 × tinggi piramid)613= p × l × tinggi piramid3= Luas tapak piramid × tinggi piramid3Isi padu silinderIsi padu piramidPerhatikan bentuk kuboid di bawah.Isi padu kuboid = panjang × lebar × tinggi= luas tapak × tinggiKuboid tersebut dipotong kepada dua bahagian yang sama saiz melalui pepenjurunya. Dua buah prisma segi tiga terhasil. Hubungan antara isi padu kuboid dengan isi padu prisma segi tiga ialah Isi padu prisma segi tiga = 12 × isi padu kuboid= 12 × luas tapak × tinggi= 12 × panjang × lebar × tinggiPerhatikan sebuah kubus yang mempunyai panjang (p), lebar (l) dan tinggi (t).Enambuahpiramidyang sama saiz boleh dimuatkan ke dalam kubus dengan luas tapak piramid sama seperti luas tapak kubus dan ketinggian piramid adalah separuh daripada ketinggian kubus.Isi padu prismaMaka,Isi padu prisma = luas keratan rentas × tinggiluas segi tigaIsi padu silinder = πj2tKuboid ialah sejenis prisma.Rajah di atas menunjukkan sekeping syiling berbentuk sebuah bulatan. Jika 10 keping syiling disusun menegak akan menghasilkan sebuah silinder.Maka, isi padu silinder = luas tapak × tinggi =πj2 × tBolehkah aktiviti yang sama dijalankan menggunakan piramid bertapak segi empat sama dan kuboid?Isi padu piramid = 13 × luas tapak × tinggiMaka,ltp

p. 120

BAB 6112Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiTujuan: Menerbitkan rumus isi padu konBahan: Kad manila, gunting, gam dan sagu halusLangkah:1. Bina sebuah kon terbuka dan silinder terbuka dengan ukuran tinggi tegak dan luas tapak yang sama seperti dalam rajah di bawah.2. Masukkan sagu halus ke dalam kon sehingga penuh.3. Tuang sagu dari kon ke dalam silinder. 4. Ulang langkah 2 dan 3 sehingga sagu penuh di dalam silinder. Berapakah bilangan kon yang diperlukan? Perbincangan:(i) Bandingkan perbezaan keputusan yang anda peroleh dengan keputusan kawan anda.(ii) Bincangkan hubungan antara isi padu kon dengan silinder.Isi padu konDaripada aktiviti di atas, didapati anda memerlukan 3 kon sagu halus untuk memenuhkan silinder. Oleh itu, 3 × isi padu kon = 1 × isi padu silinder Isi padu kon = 13 × isi padu silinderMaka, Isi padu kon = 13πj2tMenentukan isi padu prisma, silinder, kon, piramid dan sfera dengan menggunakan rumus.6.4.2 Menghitung isi paduCONTOH7Unit SI bagi:(i)Luas ialah cm2(sentimeter persegi)(ii)Isi padu ialah cm3(sentimeter padu)Hitung isi padu prisma tegak di sebelah.Penyelesaian:Isi padu prisma= Luas keratan rentas × Tinggi= Luas segi tiga × Tinggi= (12 × 8 cm × 3 cm) × 12 cm= 144 cm38 cm12 cm5 cm143°5 cm4 cm3 cm4 cm3 cm4 cmMenggunakan teorem Pythagoras:Tinggi segi tiga = �52 − 42= 3 cm354

p. 121

BAB 6113Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiHitung isi padu piramid tegak di sebelah.Penyelesaian:Isi padu piramid= 13 × Luas tapak × Tinggi = 13 × (4 cm × 4 cm) × 3 cm= 16 cm3CONTOH10Hitung isi padu kon tegak di sebelah. (Guna π=227)Penyelesaian:Isi padu kon= 13 × Luas tapak × Tinggi = 13πj2t=13 × (227× 7 cm × 7 cm) × 12 cm= 616 cm3 CONTOH9Hitung isi padu silinder tegak di sebelah. (Guna π=227)Penyelesaian:Isi padu silinder= Luas keratan rentas × Tinggi =πj2t= (227 × 3.5 cm × 3.5 cm) × 12 cm= 462 cm3 CONTOH87 cm12 cm7 cm12 cmSfera ialah satu bentuk geometri tiga dimensi yang mempunyai satu titik tetap yang dikenali sebagai pusat sfera. Semua titik pada permukaannya mempunyai jarak yang sama dari pusat sfera. Isi padu sfera yang mempunyai jejari, j ialahIsi padu sferaIsi padu sfera = 43πj34 cmADCV3 cmBjIsi padu objek tiga dimensi berbentuk serong.t= tinggi konB= luas tapak I= 13BtI= 13πj2tIsi padu = 13Btttttj

p. 122

BAB 6114Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiHitung isi padu sfera berjejari 7 cm. (Guna π=227)Penyelesaian:Isi padu sfera= 43πj3= 43 × 227× 7 cm × 7 cm × 7 cm= 1 437.33 cm3Hitung isi padu hemisfera berjejari 5 cm. Berikan jawapan dalam dua tempat perpuluhan. (Guna π=227)Penyelesaian:Isi padu hemisfera = 12 × Isi padu sfera= 12 × 43πj3= 23πj3= 23 × 227 × 5 cm × 5 cm × 5 cm= 261.90 cm3CONTOH11CONTOH12CONTOH136.4.3 Penyelesaian masalahMenyelesaikan masalah yang melibatkan isi padu Salim seorang pengusaha aiskrim secara kecil-kecilan. Dia menjual bentuk tiga dimensi.aiskrimnya di dalam bekas seperti rajah di bawah. Jika dia menetapkan sasaran untuk menjual 10 000 bekas sebulan, berapa liter aiskrim yang diperlukan dalam tempoh sebulan? Bundarkan jawapan kepada liter yangterhampir.(Gunaπ=227)5 cm6 cm4 cmBola besi yang digunakan dalam pertandingan lontar peluru mempunyai jejari 4.9 cm. Ketumpatan logam yang digunakan untuk membuat bola besi adalah 7.8 g\/cm3. Hitung jisim bola besi tersebut.Sistem suria terdiri daripada matahari dan beberapa planet yang berbentuk sfera.Ini termasuk planet Bumi. Perhatikan kedudukan Bumi dalam sistem suria.Kementerian Kesihatan Malaysia menganjurkan pemakanan secara sihat dalam kalangan rakyat Malaysia dengan pengambilan kalori yang betul mengikut umur dan keperluan harian individu. Nilai kalori makanan yang diperlukan oleh remaja lelaki berumur 13 – 15 tahun ialah 2 200 kalori sehari manakala remaja perempuan berumur 13 – 15 tahun memerlukan 1800 kalori makanan sehari.Jejari setiap planet,Merkuri = 2 423 km Venus = 6 059 kmBumi = 6 378 kmPluto = 1 180 km Marikh = 3 394 km7 cm5 cm

p. 123

BAB 6115Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiJOM CUBA6.41.Hitung isi padu bentuk berikut.(a)(b)(c)4 cm10 cm4 cmMemahami masalahMenghitung isi padu air yang diperlukan untuk membuat 10 000 bekas aiskrim dalam liter yang terhampir.Merancang strategi (i) Menentukan isi padu satu bekas.(ii) Menentukan jumlah isi padu 10 000 bekas.Melaksanakan strategiIsipadusilinder=πj2t=227× 2.5 cm × 2.5 cm × 6 cm= 117.86 cm3Isi padu kon = 13×πj2t= 13 ×227× 2.5 cm × 2.5 cm × 4 cm= 26.19 cm3Maka, isi padu bekas = 117.86 cm3 + 26.19 cm3= 144.05 cm3Jumlah isi padu 10 000 bekas = 10 000 × 144.05 cm3 = 1 440 505 cm3Membuat kesimpulan1 liter = 1 000 cm31 440 500 cm3 = 1 440 500 cm31 000 cm3 × 1 liter= 1 440.5 literMaka, 1 440.5 liter ais krim diperlukan.5 cm12 cmPenyelesaian:2. Hitung isi padu kawasan berlorek.(a)(b)(c)12 cm5 cm10 cm8 cm2 cm5 cm3 cm13 cm8 cm7 cm15 cm5 cm

p. 124

BAB 6116Bab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi3. Ali menuang air ke dalam sebuah bekas berbentuk silinder yang berjejari 7 cm dan tingginya 15 cm sehingga penuh. Setelah itu, sebuah pepejal berbentuk kon dimasukkan sepenuhnya ke dalam silinder itu seperti rajah. Selepas seketika, pepejal kon tersebut dikeluarkan dari silinder. Hitung isi padu baki air yang tertinggal di dalam silinder itu. 4. Sebuah blok logam piramid dengan tapak segi empat sama bersaiz 15 cm dan tinggi 10 cm dileburkan untuk menghasilkan beberapa biji bebola sfera yang berjejari 5 mm. Berapakah jumlah blok piramid yang diperlukan untuk menghasilkan 2 850 bebola sfera tersebut?1.Nyatakan bentuk asal bentangan berikut.(a)(b)(c)2. Sebuah botol air berbentuk silinder dengan ketinggian 20 cm dan diameter 5.5 cm diisi air hingga penuh. Vincent ingin memindahkan air di dalam botol itu ke dalam sebuah bekas berbentuk kubus. Nyatakan panjang minimum sisi kubus tersebut.MENJANA KECEMERLANGAN3.Diberi isi padu gabungan bentuk geometri tiga dimensi berikut, hitung nilai t.(a)(b)(c)Isi padu = 122 000 mm342 mmtIsi padu = 1 540 cm314 cm4.5 cmtIsi padu = 6 825 cm3t2t4 cm7 cmluas keratan rentas prisma = 325 cm2

p. 125

BAB 6117Bab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi4.Perhatikan rajah di bawah. Diameter hemisfera tersebut ialah 22 cm, hitung (a)isi padu gabungan bentuk geometri tiga dimensi di bawah.(b)jumlah bilangan guli dengan isi padu 343 mm3 yang boleh dimasukkan ke dalam bekas tersebut.5. Seorang pelukis ingin membuat lukisan penuh pada permukaan sebuah tembikar hiasan yang berbentuk silinder. Tembikar berbentuk silinder tersebut mempunyai ketinggian 10 cm dan jejari 3.5 cm. Jika satu tiub warna dapat menghasilkan lukisan seluas 100 cm2, berapakah bilangan tiub warna yang diperlukan untuk membuat lukisan penuh pada 10 buah tembikar yang sama jenis?6.Rajah di sebelah menunjukkan gabungan silinder dan kon. 12kg gula dapat menghasilkan 1 liter air gula untuk dibuat manisan mengikut bentuk tersebut. Jika tinggi silinder ialah dua kali jejari silinder, berapakah jumlah manisan yang dapat dihasilkan dengan 100 kg gula?7.Sebuah silinder terbuka di bahagian atas dengan ketinggian dua kali jejari tapaknya, diisikan air sehingga tiga perempat penuh. Sebanyak 539 ml air diperlukan lagi untuk memenuhkan silinder tersebut. Hitung luas, dalam unit cm2,permukaan silinder.(Guna π=227)8. Rajah di bawah menunjukkan satu bongkah kon dan satu bongkah piramid. Isi padu piramid ialah tiga kali ganda isi padu kon. Luas tapak piramid ialah dua kali ganda luas tapak kon. Hitung jumlah tinggi kon dan tinggi piramid, jika tinggi kon ialah 18 cm. (Gunaπ=227)13 cm14 cmkonpiramid14 cm20 cm

p. 126

BAB 6118Bab 6 Bentuk Geometri Tiga DimensiINTI PATI BABBentuk geometriBentanganLuas permukaanIsi padu Prisma(2 × luas segi tiga) + (3 × luas segi empat)Luas keratan rentas × tinggi PiramidLuas tapak + (4 × luas segi tiga)= (panjang × lebar) + 4(12 × tapak × tinggi)13 × luas tapak × tinggiSilinder2πj2+2πjtπj2tKonπj2+πjs13πj2tSfera4πj243πj3jtstjj

p. 127

BAB 6119Bab 6 Bentuk Geometri Tiga Dimensi1. Membandingkan, membezakan dan mengklasifasikan bentuk tiga dimensi termasuk prisma, piramid, silinder, kon dan sfera, dan seterusnya menghuraikan sifat geometri prisma, piramid, silinder, kon dan sfera.2. Menganalisis pelbagai bentangan termasuk piramid, prisma, silinder dan kon, dan seterusnya melukis bentangan dan membina model.3. Menerbitkan rumus luas permukaan kubus, kuboid, piramid, prisma, silinder dan kon, dan seterusnya menentukan luas permukaan bentuk tersebut.4. Menentukan luas permukaan sfera dengan rumus.5. Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas permukaan bentuk tiga dimensi.6. Menerbitkan rumus isi padu prisma dan silinder, dan seterusnya membentuk rumus piramid dan kon.7. Menentukan isi padu prisma, silinder, kon, piramid dan sfera dengan rumus.8. Menyelesaikan masalah yang melibatkan isi padu bentuk tiga dimensi.Pada akhir bab ini, saya dapat:Cipta sebuah robot yang terdiri daripada bentuk kubus, kuboid, prisma, piramid, silinder, kon dan sfera. Murid perlu menghasilkan bentuk itu sendiri. Anda boleh menggabungkan bentuk-bentuk geometri tiga dimensi tersebut.Robot contohREFLEKSI DIRI

p. 128

BAB 7120Bab 7 Koordinat7.1Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes7.2Titik Tengah dalam Sistem Koordinat Cartes7.3Sistem Koordinat Cartes•Titik tengah•Jarak•Kedudukan•Koordinat•Paksi-x•Paksi-y•Hipotenus•Asalan•Plot •Satah Cartes•Skala•Midpoint•Distance•Position•Coordinate•x-axis•y-axis•Hypotenuse•Origin•Plot•Cartesan plane•ScaleRANGKAI KATA120Sistem koordinat ialah satu kaedah untuk menentukan kedudukan suatu titik atau objek dalam satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi.Kedudukan dalam satu dimensi ditentukan oleh satu titik di atas garisan atau suatu nombor. Kedudukan dalam dua dimensi ditentukan oleh sistem koordinat di atas satah atau dua nombor. Kedudukan dalam tiga dimensi ditentukan oleh tiga nombor.ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 129

BAB 7121Bab 7 Koordinat121http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms121Untuk maklumat lanjut:MASLAHAT BAB INISistem koordinat ini banyak menyumbang kepada kerjaya yang berkaitan dengan arkeologidangeografi.Seorang ahli arkeologi melakukan pencarian dan penggalian melalui sistem koordinat daripada pemetaan secara digital.Pakar astronomi menggunakan sistem koordinat ini untuk mereka dapat menentukan kedudukan bintang-bintang.Lokasi kedudukan ditentukan daripada sistem koordinat yang membantu ahli geografi mengenal pasti kawasan dan kedudukan muka bumi.Sistem koordinat Cartes telah diperkenal oleh René Descartes dari Perancis atau lebih dikenali sebagai Castesius. Ahli matematik ini telah mencipta satah koordinat yang terdiri daripada dua garisan berserenjang digelar ‘paksi’. Koordinat adalah pasangan nombor yang menunjukkan kedudukan satu titik dan garis.

p. 130

BAB 7122Bab 7 KoordinatAKTIVITI KREATIFTujuan: Mengenal pasti kedudukan suatu titikBahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Buka fail MS122A yang disediakan dan cetak lembaran kerja.2.Dengan menggabungkan jarak mengufuk dan mencancang, tentukan kedudukan bagi bandar Batu Pahat, Kluang dan Segamat. Tujuan: Kenal pasti jarak di antara dua titik pada satah CartesBahan: Lembaran kerjaLangkah: 1.Buka fail MS122B yang telah disediakan dan cetak lembaran kerja.2.Secara berpasangan, kenal pasti pergerakan Azri.3.Pergerakan Azri hendaklah dilukis dalam bentuk perwakilan segi tiga bersudut tegak.4.Hitung jarak mengufuk dan mencancang berdasarkan 1 kotak grid diwakili 1 km dan dilabelkan seperti rajah yang diberikan.5.Jumlahkan jarak perjalanan dan lengkapkan jadual.7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat Cartes7.1.1 Jarak dua titik pada satah CartesMenerangkan maksud jarak di antara dua titik pada satah Cartes.Koordinat merupakan pasangan nombor yang dapat menentukan kedudukan suatu titik pada satah Cartes. Koordinat suatu titik ditentukan berdasarkan jarak dari paksi-x, jarak dari paksi-y dan asalan. Daripada aktiviti di atas, dapatkah anda menentukan jarak di antara dua tempat?QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms122a untuk mendapatkan lembaran kerja di sebelah.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms122b untuk mendapatkan lembaran kerja di sebelah.Rajah menunjukkan pelan kedudukan tempat yang sering dilalui oleh Azri.yMasjidPadang FutsalRumahKedaiSekolahx1 km1 km

p. 131

BAB 7123Bab 7 KoordinatPerbincangan:(i)Daripada perwakilan segi tiga bersudut tegak, dapatkah anda kenal pasti jarak paling hampir yang dilalui oleh Azri ke destinasi yang tertentu? (ii) Apakah cara yang paling mudah untuk mengira jarak yang terpendek?(iii)Apakah yang anda fahami tentang jarak pada satah Cartes?Untuk menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes, kaedah perwakilan segi tiga bersudut tegak digunakan. Kaedah ini dapat mengenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang bagi dua titik pada satah Cartes. Jarak ini dapat ditentukan daripada skala pada paksi-x dan paksi-y.Perjalanan terus dari A ke B tanpa melalui C ialah jarak yang terpendek.Kaedah teorem Pythagoras digunakan untuk menghitung jarak AB, iaitu AB2 = AC2 + CB2AB= �AC2 + CB2Koordinat (x, y). Nilai xditulis dahulu diikuti nilai y. Satah Cartes mempunyai dua paksi seperti dalam rajah yang berikut. Garis mengufuk ialah paksi-x dan garis mencancang ialah paksi-y. Kedua-dua paksi tersebut akan bersilang antara satu sama lain secara serenjang. Titik persilangan tersebut ialah asalan yang merupakan permulaan nombor pada kedua-dua paksi-x dan paksi-y. Nilai nombor akan semakin besar apabila ke kanan dan ke atas, manakala nilai nombor akan semakin mengecil apabila ke kiri dan ke bawah.TAHUKAH ANDA ?yx(a, b)baAsalan (0, 0)Destinasi AzriPerwakilan segi tigaJarak mengufukJarak mencancangJumlah jarak perjalanan =jarak mengufuk + jarak mencancangDari sekolah ke rumah4 km3 km4 km + 3 km = 7 kmDari rumah ke padang futsalDari masjid ke kedaiDari sekolah ke masjidDari sekolah ke kedai3 km4 kmyx765432112345BJarak mengufukJarak mencancangACO

p. 132

BAB 7124Bab 7 KoordinatCONTOH1Tentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes berikut.(a)(c)Penyelesaian:(a)Skala pada paksi-x dan paksi-yialah 1 unit.Jarak AB= 6 × 1= 6 unit(c)Skala pada paksi-x ialah 10 unitdan paksi-y ialah 1 unit.Jarak DE= 4 × 10= 40 unit(b)(d)Apakah itu skala? Skala perlu ditentukan dalam sistem koordinat Cartes. Pada paksi-x, unit yang boleh ditulis ialah 1, 2, 3, −1, −2, −3, … . Pada paksi-y boleh juga ditulis 1, 2, 3, … dan nilai di bawah asalan ialah −1, −2, −3, … . Dengan ini, setiap kotak diwakili suatu unit. Selain itu, skala juga boleh ditulis dalam jujukan seperti 2, 4, 6, 8, … atau 5, 10, 15, … pada kedua-dua paksi. Keadaan ini berdasarkan kesesuaian dalam keadaan yang tertentu. TAHUKAH ANDA ?Skala pada paksi-x ialah 2 unit. Skala pada paksi-y ialah 2 unit.(b)Skala pada paksi-x ialah 5 unit dan paksi-y ialah 2 unit.Jarak PQ= 6 × 5= 30 unit(d)Skala pada paksi-x ialah 4 unit dan paksi-y ialah 2 unit.Jarak FG= 4 × 2= 8 unitSukuan II(−x, y)Sukuan III(−x,y)Jika (x, y) ialah (3, 4) di sukuan I. Nyatakan nilai titik tersebut di sukuan II, III dan IV. Apakah jenis transformasi yang dilalui oleh titik tersebut?Sukuan I(x, y)Sukuan IV(x,y)yxOy4−2−2−4−6−6−4O24626xyx34521−1−2−3123AB−2−1O4yx681042−2−4−6−15−10−551015PQOyx34521−1010−1−2−3−20203040DEOyx681042−44−2−4−6−881216GFO

p. 133

BAB 7125Bab 7 KoordinatMenerbitkan rumus jarak di antara dua titik pada satah Cartes.Tujuan:Menentukan jarak di antara dua titik yang mempunyaikoordinat-x atau koordinat-y yang samaBahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Bersama-sama rakan anda, kenal pasti kedudukan koordinat pada satah Cartes.2.Lengkapkan jadual di bawah dengan menentukan koordinat-x atau koordinat-y yang sama.Contoh:Koordinat Koordinat yang samaJarakA (2 , 1)B (2 , 4)koordinat-x4−1=3unitC (1, 3)D (7 , 3)E (6 , 5)F (6 , –5)G (–7, 2)H (1 , 2)Perbincangan:Bagaimanakah anda dapat menerbitkan suatu rumus mudah bagi menentukan jarak di antara dua titik yang mempunyai(i) koordinat-x yang sama?(ii) koordinat-y yang sama?7.1.2 Rumus jarak di antara dua titik pada satahCuba anda perhatikan segi tiga pada satah Cartes di bawah.Tapak segi tiga BC selari dengan paksi-x. Keadaan ini menjadikan koordinat bagi y masing-masing adalah sama. Ini dinamakan paksi-y sepunya. Begitu juga sebaliknya.3112345245yxOABCJarak dapat ditentukan sekiranya,(i)dua titik mempunyai koordinat-y yang sama.(ii)dua titik mempunyai koordinat-x yang sama.BxOyA(x1, y1)(x2, y1)Jarak AB = (x2x1) unitDxOyC(x1, y2)(x1, y1)Jarak CD = (y2−y1) unit

p. 134

BAB 7126Bab 7 KoordinatHitung jarak di antara pasangan titik berikut.(a)(2, –3) dan (4, –3)(b)(0, 1) dan (0, –2)Penyelesaian:(a)Jarak di antara titik itu ialah = 4 – 2= 2 unit(b)Jarak di antara titik itu ialah= 1 – (–2)= 3 unitCONTOH2Jarak mengufuk = x2−x1Jarak mencancang = y2−y1Tujuan: Mengenal pasti jarak di antara dua titikBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS126B yang telah disediakan.7.1.3 Jarak di antara dua titik pada satahMenentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms126b untuk mengenal pasti jarak di antara dua titik.QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms126a untuk permainan Sasaran Kapal Selam.Jika garis lurus yang menyambungkan dua titik pada satah Cartes tidak selari dengan paksi-x atau paksi-y, maka jarak di antara dua titik itu dapat ditentukan dengan menggunakan teorem Pythagoras.Rajah menunjukkan jarak di antara dua titik A dan B. Lengkapkan koordinat A dan B.Penyelesaian:y – 3 = 5 unity= 5 + 3= 8 unitMaka, koordinat A ialah (1, 8).CONTOH34 unit5 unitA (1, y)C (1, 3)B (x, 3)x – 1 = 4 unitx= 4 + 1= 5 unitMaka, koordinat B ialah (5, 3).

p. 135

BAB 7127Bab 7 KoordinatJarak AB merupakan jarak hipotenus. Rumus teorem Pythagoras digunakan untuk menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes.2.Gerakkan koordinat A dan B pada satah Cartes berpandukan jadual.3.Kenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang bagi garisan AB.4.Bandingkan paparan jawapan yang diberikan dengan jawapan anda menggunakan rumus jarak di antara dua titik.5.Lengkapkan jadual di bawah dengan membuktikan jawapan dengan memilih Hint.Perbincangan:(i) Apakah yang anda fahami tentang jarak AB?(ii)Apakah perkaitan rumus teorem Pythagoras?Hitung jarak di antara titik A dengan titik B pada satah Cartes dalam rajah di bawah.CONTOH4Jarak di antara dua titik pada satah Cartes = �(x2x1)2 + (y2y1)23−21123456782−345678−1−1yxOBAApakah rumus ini?Teorem yang menyatakan bahawa bagi sebarang segi tiga bersudut 90° dan kuasa dua hipotenusnya adalah bersamaan dengan jumlah kuasa dua sisi yang lain.cabc = �a2 + b2TitikPerbezaan JarakJarak ABABMengufukx2 – x1Mencancangy2 – y1AB =(a)(1, 5)(1, 7)1 – 1 = 07 – 5 = 2(b)(4, 1)(1, 1)(c)(8, 2)(0,−4 )(d)(6, 7)(2, 4)�(x2− x1)2 + (y2 − y1)2

p. 136

BAB 7128Bab 7 KoordinatHitung jarak di antara titik P dengan titik Q.(a)(b)Penyelesaian:(a) PQ2= 52 + 32= 25 + 9PQ= �34= 5.83 cmMaka, jarak PQ ialah 5.83 cm.CONTOH5(b) PQ2 = �[4 – (–2)] 2 + (1 – 6) 2= �62 + (–5) 2= �36 + 25= �61= 7.81 cmMaka, jarak PQ ialah 7.81 cm.Kaedah 2Jarak=�(x2− x1)2+( y2 − y1 )2Jarak AB = �(5−1)2 +(1−7)2=�42 +(−6)2= �16 + 36= �52= 7.21 unit Maka, jarak AB ialah 7.21 unit.Penyelesaian:Kaedah 1Berdasarkan rajah di sebelah, lukis sebuah segi tiga bersudut tegak ACB.AC = 6 unit, BC = 4 unitDengan menggunakan teorem Pythagoras, ABAB2 = BC2 + AC2AB2 = 42 + 62AB2 = 16 + 36AB= �52= 7.21 unit yxA (1,7)x1, y1x2 , y2B (5, 1) Ox2− x1y2 y14 unitCBA6 unit5 cm3 cmPQxPQy123456−2−1O1234(–2, 6)(4, 1)

p. 137

BAB 7129Bab 7 KoordinatHitung perimeter bagi sebuah segi tiga sama kaki jika bucu-bucu bagi segi tiga tersebut ialah A (1, 1), B (3, 4) dan C (5, 1).Penyelesaian:CONTOH6CONTOH7Diberi bahawa jarak AB = 10 unit. Hitung nilai v. Penyelesaian:A (v, 3)CB (6, 9)10 unityxO7.1.4 Penyelesaian masalahMenyelesaikan masalah yang melibatkan jarak di antara dua titik dalam sistem.Memahami masalahABC adalah segi tiga sama kaki dengan bucu-bucu A (1, 1), B (3, 4) dan C (5, 1). Melaksanakan strategiJarak AB= �32 + 22= �9 + 4= �13= 3.6 unitAB= BCMelaksanakan strategi AB = �(6−v)2 + (9−3)2 10 = �(6−v)2 + 62 10 = �(6−v)2 + 36 102= ��(6−v)2 + 36�2102 −36 =(6−v)2�64 =6−v8 =6−vv =6−8 v= –2Membuat kesimpulanMaka, perimeter segi tiga ABC ialah 3.6 + 3.6 + 4 = 11.2 unit.Membuat kesimpulanMaka, nilai v ialah –2.Merancang strategi•Lukis segi tiga dan tentukan titik-titik tersebut pada satah Cartes.•PerimeterΔABC = AB + BC + AC•Tentukan jarak AC dan AB.Memahami masalahMenghitung nilai v.Merancang strategiJarak AB = 10Rumus jarak= �(x2− x1)2+( y2 − y1 )2Jarak di antara dua titikJarak merupakan ukuran ruang di antara dua titik.= �(x2x1)2 + (y2y1)23−211234562−345678−1−3−2−1yxOA (1, 1)C (5, 1)B (3, 4)7

p. 138

BAB 7130Bab 7 Koordinat1.Tentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes di bawah. 2.Hitung jarak AB.(a)(b)JOM CUBA7.11−224681012−3−4−523456−1−6−4−2yxO(c)(a)(d)(b)ACDEFGHBAB4 cm2 cmBA1 200 cm600 cm(c)(d)3.Nyatakan jarak di antara pasangan titik berikut.(a)(1, 3) dan (1, 7) (b) (0,− 9 )dan(0,9) (c) (5,− 2 )dan(−2,− 2 )(d)(7, 4) dan (8, 4)yx− 4−21243O24681012AB1−212345−3234−1−5− 4−3−2−1yxOBA−1

p. 139

BAB 7131Bab 7 Koordinat4.Diberi jarak mengufuk 4 unit dan jarak mencancang 3 unit bagi dua titik A dan B, hitung nilai a dan b.(a)(b)(c)(d)5.Rajah menunjukkan titik K, L, M, N, P dan Q pada satah Cartes. Hitung jarak di antara titik yang berikut. (a) KM(b) ML (c) PN(d) KQ123456NLQMKP−4−3−2−1Ox−2−3−1231−445678yB (5, b)A (a, 1)OyxB (2, b)A (a, –1)OyxB (0, b)A (a, 4)OyxB (−1,b)OA (a, 0)yx6.Tentukan jarak KL jika K (2, 2) dan L berada pada paksi-x dengan jarak 7 unit ke kanan dari paksi-y.7.Tentukan jarak AB jika masing-masing berada pada paksi-y dengan jarak 5 unit ke atas dan 2 unit ke bawah dari paksi-x.8. Hitung jarak di antara KL jika L berada pada asalan dan K berada 3 unit ke kiri dari paksi-ydan 5 unit ke atas dari paksi-x.

p. 140

BAB 7132Bab 7 Koordinat10.Diberi jarak mencancang dari titik V yang terletak di utara titik W ialah 4 unit. Tentukan koordinat W jika koordinat V ialah (a) (4,–3) (b) (2,−5)(c)(5, –2)(d)(0, –4)11.Berdasarkan rajah di bawah, hitung perimeter ABCD.12.Segi tiga ABC mempunyai bucu A (–2, –1), B (–2, 5) dan C (1, –1). Hitung perimeter bagi segi tiga itu.9.Tentukan nilai a dan b berdasarkan maklumat dalam rajah di bawah.(5, 2)b5 unit3 unityxa7.2Titik Tengah dalam Sistem Koordinat Cartes7.2.1 Titik tengah di antara dua titikAnda telah mempelajari cara menentukan jejari bagi suatu diameter bulatan. Adakah anda fahami konsep titik tengah? Berbincang dengan rakan anda tentang konsep ini.Menerangkan maksud titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.ODBAC−2−1123456O−4−3x−123145678y

p. 141

BAB 7133Bab 7 KoordinatTujuan: Mengenal pasti titik tengah suatu garisanBahan: Kertas grid, jangka lukis dan pembarisLangkah:1. Murid A akan membina satah Cartes pada kertas grid.2. Murid B akan memilih dua titik koordinat dan membina suatu garisan yang menyambungkan titik tersebut.3.Murid C akan membina pembahagi dua sama serenjang pada garisan tersebut.Perbincangan:Apakah yang anda fahami daripada pembinaan pembahagi dua sama serenjang bagi garisan tersebut?Titik tengah(x1, y1)(x2, y2)Titik tengah ialah titik yang membahagi dua sama suatu tembereng garis.Tentukan titik tengah bagi garis lurus AB.(a)(b)CONTOH8Penyelesaian:(a)Titik tengah bagi garis lurus ABialah P.AMPQBQR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms133 untuk melihat video animasi tentang bagaimana menentukan titik tengah daripada perisian geometri dinamik.(b)Titik tengah bagi garis lurus AB ialah D.ADBADBCP ialah titik tengah bagi garis lurus AB. Tentukan koordinat P.CONTOH9Nyatakan koordinat pusat bulatan bagi rajah di bawah. Apakah hubungan antara pusat bulatan dengan titik tengah?Ox−2−8−6−4−2242468AyCBO123456x23145678yA M P Q B4 unit4 unit

p. 142

BAB 7134Bab 7 KoordinatPenyelesaian:Langkah 1: Tentukan titik tengah bagi garis lurus AC dan BC.Langkah 2: Lukis pembahagi dua sama serenjang bagi AC dan BC.Langkah 3: Persilangan di antara pembahagi dua sama serenjang AC dan pembahagi dua sama serenjang BC merupakan titik tengah bagi garis AB.Langkah 4: Maka, titik P ialah (3, 4).Tujuan: Menerbit rumus titik tengahBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS134 yang telah disediakan.2.Kenal pasti titik A dan B.7.2.2 Rumus titik tengahMenerbitkan rumus titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms134 untuk mengenal pasti titik tengah.3.Ubah kedudukan titik A dan titik B dalam jadual yang diberikan.4.Kenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang.5.Buka fail MS135 dan lengkapkan jadual yang diberikan.6.Hitung titik tengah M dengan suatu pengiraan yang melibatkan jarak mengufuk dan jarak mencancang.ACB−1123456−1Ox2314567y(3, 4)Titik tengahP−2−5−4−3−6−6−5−4−3−2

p. 143

BAB 7135Bab 7 KoordinatPerbincangan:(i)Adakah titik tengah bagi garis lurus AB terhasil daripada persilangan titik tengah bagi jarak mengufuk dan jarak mencancang?(ii)Bina suatu kesimpulan untuk menentukan rumus titik tengah berdasarkan aktiviti ini.Titik tengah bagi suatu garis yang condong dapat ditentukan dengan mengenal pasti jarak mengufuk dan jarak mencancang yang masing-masing dibahagikan kepada dua.Titik tengah = �x1 + x22 , y1 + y22�Kedudukan titik tengah dapat ditunjukkan dengan pembinaan pembahagi dua sama serenjang. Persilangan di antara pembahagi dua sama serenjang dengan tembereng garis dapat menentukan koordinat titik tengah pada satah Cartes.7.2.3 Koordinat titik tengah di antara dua titikMenentukan koordinat titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.QR CODEImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms135 untuk mendapatkan lembaran kerja.TitikTitik tengah bagi jarak:Titik tengah�x1 + x22‚y1 + y22�ABMengufukMencancang(4 , 5)(2 , 1)(–1, 5)(3 , 1)(1 , 3)(7 , 1)(3 , 4)(–5,−1)(1 , 2)(–5, 2)M = �6 + 22 , 4 + 02�M = (4 , 2)−1O123456x23145y−2−1−2(4, 2)B(6, 4)MA(2, 0)

p. 144

BAB 7136Bab 7 KoordinatCONTOH10Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus MN.CONTOH11O410MNyx71Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus AB dengan A(2, 5) dan B(2, 1).Penyelesaian:A (2, 5) ialah (x1 , y1) dan B (2, 1) ialah (x2 , y2) Titik tengah AB = �x1+ x2 2y1+ y2 2,�= �2 + 2 2, 5 + 1 2�= �4 26 2,�= (2 , 3)Maka, titik tengah AB ialah (2, 3).Penyelesaian:M (10, 7) ialah (x1 , y1) dan N (4, 1) ialah (x2 , y2)Titik tengah MN = �x1+ x2 2y1+ y2 2,� = �10 + 42, 7 + 1 2� = �14 28 2 , � = (7, 4)Maka, titik tengah MN ialah (7, 4).Titik tengah ialah titik yang membahagi dua sama suatu tembereng.Jika asalan merupakan titik tengah bagi garis lurus KL. Dapatkah anda tentukan koordinat L?OxyK(4, 5)LB (2, 1)A (2, 5)−3−2−1O123456x−12314576y

p. 145

BAB 7137Bab 7 Koordinat7.2.4 Penyelesaian masalahRajah menunjukkan garis PAQ pada suatu satah Cartes. A ialah titik tengah bagi garis lurus PQ. Tentukan koordinat P.CONTOH12Penyelesaian:PQAyx2O2Menyelesaikan masalah yang melibatkan titik tengah dalam sistem koordinat Cartes.Memahami masalahDiketahui jarak AP = AQ. Katakan P = (x, y).Melaksanakan strategiHitung kedudukan mengufuk dan mencancang bermula dengan titik Ayang masing-masing 2 unit.Titik tengah, A (0, 2)Membuat kesimpulanMaka koordinat Pialah(−2,4).Merancang strategiJarak AP = AQ, makaPQ2 unitA2 unit2 unit2 unitTitik tengah, P =�−3+x2 2 , 12+y2 2� (2, 9) = �3+x2 2 , 12+y2 2�Maka, koordinat L ialah (7, 6).Titik P ialah titik tengah bagi garis lurus KL. Diberi koordinat K ialah (3, 12) dan koordinat P ialah (2, 9). Hitung koordinat L.Penyelesaian:K (–3, 12) ialah (x1 , y1) dan L (x2 , y2)CONTOH13Menara KLCC setinggi 88 tingkat. Jarak yang paling sesuai untuk membina skybridge adalah pada tingkat ke-42 dan 43. Mengapa?12+y2 2 = 9−3+x2 2 = 2 ,12+y2 = 18 y2 = 6−3+x2 = 4 , x2= 7 ,P(x , y)Q(2 , 0)x+ 22= 0 x + 2 = 0 x =−2y+ 02= 2 y= 4,,(x , y)(0 , 2)(2 , 0)

p. 146

BAB 7138Bab 7 KoordinatJOM CUBA7.21. Dalam setiap rajah yang berikut, tentukan titik tengah bagi garis lurus PQ.(a) (b)2.5 m2 m5 m5 mBQP2. Berdasarkan rajah di bawah, nyatakan koordinat titik tengah bagi garis lurus (a) AB(b) CD (c) ADPABCQDADCB−1O123456x−123145678y3.Tentukan koordinat titik tengah bagi garis lurus (a) PQ (b) RS (c) TU (d) WV4. Tentukan titik tengah bagi pasangan titik berikut. (a) P (–1, 7) dan Q (–1, 1). (b) R (3, –6) dan S (3, 2).(c)A (3, 1) dan B (5, 1).(d)C (5, 0) dan D (1, 0).−1O123456x−123145678y−4−3−2−2−3TSRQWPVUAC2.5 m

p. 147

BAB 7139Bab 7 Koordinat6.Titik tengah bagi segi empat tepat dalam rajah di bawah adalah di asalan. Tentukan (a) nilai a dan b. (b) jarak bagi garis lurus BC. (c) koordinat B.7. Titik asalan ialah titik tengah bagi tinggi segi empat selari. Hitung(a) nilai m dan n.(b) titik tengah bagi garis lurus PQ.(c) titik tengah bagi garis lurus SR.5.Rujuk rajah di bawah. A ialah titik tengah bagi garis lurus PQ dan B ialah titik tengah bagi garis lurus RQ. Tentukan koordinat P dan R. yxOP (– 4, n)QSR (m, – 6)PRQAB34–2yxOyBC (b, – 4)xODA (–3, a)

p. 148

BAB 7140Bab 7 Koordinat8.Diberi garis lurus AB = BD dengan D (–1, 3) dan B (1, 1). Hitung koordinat bagi titik A.9.Garisan yang menyambungkan titik (–8, 3) dan (s, 3) mempunyai titik tengah (0, u). Hitung nilai s dan u.10.Garis AB selari dengan paksi-x dengan titik A (3, a) dan titik tengah bagi garis lurus AB ialah (5, 1). Hitung(a)nilai a.(b)koordinat B.7.3 Sistem Koordinat Cartes7.3.1 Menyelesaikan masalah koordinatRajah menunjukkan sebuah segi empat selari. Diberi jarak di antara titik A dengan B ialah 5 unit. Hitung(a)koordinat A. (b)titik tengah garis lurus ACPenyelesaian:CONTOH14Menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem koordinat Cartes.Memahami masalahTentukan titik A apabila AB selari dengan DC.(a)(b)Melaksanakan strategiJarak AB = 5 unit. Koordinat-x=115= 6Membuat kesimpulanMaka, koordinat A ialah(6, 6).Merancang strategiGaris lurus AB selari dengan paksi-x. Koordinat-y bagi titik A ialah 6.Memahami masalahGaris lurus AC selari dengan paksi-y. Titik A dan titik C mempunyai koordinat-x yang sama, iaitu 6.Melaksanakan strategiA (6 , 6) C (6 , 2)�6 + 62, 6 + 2 2� = (6, 4)Membuat kesimpulanMaka, titik tengah garis lurus AC ialah (6, 4).Merancang strategix1 , y1x2 , y2Rumus titik tengah = �x1 + x22,y1 + y22�.yOAB (11, 6)2xD1C

p. 149

BAB 7141Bab 7 KoordinatJOM CUBA7.31.Rajah di sebelah merupakan sebuah segi tiga sama kaki dengan tinggi segi tiga ialah 4 unit. Hitung(a)koordinat C. (b) koordinat A.(c)koordinat titik tengah bagi garis lurus AB. (d) jarak AC.2. Rajah di sebelah merupakan sebuah segi empat tepat.Jarak KL ialah 8 unit dan jarak KN ialah 12 unit. Hitung(a) jarak LN.(b) koordinat titik tengah bagi garis lurus NM.(c)koordinat T.3. Jika garis PQ selari dengan paksi-y dan mempunyai titik tengah, M(4, 0) dengan jarak bagi garis lurus MP ialah 3 unit, hitung(a)koordinat P. (b) koordinat Q. (c) jarak PQ.4. Jarak AB = KL, iaitu 8 unit dan masing-masing selari dengan paksi-x. Jika titik tengah bagi garis lurus AB ialah (0, 3) dan jarak titik tengah bagi garis lurus AB ke titik tengah bagi garis lurus KLialah 2 unit ke bawah, hitung(a)koordinat K dan L.(b) koordinat titik tengah bagi garislurus KL.5.Diberi P (4, 0) dan Q berada di paksi-y dengan 6 unit ke atas dari paksi-x, hitung (a)titik tengah bagi garis lurus PQ.(b)jarak di antara titik P dengan titik tengah bagi garis lurus PQ.1.Antara titik yang berikut, yang manakah mewakili (a)(–3, 2)(b)(0, 5) (c) (4, 2) (d) (6, 8)−1O123456x−123145678y−3−2−2IFDCABJGEKHMENJANA KECEMERLANGANyxNKML (2, 10)OTyxCOAB (2, 1)

p. 150

BAB 7142Bab 7 Koordinat2.Jika titik K berada pada paksi-x dan 4 unit ke kiri pada paksi-y. Tentukan koordinat L yang berada 5 unit ke atas dari titik K.3. Jika titik P, Q dan R masing-masing bergerak 2 unit ke selatan dan 1 unit ke timur, nyatakan kedudukan baharu titik-titik itu. Hitung jarak bagi kedudukan baharu PQ dan RQ.4. ABCD ialah sebuah segi empat sama sisi dengan A berada di (0, 0) dan B (–5, 0). Hitung perimeter bagi segi empat itu.5.Jika KLM merupakan sebuah segi tiga bersudut tegak dengan K (1, 0) dan L (5, 0) merupakan tapak dan ML ialah tinggi bagi segi tiga tersebut. Jarak M ke L ialah 5 unit, hitung luas segi tiga tersebut.6.Titik tengah bagi pepenjuru sebuah segi empat sama berjarak 2 unit daripada bucu segi empat itu. Hitung luas segi empat sama itu.Paksi sepunya(y2−y1) dan (x2−x1)�x1 + x22 , y1 + y22��(x2−x1)2 + (y2−y1)2Jarak di antara dua titikUkuran jauh atau ruang di antara dua titik.Titik TengahTitik yang membahagi dua sama suatu tembereng.Paksi−xPaksi yang mengufuk dan berserenjang dengan paksi-y dalam sistem koordinat Cartes.Paksi−yPaksi yang mencancang dan berserenjang dengan paksi-x dalam sistem koordinat Cartes.AsalanTitik persilangan paksi mengufuk dan paksi mencancang. Koordinat asalan ialah (0, 0).Satah CartesSuatu satah Cartes terdiri daripada satu garis nombor mengufuk (horizontal) dan satu garis nombor mencancang (vertikal) yang bersilang pada sudut tegak.INTI PATI BABKoordinatOpaksi mencancangpaksi mengufukasalanyx524yx−2−4RQPO2

p. 151

BAB 7143Bab 7 KoordinatREFLEKSI DIRI1. Menerangkan maksud jarak di antara dua titik pada satah Cartes.2. Menerbitkan rumus jarak di antara dua titik pada satah Cartes.3. Menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes.4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan jarak di antara dua titik dalam sistem koordinat Cartes.5. Menerangkan maksud titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.6. Menerbitkan rumus titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.7. Menentukan koordinat titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes.8. Menyelesaikan masalah yang melibatkan titik tengah dalam sistem koordinat Cartes.9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem koordinat Cartes.Pada akhir bab ini, saya dapat:Hasilkan pelan kedudukan kelas anda di atas kertas grid dengan skala 1 cm kepada 2 meter pada paksi mengufuk dan paksi mencancang. Jika perlu, anda boleh mengubah skala mengikut kesesuaian. Anda boleh menentukan kedudukan koordinat tempat rakan anda masing-masing. Tampal pelan ini di hadapan kelas anda sebagai rujukan.

p. 152

BAB 8144Bab 8 Graf Fungsi8.1Fungsi8.2Graf Fungsi•Graf fungsi•Fungsi•Pemboleh ubah•Hubungan•Persamaan linear•Jadual nilai •Fungsi linear•Fungsi bukan linear•Skala•Fungsi salingan•Fungsi kubik•Fungsi kuadratik•Graph of function•Function•Variable•Relation•Linear equation•Table of value•Linear function•Non-linear function•Scale•Reciprocal function•Cubic function•Quadratic functionRANGKAI KATA144Indeks Jisim Badan (IJB) ialah satu ukuran anggaran lemak di dalam badan berdasarkan berat dan tinggi seseorang. Ukuran IJB yang tinggi ialah tanda kandungan lemak yang banyak. Hitungkan IJB anda.ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 153

BAB 8145Bab 8 Graf FungsiRené Descartes (1596-1650), menyatakan bahawa fungsi ialah hubungan matematik antara dua pemboleh ubah. Perkataan ‘fungsi’ telahdiperkenalolehGottfriedWilhelmLeibniz (1646-1716) dalam bukunya. Idea konsep fungsi ini disambung oleh Leonhard Euler(1707-1783)danbeliaumemperkenaltatatanda fungsi, iaitu y = f (x).Untuk maklumat lanjut:MASLAHAT BAB INIFungsi banyak diaplikasikan dalam bidang ekonomi, teknologi, sains, kejuruteraan, perbankan dan matematik. Kerjaya yang memerlukan pengetahuan tentang fungsi, antaranya ialah jurutera, ahli ekonomi, juruaudit, pensyarah dan pegawai bank.Melalui fungsi indeks pasaran saham, kita dapat meramalkan masa yang sesuai untuk membeli atau menjual sesuatu saham.145http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms145

p. 154

BAB 8146Bab 8 Graf FungsiTujuan: Mengenal fungsiBahan: Lembaran kerja dan kalkulatorLangkah:1.Gunakan simbol (punca kuasa tiga) dalam kalkulator anda untuk mengenal pasti nombor output bagi beberapa nombor input dan lengkapkan jadual A. 2.Gunakan simbol x 3 (kuasa tiga) dalam kalkulator anda untuk mengenal pasti nombor output bagi beberapa nombor input dan lengkapkan jadual B.8.1 Fungsi8.1.1 Definisi fungsiAKTIVITI KREATIFDaripada jadual di atas, dapat diketahui bahawa jumlah harga tiket bergantung kepada bilangan dan kategori ahli keluarga.Menerangkan maksud fungsi.Tujuan: Mengenal hubungan antara dua kuantitiBahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Gambar di bawah menunjukkan iklan tiket taman tema air mengikut kategori. Berdasarkan iklan tersebut, lengkapkan jadual di bawah.2.3.Daripada jadual di atas, apakah kaitan antara jumlah bayaran tiket bagi setiap keluarga dengan kategori ahli keluarganya?KeluargaKategoriDewasaKanak-kanakWargaemas\/OKU123JumlahKategoriBilanganHargaJumlah (RM)Dewasa2 2 × 3060Kanak-kanakWargaemas\/OKUJumlah

p. 155

BAB 8147Bab 8 Graf FungsiDaripada aktiviti di atas, fungsi merupakan hubungan setiap input mempunyai hanya satu output.Hubungan ialah padanan unsur dari set A kepada set B. Hubungan dapat diwakili dengan menggunakan (a) rajah anak panah (b) graf (c) pasangan tertib InputOutput64644272730181125Inputx 3Output2238333275710Perbincangan: Jika input itu ialah domain manakala output itu julat, tentukan julat untukset A = {64, 27, 0, 18, 1125} dan set B = {2, 3, 5, 7, 10}.Jadual AJadual BTerdapat dua jenis hubungan yang menghasilkan fungsi(a) Hubungan satu kepada satu(b) Hubungan banyak kepada satuMengenal pasti fungsi• km• ml• RMJarak•Isi padu•Harga•unit• HerbivorArnab•Lembu•Kuda•Tabiat makanan haiwanTerdapat dua jenis hubungan yang bukan fungsi(a) Hubungan satu kepada banyak(b) Hubungan banyak kepada banyak•Sains• Matematik• Bahasa InggerisRania•Jannah•Subjek kegemaran•Kereta• Motosikal• BasFairuz•Ijah•Afiq •Ravi•Siah Meng •Kenderaan yang dinaiki ke sekolah

p. 156

BAB 8148Bab 8 Graf Fungsi(a)Fungsi satu kepada satuFungsi satu kepada satu ialah hubungan yang mana objek dalam domain mempunyai hanya satu imej.(i)(ii)(iii) Pasangan tertib, A ={(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}CONTOH2f : darab 2PQ1 •2 •3 •4 •• 2• 4• 6• 8(a) Rajah anak panah (b) Graf(c)Pasangan tertibP = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 6)} CONTOH1123451O23456Set ASet B0 •1 •2 •3 •5 •• 1• 2• 3• 4• 6f : tambah 1Set ASet Bx memetakan ke f (x)xf (x)6 •5 •4 •• 5• 4• 3Hubungan di atas ialah fungsi ‘tolak 1’, ditulis dengan tatatanda berikut: f : x → x – 1atau f (x) = x – 1(b)Fungsi banyak kepada satuFungsi banyak kepada satu ialah hubungan yang lebih dari satu objek dihubungkan dengan imej yang sama.(i)(ii)(iii) Pasangan tertib, B = {(6, 3), (9, 3), (21, 3)}f : gandaanPQ6 •9 •21 •• 334O36912151821QP21512342O468PQ

p. 157

BAB 8149Bab 8 Graf Fungsi8.1.2 Perwakilan fungsiMengenal pasti fungsi dan memberi justifikasi berdasarkan perwakilan fungsi dalam bentuk pasangan tertib, jadual, graf dan persamaan.Rajah di bawah menunjukkan fungsi, f yang memetakan x kepada yang ditulis sebagai f (x) = .(c)Hubungan satu kepada banyakHubungan satu kepada banyak ialah hubungan yang mana objek dalam domain mempunyai lebih dari satu imej.(i)(ii)(iii) Pasangan tertib, R = {(3, 3), (3, 6), (4, 4), (4, 8)}Set P = {9, 16, 25, 36} ialah domain dan unsur-unsurnya dinamakan objek. Set Q = {1, 3, 4, 5, 6} ialah kodomain. Unsur-unsur dalam set Q yang dihubungkan kepada objek dalam set Pdinamakan imej. Julat bagi fungsi itu ialah {3, 4, 5, 6}.f : faktorPQ3 •4 •• 3• 4• 6• 8(d)Hubungan banyak kepada banyakHubungan banyak kepada banyak ialah hubungan yang mana sekurang-kurangnya satu objek mempunyai lebih dari satu imej dan lebih dari satu objek mempunyai imej yang sama.(i)(ii)(iii) Pasangan tertib, S = {(24, 4), (24, 6), (24, 8), (18, 6), (16, 4), (16, 8)}f : dibahagiPQ24 •18 •16 •• 4• 6• 8246810121416182022242O468PQBerikanjustifikasiberdasarkanpemerhatianhubunganyangdiwakilioleh graf dalam contoh di atas.Graf garis lurus diperoleh apabila semua pasangan tertib bagi persamaan linear diplot dan disambungkan.9 •16 •25 •36 •• 3• 4• 5• 6• 1fPQDomainKodomain123451O2345678PQ

p. 158

BAB 8150Bab 8 Graf Fungsi1.Rajah di sebelah menunjukkan hubungan antara set P dan set Q.Nyatakan(a)jenis hubungan.(b)julat hubungan itu.2.Rajah di sebelah menunjukkan satu fungsi.Nyatakan nilai b.3.Tentukan sama ada set pasangan tertib berikut ialah fungsi.(a) P= {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}(b) Q= {(1, 3), (0, 3), (2, 1), (4, 2)}(c) R= {(1, 6), (2, 5), (1, 9), (4, 3)}4.Tentukan sama ada hubungan dalam graf berikut ialah fungsi atau bukan fungsi.(a)(b)8.1P3 •6 •9 •• 9• 18• 20Qx0 •3 •5 •b •• 0• 9• 15• 21p(x)Fungsi yang memetakan x kepada y boleh ditulis menggunakan tatatanda fungsi iaitu f(x).Maka, fungsi ini boleh ditulis sebagai f(x) = x+ 3.Diberi set P = {1, 2, 3} dan set Q = {4, 5, 6}. Fungsi, f yang memetakan set P kepada set Q ialah menambah3.Wakilkanhubungandiatasmenggunakan(a) pasangan tertib (b) jadual (c) graf (d) persamaanPenyelesaian:(a) {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}(b)(c)(d) CONTOH3y1231Ox23456P123Q4564 = 1 + 35 = 2 + 36 = 3 + 3y = x + 3 atau f(x) = x + 335O101520253��y12344O812162��y125

p. 159

BAB 8151Bab 8 Graf Fungsix1 •2 •3 •4 •5 •• 3• 6• a• 12• bf (x)5.Diberi set S = {10, 12, 18, 20} dan set R = {2, 4, 10, 12}. Hubungan dari set S kepada set Rialahtolak8.Wakilkanfungsitersebutmenggunakan(a) pasangan tertib (b) jadual (c) graf (d) persamaan6.Rajah berikut menunjukkan fungsi f (x) = 3x dalam domain 1 ⩽x ⩽ 5.Tentukan nilai a dan b.7.Nyatakan domain dan julat hubungan berikut.(a)(b)–5 •2 •4 •• 0• 8• 15• 16341–1–2–3–4–5O2345xy–5– 4–3–2–11258.2 Graf FungsiKita telah mempelajari bahawa perwakilan fungsi boleh dibuat dalam bentuk graf. Graf fungsi ialah perwakilan fungsi pada satah Cartes. Dengan melukis graf, kita dapat menjelaskan hubungan antara pemboleh ubah dalam fungsi tersebut. Graf ini juga akan membantu kita mengenal pasti beberapa maklumat bagi menyelesaikan masalah.Gambar menunjukkan seorang pemain bola sepak menyepak bola, menyebabkan bola itu melambung dan menurun. Lambungan bola itu membentuk suatu lengkung.Katakan lengkung itu mewakili fungsi s = 25t – 2.5t 2, dengan t ialah masa dalam saat dan s ialah tinggi dalam meter. Hubungan antara sdengan t dapat dilukis dalam bentuk graf. Beberapa maklumat boleh diperoleh daripada graf itu seperti ketinggian maksimum bola, masa bola itu sampai ke tanah semula dan jarak dari tempat tendangan.8.2.1 Membina jadual nilaiDaripada fungsi yang diberikan, suatu jadual nilai dapat dibina untuk menentukan pasangan tertib (x, y) yang sepadan sebelum graf dilukiskan.Membina jadual nilai bagi fungsi linear dan bukan linear, dan seterusnya melukis graf menggunakan skala yang diberikan.Bintang bola sepak Malaysia dari Pulau Pinang, Mohd Faiz Subri mendapat penghargaan Anugerah Puskas (FIFA) untuk gol terbaik 2016.

p. 160

BAB 8152Bab 8 Graf Fungsi(a)Bina satu jadual nilai bagi fungsi y = 5 – x, bagi nilai x = –2, –1, 0, 1.(b)Bina satu jadual nilai bagi fungsi y = 2x2 – 1, bagi nilai x = –1 hingga 2.Penyelesaian:CONTOH4(a)Apabila x = –2y = 5– xy = 5 – (–2)y = 5 + 2y = 7Apabila x = –1y = 5– xy = 5 – (–1)y = 5 + 1y = 6Apabila x = 0y = 5– xy = 5 – 0y = 5Apabila x = 1y = 5– xy = 5 – 1y = 4Menggunakan kalkulator untuk menghitung nilai bagi jadual nilai.Untuk = 22 – 1TekanBagi= –1, tekan jawapan = 1 = 0, tekan jawapan = –1 = 1, tekan jawapan = 1 = 2, tekan jawapan = 72ALPHA)^2-1CALC-1=CALC0=CALC1=CALC2=(b) Apabila x = –1y = 2x 2 – 1y = 2(–1)2 – 1y = 2 – 1y = 1Apabila x = 0y = 2x 2 – 1y = 2(0)2 – 1y = 0 – 1y = –1Apabila x = 1y = 2x 2 – 1y = 2(1)2 – 1y = 2 – 1y = 1Apabila x = 2y = 2x 2 – 1y = 2(2)2 – 1y = 8 – 1y = 7Maka, jadual nilai bagi fungsi y = 2x 2 – 1 ialahx–1012y1–117Melukis grafSeterusnya, pasangan tertib (x, y) tadi boleh diplotkan pada satah Cartes mengikut skala yang diberikan. Kemudian, titik-titik ini disambungkan untuk membentuk graf. Bagi memudahkan graf fungsi dibina, kita boleh mengikuti langkah-langkah ini.Langkah-langkah melukis graf:1.Bina jadual nilai bagi fungsi yang diberikan.2.Lukis setiap paksi dengan skala yang diberikan atau dengan skala yang sesuai.3.Plotkan titik (x, y) bagi pasangan tertib daripada jadual nilai.4.Sambung titik-titik itu dengan garis lurus atau lengkung yang licin.•Koordinat (0,0) disebut juga sebagai asalan dan ditandakan dengan O.•Paksi - juga disebut sebagai paksi mengufuk.•Paksi - juga disebut sebagai paksi mencancang.ypaksi mencancangpaksi mengufukxx–2–101y7654Maka, jadual nilai bagi fungsi y = 5 – x ialahO

p. 161

BAB 8153Bab 8 Graf FungsiCONTOH5Apabila x = –1y= 2(–1)+ 4= –2 + 4= 2Apabila x = 0y= 2(0)+ 4= 0 + 4= 4Apabila x = 2y= 2(2)+ 4= 4 + 4= 8(a)Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = 2x + 4.(b)Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk nilai x dari–2hingga3.Penyelesaian:(a) y = 2x + 4Maka,(b) Lukis paksi mengikut skala yang diberikan.skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unitskala paksi-y : 2 cm kepada 2 unitPlotkan titik mengikut pasangan tertib daripada jadual nilai di atas, iaitu (–2, 0), (–1, 2), (0, 4), (1, 6), (2, 8) dan (3, 10).Sambungkan titik.Graf ini disebut juga sebagai graf fungsi linear, kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah xialah 1.Melukis graf garis lurus mestilah denganmenggunakan pembaris.x–2–10123y024681��–2–10123y0610Persamaan garis lurus y = mx + c, dengan mialah kecerunan dan c ialah pintasan-y merupakan setfungsi linear.1O1210246823yxy = 2x + 4(1, 6)(0, 4)(–1, 2)(–2, 0)(2, 8)(3, 10)Pasangan tertibSkala paksi -: 2 cm kepada 2 unitSkala paksi-: 2 cm kepada 1 unitApakah jenis graf fungsidi bawah? Nyatakan fungsi tersebut.Set nilai ini boleh ditulis dalam bentuk –2 ⩽⩽ 3.

p. 162

BAB 8154Bab 8 Graf Fungsi(a)Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = x2 – 2x – 3.(b)Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit pada paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk –2 ⩽x ⩽ 4.Penyelesaian:(a) y = x 2 – 2x – 3 Maka,(b)Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan sambungkan titik tersebut.skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unitskala paksi-y : 2 cm kepada 1 unitCONTOH6x–2–101234y5–305x–2–101234y50–3– 4–305Apabila x = –1y= (–1)2 – 2(–1) – 3= 1 + 2 – 3= 0Apabila x = 1y= 12 – 2(1) – 3= 1 – 2 – 3= – 4Apabila x = 2y= 22 – 2(2) – 3= 4 – 4 – 3= –3•Mata pensel yang tajam dapat membantu murid melukis garis atau lengkung dengan licin.•Murid dibenarkan menggunakan pembaris fleksibel untuk melukis garis lengkung.Bentuk graf ini dipanggil bentuk parabola.Bagi fungsi kuadratik f (x) = ax 2 + bx + c,kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah xialah 2, dan a≠ 0.–1O125142–33–241–234yxy = x2 – 2x – 3(–2, 5)(4, 5)(–1, 0)(3, 0)(0, –3)(1, – 4)(2, –3)Pasangan tertibSkala paksi-y: 2 cm kepada 1 unitSkala paksi-x: 2 cm kepada 1 unitApakah jenis graf fungsidi bawah? Nyatakan fungsi tersebut.Free resources from www.mathsphere.co.uk

p. 163

BAB 8155Bab 8 Graf Fungsi(a)Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = 12 – x3.(b)Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk –3 ⩽x ⩽ 3.CONTOH7x–3–2–10123y391312–15Penyelesaian:(a) y = 12 – x3 Maka,x–3–2–10123y39201312114–15Apabila x = 1y= 12 – (1)3= 12 – 1= 11Apabila x = 2y= 12 – (2)3= 12 – 8= 4Apabila x = –2y= 12 – (–2)3= 12 + 8= 20Bagi fungsi kubik ax3 + c, kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah xialah 3, dan a≠ 0. (b)Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan sambungkan titik tersebut.skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unitskala paksi-y : 2 cm kepada 5 unit–1O12253035405101515–1020–5–3–23yxy = 12 – x3Pasangan tertibSkala paksi-y: 2 cm kepada 5 unitSkala paksi-x: 2 cm kepada 1 unit(–3, 39)(–2, 20)(–1, 13)(0, 12)(1, 11)(2, 4)(3, –15)Apakah jenis graf fungsidi bawah? Nyatakan fungsi tersebut.Free resources from www.mathsphere.co.uk Free resources from www.mathsphere.co.uk Titikpersilanganmerupakan penyelesaian bagi dua fungsi tersebut

p. 164

BAB 8156Bab 8 Graf FungsiPenyelesaian:(a) y = 24x(b)Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan sambungkan titik tersebut.skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unitskala paksi-y : 2 cm kepada 5 unitx– 4–3–2–11234y– 6– 8–12–24241286Maka, Apabila x = –3y= 24–3= –8Apabila x = 1y= 241= 24Apabila x = 4y= 244= 6Fungsi salingan y = axtidak tertakrif jika x = 0. Fungsi salingan juga boleh ditulis sebagai y = ax –1. Bentuk graf ini dipanggil bentuk hiperbola.(a)Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = 24x.CONTOH8x– 4–3–2–11234y– 6–12–24128(b)Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk – 4 ⩽x ⩽ 4.–1O1225510–15–20–251510205– 4–3–234yxy = 24xSkala paksi-y: 2 cm kepada 5 unitSkala paksi-x: 2 cm kepada 1 unit(1, 24)(2, 12)(3, 8)(4, 6)(– 4, – 6)(–3, –8)(–2, –12)(–1, –24)Pasangan tertibApakah jenis graf fungsidi bawah? Nyatakan fungsi tersebut.Free resources from www.mathsphere.co.uk O

p. 165

BAB 8157Bab 8 Graf Fungsi(a) Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi y = x 2(b)Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-y, lukis graf bagi fungsi itu untuk – 4 ⩽x ⩽ 4.Penyelesaian:(a) y = x –2(b)Lukis paksi mengikut skala yang diberikan. Plotkan titik mengikut jadual nilai di atas dan sambungkan titik tersebut.skala paksi-x : 2 cm kepada 1 unitskala paksi-y : 2 cm kepada 0.5 unitCONTOH9x– 4–3–2–1– 0.50.51234y0.060.25410.250.110.06Apabila x = –3y= (–3)–2= 0.11x– 4– 3–2–1– 0.50.51234y0.060.110.2514410.250.110.06Maka,Apabila x = –1y= (–1)–2= 1Apabila x = 0.5y= (0.5)–2= 4y = ax n dengan n = –1, –2 merupakan fungsi salingan.Bentuk graf ini juga adalah berbentuk hiperbola.–1O122.533.540.511.52–4–3–234yxy = x 2Skala paksi-y: 2 cm kepada 0.5 unit(–0.5, 4)(0.5, 4)(–1, 1)(1, 1)(–2, 0.25)(2, 0.25)(3, 0.11)(–3, 0.11)(– 4, 0.06)(4, 0.06)Pasangan tertibSkala paksi-x: 2 cm kepada 1 unit

p. 166

BAB 8158Bab 8 Graf Fungsi8.2.2 Tafsiran graf fungsiDaripada graf fungsi yang telah dibina, kita boleh membuat tafsiran dan ramalan terhadap situasi yang berlaku atau akan berlaku mengikut hubungan yang diperoleh daripada pemboleh ubah.y–1O12345621–1–23xy = 2x + 2Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi y = x 2 – 2. Berdasarkan graf, tentukan(a) nilai y, apabila x = 2.(b) nilai-nilai x, apabila y = 7.Penyelesaian:Daripada graf:(a)Apabila x = 2, maka y = 2(b)Apabila y = 7, maka x = 3 dan –3CONTOH11Rajah di sebelah menunjukkan graf fungsi y = 2 x + 2.Berdasarkan graf, tentukan(a) nilai y apabila x = 2.(b) nilai x apabila y = 4.Penyelesaian:Daripada graf:(a) Apabila x = 2, maka y = 6(b) Apabila y = 4, maka x = 1CONTOH101012–2O246842–2–6–46yxy = 7y = 2x = –3x = 3Buat garis mengufuk y= 7, sehingga menyentuh kedua-dua bahagian pada graf y = x 2 – 2. Kemudian, buat garis mencancang ke bawah menuju paksi-x.Mentafsir graf fungsi.y1O12345621123xy = 2x + 2x = 2y = 6 y = 4 x = 1Pada x = 2, lukis satu garis mencancang ke atas sehingga bertemu dengan garis fungsi y = 2 x + 2. Kemudian, buat satu garis mengufuk ke kiri sehingga bertemu dengan paksi-y. Baca nilai y.Pada y = 4, lukis satu garis mengufuk ke kanan sehingga bertemu dengan garis fungsi y = 2 x + 2. Kemudian, buat satu garis mencancang ke bawah sehingga bertemu dengan paksi-x. Baca nilai x.

p. 167

BAB 8159Bab 8 Graf FungsiGraf fungsi di sebelah menunjukkan pergerakan sebiji bola yang dijatuhkan dari ketinggian 4 meter. Berdasarkan graf, tentukan(a) jarak bola itu dari tanah pada minit pertama.(b) masa bola menyentuh tanah.Penyelesaian:Daripada graf:(a)Apabila x = 1, y = 2Maka, jarak bola dari tanah pada minit pertama ialah 2 meter.(b)Apabila bola menyentuh tanah, tingginya ialah sifar.Apabila y = 0, x = 2Maka, bola menyentuh tanah pada minit ke-2.CONTOH12Dalam ekspo keusahawanan yang lepas, Anis telah menjual nasi goreng di gerai Persatuan Pengguna. Graf di sebelah menunjukkan bilangan bungkus nasi goreng yang dijual dengan keuntungan yang diperoleh Anis.Berdasarkan graf:(a)Berapakah keuntungan yang diperoleh Anis sekiranya dia berjaya menjual 20 bungkus nasi goreng?(b)Jika Anis mendapat keuntungan sebanyak RM20, berapa bungkuskah nasi goreng yang telah dijualnya?(c)Berapakah keuntungan Anis jika 26 bungkus nasi gorengnya terjual?(d)Nyatakan satu inferens yang sesuai bagi graf jualan itu.(e)Berdasarkan trend graf tersebut, ramalkan keuntungan Anis jika 60 bungkus nasi gorengnya berjaya dijual.Penyelesaian:(a)Keuntungan = RM10(b)Bilangan nasi goreng = 40 bungkus(c)Keuntungan = RM13(d)Jumlah keuntungan Anis meningkat jika bilangan bungkus nasi goreng yang dijual bertambah.(e)RM30 CONTOH13Masa (minit)Tinggi (meter)O123434521Bilangan bungkus nasi goreng (unit)10203040506010152025305Keuntungan (RM)O26131020304050101520255Keuntungan (RM)Bilangan bungkus nasi goreng (unit)O60

p. 168

BAB 8160Bab 8 Graf Fungsi8.2.3 Penyelesaian masalahMenyelesaikan masalah yang melibatkan graf fungsi.Setiaphari,JohandanErikamenerimawangbelanjadaripadabapamereka. Mereka akan menyimpan sebahagian daripada wang belanja itu di dalam tabung. Graf di bawah menunjukkan jumlah wang (RM) yang disimpan mengikut bilangan hari. Berdasarkan graf:(a)Berapakah jumlah wang yang disimpan pada hari ke-20 di dalam tabung(i)Johan (ii)Erika(b) BilakahwangJohandanErikamempunyaijumlah simpanan yang sama?(c) BilakahsimpananJohandanErikamempunyaiperbezaan sebanyak RM30?(d)Bapa mereka berjanji akan memberikan hadiah kepada seorang daripada mereka yang mempunyai wang paling banyak selepas sebulan. Siapakah yang akan mendapat hadiah itu?Berikanjustifikasianda. Penyelesaian:CONTOH14Memahami masalah(a) Mengenal pasti nilai wang yang disimpan pada hari ke-20.(b) MengenalpastibilanganharibagijumlahsimpananyangsamabagiJohandanErika.(c)Menghitung perbezaan simpanan mereka sebanyak RM30.(d)Mengenal pasti siapakah yang akan mendapat hadiah berdasarkan simpanan paling banyakdalammasasebulandenganmemberikanjustifikasinya.Merancang strategi(a)Baca nilai y apabila x=20bagigrafJohandanErika.(b)Baca nilai x bagi titik persilangan dua garis tersebut.(c)Hitung perbezaan nilai sebanyak RM30 di antara dua garis tersebut.(d)Baca nilai y apabila bilangan hari ialah 30.Melaksanakan strategi(a) Daripada graf, pada hari ke-20 (i)SimpananJohan=RM80(ii)SimpananErika=RM60(b)Nilai xbagititikpersilangangrafJohandanErika.Titikpersilanganialah(10,40).Makapadaharike-10jumlahsimpananJohandanErikaadalahsama,iaituRM40.(c)Pada hari ke-25, RM100 – RM70 = RM30.(d)Apabila x=30,grafErika,y = RM80; graf Johan, y = RM120. Maka, simpanan Johan lebih banyak.Bilangan hari5101520253040608010012020Wang(RM)OJohanErika

p. 169

BAB 8161Bab 8 Graf FungsiMemahami masalah• Fungsi y = 6 + x – x2 mewakili lompatan Jibam. Fungsi y = 2x mewakili balingan batu.• Mengenal pasti nilai ketinggian maksimum lompatan Jibam, masa batu mengenai Jibam dan masa Jibam sampai ke tanah.Merancang strategi(a)Baca nilai ketinggian maksimum daripada graf y = 6 + x – x2.(b)Baca nilai x bagi titik persilangan dua graf tersebut.(c)Baca nilai x jika y = 0.Melaksanakan strategiDaripada graf: (a)Titik maksimum ialah (0.5, 6.25), maka ketinggian maksimum ialah 6.25.(b)Nilai x ialah titik persilangan dua graf tersebut. Titik persilangan ialah (2, 4). Maka, batu itu mengenai Jibam pada saat ke-2.(c)y = 0, x = 3. Maka, Jibam akan menyentuh tanah pada saat ke-3.Membuat kesimpulanMaka: (a)Ketinggian maksimum lompatan Jibam ialah 6.25 meter.(b)Batu yang dibaling itu mengenai Jibam pada saat ke-2.(c)Jibam akan menyentuh tanah pada saat ke-3.Membuat kesimpulan(a)Jumlah wang yang disimpan pada hari ke-20 oleh (i)Johan=RM80 (ii)Erika=RM60(b) SimpananJohandanErikamempunyaijumlahyangsamapadaharike-10.(c) Perbezaan simpanan mereka sebanyak RM30 adalah pada hari ke-25.(d)Johan akan mendapat hadiah daripada bapanya kerana pada hari ke-30 tabung Johan mempunyaiRM120manakalatabungErikacumamempunyaiRM80sahaja.Dalam permainan animasi, kartun Jibam melompat dari sebuah blok batu. Pada masa yang sama, sebiji batu akan dibaling ke arahnya untuk menjatuhkan Jibam. Graf fungsi y = 6 + x – x2 mewakili pergerakan Jibam dan graf fungsi y = 2x mewakili pergerakan batu tersebut. y mewakili jarak dalam meter dan x ialah masa dalam saat.Berdasarkan graf:(a)Apakah ketinggian maksimum lompatan Jibam?(b)Pada saat keberapakah batu itu tepat mengenai Jibam?(c)Pada saat keberapakah Jibam menyentuh permukaan tanah?Penyelesaian:CONTOH15O12345671234y = 6 + x – x 2y = 2xTinggi (cm)Masa (s)

p. 170

BAB 8162Bab 8 Graf Fungsi1.Salin dan lengkapkan jadual nilai berikut bagi fungsi yang diberikan.(a) y = 3x + 2(b) y = 2x2(c) y = x3 + 22.Bina jadual nilai bagi setiap fungsi yang berikut dengan menggunakan nilai x yang diberikan.(a) y = 2x – 2 untuk –3 ⩽x ⩽ 3(b) y = 2x2 + x – 5 untuk –1 ⩽x ⩽ 3(c) y = 3x3 – 6 untuk –2 ⩽x ⩽ 43.Salin dan lengkapkan jadual-jadual nilai di bawah mengikut fungsi yang diberikan, seterusnya lukis graf dengan skala yang dinyatakan.(a) y = 5 + xDengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 5 + x untuk –3 ⩽x ⩽ 4.(b) y = 4 – x 2Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 4 – x 2 untuk –3 ⩽x ⩽ 3.(c) y = 8 – x 3Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y, lukis graf fungsi y = 8 – x 3 untuk –3 ⩽x ⩽ 3.(d) y = Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y, lukis graf fungsi y = untuk – 4 ⩽x ⩽ 4.x01234y514x01234y818x–2–10123y– 62x–3–2–101234y24589x–3–2–10123y030–58.2x–3–2–10123y3598–19x– 4–3–2–1– 0.50.51234y–1–1.33– 4–841.33

p. 171

BAB 8163Bab 8 Graf Fungsi4 .Graf menunjukkan penggunaan petrol P literyang digunakan oleh sebuah teksi bagi jarak J km.Berdasarkan graf: (a)Tentukan jarak teksi itu akan bergerak jika tangkinya diisi sebanyak(i) 30 liter petrol.(ii) 42 liter petrol.(b)Hitung kos petrol bagi pergerakan teksi sejauh 36 km jika 1 liter petrol bernilai RM2.30.5.Diberi satu fungsi y = 5x2 – 9x – 5.(a)Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi tersebut untuk –2 ⩽x ⩽ 3.(b)Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan skala 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, plotkan semua titik pada graf itu.(c)Seterusnya, lukis graf fungsi itu.(d)Daripada graf, tentukan nilai x apabila y = 0.x–2–10123y33–5–91.Tentukan sama ada setiap hubungan berikut ialah suatu fungsi atau bukan fungsi.(a){(0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12)}(b){(25, 5), (25, –5), (9, 3), (9, –3)}2. Wakilkanhubungansetyangdiberikandalambentukpasangantertib,jadual,grafdanpersamaan.(a)Set integer, B = {1, 2, 3, 4, 5}Set gandaan dengan 11, A = {11, 22, 33, 44, 55}(b)Set integer, I = {1, 2, 3, 4, 5}Set kuasa dua sempurna, S = {1, 4, 9, 16, 25}3.Luas permukaan sebiji bola, L berbentuk sfera ialah hasil darab 4π dengan kuasa dua jejarinya, j.(a)Nyatakan(i)pemboleh ubah bersandar.(ii)pemboleh ubah tak bersandar.(b)Tulis hubungan antara L dengan j.4.Diberi T = {1, 2, 3, 4} dan U = {1, 8, 27, 64}. Hubungan set T kepada set U ialah kuasa tiga. Wakilkanfungsiberikutmenggunakan(a)pasangan tertib(b) jadual(c) graf(d) persamaanMENJANA KECEMERLANGANPetrol, P (liter)1020304050602030405010Jarak, J (km)O

p. 172

BAB 8164Bab 8 Graf Fungsi6. Wilsoninginmembinasangkararnabnyayangberbentuksegiempattepatdenganlebarp meter dan panjang 3p meter. Jika A mewakili luas sangkar arnab itu, maka hubungan A dengan panjang dan lebar sisinya diwakili oleh A = 3p2.(a)Lengkapkan jadual nilai di bawah bagi fungsi A untuk 0 ⩽p ⩽ 6.(b)Lukis graf bagi fungsi A untuk 0 ⩽p ⩽ 6. Gunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-xdan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y.(c)Daripada graf, tentukan:(i)Luas kawasan sangkar arnab itu apabila lebarnya ialah 5.2 m.(ii) LuaskawasansangkararnabsekiranyaWilsonmempunyaidawaipagarsepanjang40m.7.Raj ialah pengerusi Kelab Komputer. Dia ingin menempah kemeja-T untuk ahli kelab daripada Puan Aini, guru koperasi sekolah. Puan Aini telah menyediakan satu graf bagi menunjukkan kos dalam RM, dengan bilangan kemeja-T.(a)Lengkapkan jadual di bawah berdasarkan graf.(b)Setelah Raj mengamati graf tersebut, dia terkejut apabila mendapati 0 helai kemeja-T kosnya RM50. Jika anda ialah Puan Aini, apakah penjelasan anda?(c)Berapakah jumlah kos yang perlu dibayar oleh Raj untuk 68 helai kemeja-T?(d)Jika Raj cuma mempunyai bajet sebanyak RM410, nyatakan jumlah kemeja-T yang dapat ditempah olehnya.5.Bapa Amirah memberikan wang belanja kepadanya sebanyak RM100. (a)Jika dia berbelanja sebanyak RM2 setiap hari, hitung baki wang selepas (i) 2 hari(ii) 5 hari(iii) 10 hari(b)Diberi RMy mewakili baki wang Amirah selepas x hari. Lengkapkan jadual nilai di bawah.(c)Lukis graf bagi fungsi y = 100 – 2x untuk 5 ⩽x ⩽ 50. Gunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y.(d)Daripada graf:(i)Bilakah semua wang simpanan Amirah habis dibelanjakan?(ii)Bilakah wang simpanan Amirah berbaki sebanyak RM44?x5101520253035404550y7060402010Bilangan kemeja-T10305070Kos (RM)p0123456A27751081020304050607080200300400100Kos (RM)Bilangan kemeja-T (helai)O

p. 173

BAB 8165Bab 8 Graf Fungsi9.Zarul ingin menyewa basikal untuk bersiar-siar di taman rekreasi. Terdapat dua buah kedai yang menawarkan perkhidmatan menyewa basikal di situ, iaitu Syarikat Adan Syarikat B. Graf menunjukkan kadar bayaran dan masa penggunaan basikal yang ditetapkan oleh kedua-dua buah syarikat itu.Berdasarkan graf:(a)Berapakah bayaran yang dikenakan oleh Syarikat A bagi 3 jam penggunaan basikal itu?(b)Jika Zarul ingin menyewa basikal untuk 1 jam sahaja, syarikat basikal yang manakah menawarkan harga yang lebih murah? Jelaskan jawapan anda.(c)Zarul mempunyai RM7 sahaja. Basikal syarikat yang manakah harus dipilih oleh Zarul? Jelaskan.(d)Untuk tempoh berapa jamkah bayaran sewa basikal bagi 2 buah syarikat itu adalah sama?(e)Jika Zarul menyewa basikal selama 6 jam daripada Syarikat B, berapakah bayaran yang perlu dibayar oleh Zarul?8.Nizam memukul bola golf yang diberikan kepadanya. Ketinggian bola itu, y meter dari permukaan tanah selepas x saat ialah . Graf di sebelah menunjukkan pergerakan bola golf itu setelah dipukul.Berdasarkan graf:(a)Berapakah ketinggian bola itu pada saat ke-3?(b)Pada saat keberapakah bola itu berada di ketinggian 10 m.(c)Pada saat keberapakah bola itu akan jatuh ke tanah?(d)Apakah ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola itu?(e)Apakah trend bagi pergerakan bola golf itu?10.Syarikat Maju dan Syarikat Berjaya ialah dua syarikat telekomunikasi yang menawarkan pakej pelan prabayar telefon bimbit. Graf menunjukkan kadar bayaran dan masa perbualan yang ditawarkan oleh kedua-dua syarikat itu. Berdasarkan graf:(a)Berapakah kadar bayaran bagi 20 minit perbualan bagi(i) Syarikat Maju(ii) Syarikat Berjaya(b) JikaErinmenggunakantelefonlebihdaripada30 minit untuk berbual sebulan, syarikat yang manakah menawarkan kadar bayaran yang lebih murah? Jelaskan.(c)Umai hanya mahu membelanjakan RM4 sahaja untuk perkhidmatan itu. Syarikat manakah yang harus dipilih oleh Umai? Jelaskan.O123456782015105Tinggi (m)Masa (s)y = 8xx2O24681045321Syarikat BSyarikat ABayaran (RM)Masa ( jam)6Masa (minit)5101520253023451Bayaran (RM)Syarikat MajuSyarikat BerjayaO

p. 174

BAB 8166Bab 8 Graf FungsiPasangan tertibJadualGrafPersamaanINTI PATI BABFungsiFungsi ialah hubungan yang mana setiap objek dalam domain hanya mempunyai satu imej dalam kodomain.Fungsi satu ke satuFungsi banyak ke satuPerwakilan FungsiGraf FungsiPerwakilan fungsi dengan graf garis lurus atau lengkungan pada satah Cartes.Jadual nilai ialah jadual yang menunjukkan nilai pemboleh ubah bersandar dan pemboleh ubah tak bersandar dan dibina sebelum graf dilukis.Langkah-langkah melukis graf.1.Bina jadual nilai bagi julat yang dipilih.2.Lukis paksi dengan skala yang diberikan.3.Plotkan titik daripada jadual nilai.4.Sambung titik itu untuk membentuk graf.

p. 175

BAB 8167Bab 8 Graf FungsiAnda dikehendaki membuat satu tugasan, iaitu menghasilkan kad ucapan dengan menggunakan corak fungsi yang diberikan. Lengkapkan jadual nilai di bawah. Lukis lapan graf fungsi di bawah pada sekeping kertas graf yang sama dengan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y. Labelkan setiap graf yang dilukisdenganfungsinya.Warnakansetiaprantaudengan warna-warna yang digemari. Selepas itu, gunting kertas graf itu mengikut ukuran yang anda pilih dan pastikan corak yang telah diwarnakan memenuhi kawasan. Lekatkan graf ini pada kad manila dan hias mengikut kreativiti anda untuk menjadikannya sebagai sekeping kad ucapan. Contoh corak daripada beberapa graf fungsiBilanganFungsi (y)x–3–2–101231 y = x2 y = –x + 93 y = 2x + 84 y = –2x + 45 y = x 2 – 36 y = –x 2 + 137 y = –x 3 + 58 y = 2x –2Pada akhir bab ini, saya dapat:1. Menerangkan maksud fungsi.2. Mengenalpastifungsidanmemberikanjustifikasiberdasarkanperwakilanfungsi dalam bentuk pasangan tertib, jadual, graf dan persamaan.3.Membina jadual nilai bagi fungsi linear dan bukan linear, dan seterusnya melukis graf dengan skala yang diberikan.4. Mentafsir graf fungsi.REFLEKSI DIRI

p. 176

BAB 9168Bab 9 Laju dan Pecutan9.1Laju9.2Pecutan•Laju•Jarak•Masa•Unit•Pecutan•Nyahpecutan•Laju purata•Laju seragam•Laju tak seragam•Pegun•Speed•Distance•Time•Unit•Acceleration•Deceleration•Average speed•Uniform speed•Non-uniform speed•StationaryPerhatikan beberapa aktiviti dalam kehidupan harian kita. Kesemua aktiviti ini melibatkan laju. Perubahan laju juga berlaku apabila wujud aktiviti pergerakan.Azizulhasni Awang ialah seorang pelumba basikal trek profesional negara. Beliau telah melakukan pecutan pada pusingan akhir dan telah menjuarai Kejohanan Berbasikal Trek Dunia di Hong Kong bagi acara keirin lelaki pada 13 April 2017.RANGKAI KATA168ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 177

BAB 9169Bab 9 Laju dan PecutanGalileo Galilei ialah saintis pertama yang mengukur kelajuan sebagai jarak per masa.Untuk maklumat lanjut:MASLAHAT BAB INIIlmu dalam bab ini boleh diaplikasikan dalam bidang kerjaya seperti kejuruteraan automotif, angkasawan, bidang kajian f izik, sukan, astronomi dan sebagainya. 169http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms169

p. 178

BAB 9170Bab 9 Laju dan Pecutan9.1 Laju9.1.1 Laju sebagai suatu kadarCuba anda perhatikan di belakang sebuah lori atau bas persiaran, terdapat simbol had laju bagi setiap kenderaan tersebut. Apakah maksud simbol tersebut? Apakah akibat yang akan berlaku sekiranya pemandu tidak mematuhi arahan simbol itu?Tujuan: Memperkenal laju dan pecutanBahan: Tiga set kereta kawalan jauh, jam randik, trek perlumbaan dan wiselLangkah:1. Pilih tiga orang murid.2.Setiap seorang diberi satu set kereta kawalan jauh yang sama.3.Gerakkan kereta kawalan jauh masing-masing dengan alat kawalan di atas trek yang disediakan apabila wisel dibunyikan.4.Catatkan masa dan nama pemenang bagi aktiviti ini.5.Apakah hubungan antara masa, laju dan pecutan dengan kemenangan kereta kawalan jauh tersebut? Bincangkan.AKTIVITI KREATIFTujuan: Menerangkan maksud laju sebagai satu kadar yang melibatkan jarak dan masa Bahan: Jam randik dan kad manila (lembaran keputusan larian 100 m)Langkah:1. Murid dibahagikan kepada empat kumpulan.2. Pilih tiga orang murid sebagai pelari daripada setiap kumpulan.3.Murid-murid ini akan berlari sejauh 50 m di atas trek yang telah disediakan.4.Masa larian murid-murid tersebut direkodkan.5.Keputusan tersebut direkodkan dalam jadual keputusan di atas kad manila yang diberikan. Seterusnya, hitung nilai jarak dibahagi dengan masa bagi setiap pelari.6.Paparkan jadual keputusan kumpulan anda.Nama PelariJarak (m)Masa (s)Jarak (m)Masa (s)505050Menerangkan maksud laju sebagai suatu kadar yang melibatkan jarak dan masa.

p. 179

BAB 9171Bab 9 Laju dan PecutanMurid yang mendapat tempat pertama telah menamatkan larian dalam masa yang paling singkat manakala murid yang terakhir menamatkan larian dengan merekodkan masa yang paling lama. Ketiga-tiga orang murid itu berlari dalam jarak yang sama, maka laju larian murid ialah hasil bahagi jarak dengan masa larian mereka.Perbincangan:(i)Senaraikan nama pemenang tempat pertama, kedua dan ketiga bagi kumpulan anda.(ii) Apakah kesimpulan yang dapat dibuat oleh kumpulan berdasarkan keputusan yang diperoleh?Aida berjalan ke kedai yang jaraknya 100 meter selama 5 minit. Hitung lajunya.Penyelesaian: Laju= JarakMasa= 100 m5 min =20m\/minMaka, Aida berjalan sejauh 20 m setiap minit.CONTOH1100 m5 minKedai RuncitCONTOH2KhairulHafizdanBadrulHisyamialahpelaripecutmudanegara.Semasalatihanacara100meter,KhairulHafizmenamatkanlarian dalam masa 10.18 saat manakala Badrul Hisyam menamatkan larian dalam masa 10.25 saat. Hitung laju larian KhairulHafizdanBadrulHisyam.LMJJ: JarakL: LajuM: MasaJML =JLM =J = L x Mm\/min boleh disebut sebagai “meter per minit”Jika saya berjalan 10 kilometer dalam tempoh satu jam, maka laju saya ialah 10 km\/jam. Jika sesuatu zarah bergerak 1 meter dalam tempoh satu saat, maka laju zarah tersebut ialah 1 m\/s.Penyelesaian:Laju larianKhairulHafiz= JarakMasa= 100 m10.18 s=9.82m\/s= JarakMasa= 100 m10.25 s=9.76m\/sLaju larian Badrul HisyamLaju = JarakMasa

p. 180

BAB 9172Bab 9 Laju dan PecutanGuli AGuli A bergerak dengan perubahan jarak yang sama. Maka, guli A bergerak dengan laju seragam.Guli BGuli B bergerak dengan perubahan jarak yang berbeza. Maka, guli B bergerak dengan laju tak seragam.Oleh itu, laju seragam ialah laju yang mempunyai perubahan jarak yang sama dalam selang masa yang sama.Oleh itu, laju tak seragam ialah laju yang mempunyai perubahan jarak yang tidak sama dalam selang masa yang sama.Bandingkan jarak yang dilalui oleh guli A dan guli B dalam masa 4 saat. Guli yang manakah mempunyai laju seragam dan guli yang manakah mempunyai laju tak seragam? Jelaskan idea anda.Perhatikan rajah pergerakan guli di bawah. Sebiji guli A dan sebiji guli B digolekkan di atas meja. Pergerakan guli tersebut digambarkan seperti yang berikut.9.1.2 Laju seragam dan laju tak seragamGuli A0 2 cm 4 cm 6 cm 8 cm1 s1 s1 s1 sGuli BCONTOH3Farid memandu sebuah treler sejauh 170 kilometer dalam masa 2 jam yang pertama dan 190 kilometer dalam 4 jam berikutnya. Adakah Farid memandu trelernya dengan laju seragam? Jelaskan jawapan anda.Penyelesaian:Kelajuan pada 2 jam yang pertama= 170 km2 j =85km\/jMemerihalkan perbezaan antara laju seragam dengan laju tak seragam.Graf Jarak-Masa bagi Guli AMasa (saat)Jarak (cm)2468O1234Graf Jarak-Masa bagi Guli BMasa (saat)Jarak (cm)2468O12341 s1 s1 s1 s0 2 cm 3 cm 5 cm 8 cm

p. 181

BAB 9173Bab 9 Laju dan PecutanCONTOH4EncikMaheshmemukulbolagolfdaritiangP ke tiang S melalui tiang Q dan tiang R. Adakah kelajuan bola golf itu mempunyai laju yang seragam? Jelaskan jawapan anda.Penyelesaian:Kelajuan bola dari P ke Q= 40 m2 s =20m\/sKelajuan bola dari R ke S= 60 m3 s =20m\/sMaka, kelajuan bola golf itu adalah seragam.Kelajuan bola dari Q ke R = 70 m3.5 s =20m\/skm\/j boleh juga ditulis sebagai kmj atau kmj-1.9.1.3 Laju purataPertimbangkanperjalananPerkhidmatanKeretaApiElektrik(ETS)dariKuala Lumpur ke Butterworth. Kereta api itu akan bergerak dengan laju tak seragam. Dalam situasi sedemikian, laju purata digunakan untuk memberikan suatu gambaran tentang laju kereta api itu.Kelajuan pada 4 jam berikutnya= 190 km4 j =47.5km\/jMaka, kelajuan treler tersebut adalah tak seragam.Laju purata = Jumlah jarakJumlah masaPQR40 mS2 s70 m3.5 s60 m3 sMelaksanakan pengiraan yang melibatkan laju dan laju purata termasuk penukaran unit.Masa (s)01234Jarak (m)010203040Masa (s)01234Jarak (m)0371630Lukis graf jarak-masa. Daripada graf tersebut buat kesimpulan tentang laju seragam dan laju tak seragam.

p. 182

BAB 9174Bab 9 Laju dan PecutanCONTOH5Amir mula berbasikal dari rumahnya ke bandar A pada pukul 9:00 pagi. Dalam perjalanan, dia singgah di restoran piza untuk berehat dan makan sebelum dia menyambung perjalanannya semula ke bandar A. Dia sampai di bandar A pada pukul 12:15 tengah hari. Hitung laju purata,dalamkm\/j,perjalananitu.Penyelesaian: Jumlah jarak= 10 km + 25 km= 35 km Jumlah masa = 12:15 – 9:00= 3 j 15 minLaju purata= 35 km3.25 j =10.77km\/jRumah Amir9:00 pagiRestoran PizaBandar A12:15 tengah hari10 km25 kmCONTOH6Sebuah bas bertolak dari bandar Puchong pada jam 0825 dan tiba di Perai pada jam 1345. Jika jumlahjarakyangdilaluinyaialah354kilometer,hitunglajupuratabasitudalamkm\/j.Penyelesaian:Jarak= 354 kmMasa= 1345 – 0825= 5 jam 20 minLaju purata = Jumlah jarakJumlah masa= 354 km5.33 j =66.42km\/j3 j 15 min = 3 j + 1560 j= 3 j + 0.25 j= 3.25 j5 j + 2060 j = 5 j + 0.33 j= 5.33 jKecerunan = = Laju = 10 m\/sPerubahan yPerubahan x20 m2 sGRAF JARAK-MASAKecerunan garisan graf jarak-masa Masa (s)Jarak (m)605040302010O123456Perubahan yPerubahan x= laju

p. 183

BAB 9175Bab 9 Laju dan PecutanCONTOH7CONTOH8HadLajuKebangsaandiJalanPersekutuanialah90km\/j.Nyatakanhadkelajuaninidalamunit(a)m\/s (b)km\/minPenyelesaian:(a)90km\/j=90 km1 j= 90 × 1 000 m1 × 3 600 s= 90 000 m3 600 s =25m\/s(b)90km\/j =90 km1 j= 90 km1 × 60 min= 90 km60 min =1.5km\/minTukarkan120m\/skepadakm\/min.Penyelesaian:120m\/s =120 m1 s= 120 ÷ 1 000 km1 ÷ 60 min= 0.12 km0.017 min=7.06km\/min1 km = 1 000 m1 m = 100 cm×1 000 ×100 km m cm ÷1 000 ÷1001 jam = 60 minit1 minit= 60 saat×60 ×60 jam minit saat ÷60 ÷60CONTOH9Karmila telah memenangi pingat emas dalam acara triatlon wanita. Beliau memulakan acara dengan berlari sejauh 10 kilometer, diikuti dengan acara renang sejauh 1 500 meter dan diakhiri dengan 40 kilometer acara berbasikal. Dengan masa selama 1 jam 56 minit untuk keseluruhanpertandinganitu,hitunglajupuratadalamkm\/jbagiseluruhacaraitu.Penyelesaian: Laju purata= Jumlah jarakJumlah masa= 10 km + 1 500 m + 40 km1 j 56 min= 10 km + 1.5 km + 40 km1.93 j= 51.5 km 1.93 j =26.68km\/j1 j + 56 min = 1 j + 5660 j= 1 j + 0.93 j= 1.93 jLuas di bawah graf laju - masa bersamaan dengan jarak.Laju(km\/j)O204060801001209:00 a.m.10:00 a.m.11:00 a.m.1 5001 000 m = 1.5 kmMasa

p. 184

BAB 9176Bab 9 Laju dan PecutanCONTOH10Siti mengikuti rombongan sekolah ke Kuala Lumpur. Bas sekolah yang dinaiki mereka bertolak dari sekolah (O) pada pukul 7:00 pagi. Dalam perjalanan, mereka berhenti di kawasan rehat Ulu Bernam (B) untuk menikmati sarapan pagi dan berehat. Selepas itu, mereka meneruskan perjalanan sehingga Kuala Lumpur (C). Graf menunjukkan pergerakan bas dari sekolah ke Kuala Lumpur.Hitunglajupurata,dalamkm\/j,perjalananitu.Penyelesaian: Laju purata= Jumlah jarakJumlah masa= 203 km5 j =40.6km\/jCONTOH11Khairul Idham Pawi telah mengharumkan nama negara dalam Kejuaraan Motosikal Dunia (MotoGP) di Grand Prix Jerman apabila menjuarai kategori Moto3. Beliau mengambil masa selama 47 minit 8 saat untuk menghabiskan perlumbaan yang berjarak 40.38 kilometer. Hitung laju(a) dalamkm\/j,motosikalyangditunggangolehKhairulIdhamPawi.(b)jikakelajuanpemenangtempatkeduaialah0.85km\/min,hitung beza masa antaranya dengan Khairul Idham Pawi.Penyelesaian:9.1.4 Penyelesaian masalahMenyelesaikan masalah yang melibatkan laju.Masa (j)Jarak (km)88203OBC235WakturehatMemahami masalah• Jarak perlumbaan = 40.38 km• Masa perlumbaan = 47 minit 8 saat• Hitung laju motosikal Khairul Idham Pawi dan beza masa antaranya dengan pemenang tempat kedua.Merancang strategi(a)Masa = JarakLaju(b)Beza masa = Masa pemenang tempat kedua – masa Khairul Idham Pawi

p. 185

BAB 9177Bab 9 Laju dan PecutanMemahami masalah• Puratalaju=103km\/j• Tempoh perjalanan pergi = 3 jam 7 minit• Tempoh perjalanan pulang = 34jam lebih lama daripada masa pergi• HitunglajupurataperjalananpulangEncikTan.CONTOH12EncikTanmemandukeretadenganpuratalaju103km\/jdariKualaLumpurkeSkudai.Perjalanan itumengambilmasa3jam7minit.EncikTanmengambilmasa34 jam lebih lama dalam perjalanan pulangdariSkudaikeKualaLumpur.Hitunglajupuratadalamkm\/jperjalananpulangEncikTan.Penyelesaian:(a) Laju motosikal Khairul Idham Pawi= JarakMasa== == =51.11km\/jPenukaran unit:saat kepada minitPenukaran unit:minit kepada jam40.38 km47.13 min40.38 km0.79 jamjam40.38 km47.136040.38 km 47 min + min860(b) Masa motosikal pemenang tempat kedua= JarakLaju= 40.38 km0.85km\/min= 47.5 min= 47 min 30 sMelaksanakan strategiMembuat kesimpulan(a) LajumotosikalKhairulIdhamPawiialah51.11km\/j.(b)Beza masa antara pemenang tempat kedua dengan Khairul Idham Pawi ialah 22 saat.Beza masa antara Khairul Idham Pawidengan pemenang tempat kedua0.5 x 60 = 30 saat tukar unit daripada minit kepada saat= 47 min 30 s – 47 min 8 s= 22 s

p. 186

BAB 9178Bab 9 Laju dan Pecutan2. Berdasarkan gambar rajah berikut, hitung jarak yang dilalui bagi setiap situasi yang diberikan.(a) (b)(c)(d)Laju=80km\/j,Masa=112 jamLaju=343km\/min,Masa=4.5minitLaju=3m\/min,Masa=5.5minitLaju=250km\/j,Masa=2jam40minit1. Padankan masa yang betul bagi jarak dan laju yang diberikan.4 saat3 jam 24 minit45 minitLaju =44.1km\/jJarak= 150 kmLaju =120km\/jJarak= 90 kmLaju =125m\/sJarak= 500 m9.1Membuat kesimpulanLajupurataperjalananpulangEncikTanialah83.04km\/jJarak dari Kuala Lumpur ke Skudai=103km\/j×7603 + j=103km\/j×3.12j= 321.36 kmTukar unit daripada minit kepada jam LajupuratasemasaEncikTanpulang= 321.36 km3 j + 7 + 4560 j= 321.36 km3 j + 0.87 j= 321.36 km3.87 j =83.04km\/jTukar unit daripadaminit kepada jamj = 45 minit34Merancang strategi• Jarak = Laju × Masa• Laju purata = Jumlah jarakJumlah masaMelaksanakan strategi

p. 187

BAB 9179Bab 9 Laju dan Pecutan9.2 Pecutan9.2.1 Pecutan dan nyahpecutanMenerangkan maksud pecutan dan nyahpecutan sebagai suatu kadar yang melibatkan laju dan masa.Pelari pecut akan bermula dari garisan permulaan dan berlepas dari blok permulaan sebaik sahaja bunyi tembakan pistol kedengaran. Laju larian semakin bertambah apabila mereka mula memecut ketika menuju ke garisan penamat. Peningkatan 3.Atlet paralimpik Malaysia, Mohamad Ridzuan Mohamad Puzi mencatat masa terpantas dalam acara 100 meter di Sukan Paralimpik 2016 di Rio de Janeiro, Brazil, iaitu 12.07 saat. Hitung laju,dalamm\/s,lariannya.4.Jarak dari Tanjung Malim ke Muar ialah 272 km. Sebuah bas bertolak dari Tanjung Malim padajam0830.Puratalajubasituialah80km\/j.Pukulberapakah,dalamsistem24jam,basitu tiba di Muar?5.Tukarkan unit laju di bawah dengan unit yang dinyatakan. (a)50km\/jkepadam\/min(b)0.8m\/skepadakm\/j(c)110km\/jkepadakm\/min6.Umar memandu teksinya dari Ipoh ke Kuala Lumpur melalui lebuh raya. Dia singgah di Tapah untuk mengambil barang sebelum meneruskan perjalanannya ke Kuala Lumpur. Dia memandu dariIpohkeTapahdenganpuratalaju100km\/jdenganjarak60km.DiberilajupuratateksinyadariIpohkeKualaLumpurialah110km\/jdenganjarak220km.HitunglajupuratateksiUmardari Tapah ke Kuala Lumpur.7. Larianseekorharimaubintangbolehmencecahkelajuan25.9m\/s,terutamaapabilamengejarmangsanya.Nyatakankelajuanitudalamunitkm\/j.Tujuan: Menerangkan maksud pecutan dan nyahpecutanBahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Buka fail MS179 yang telah disediakan.2.Lengkapkan jadual yang diberikan berpandukan gambar meter kereta yang dilampirkan.3.Nyatakan sama ada ia adalah pecutan atau nyahpecutan.Laju enjin kenderaan biasanya dinyatakan dalam putaran per minit (ppm).QR CODEImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms179 untuk mendapatkan lembaran kerja di sebelah.MasaBacaan laju awalBacaan laju akhir120 minit25 saat320 saat430 minit58 saatMasaLaju awalLaju akhir Pecutan =12345laju terhadap masa dinamakan pecutan. Selepas melepasi garisan penamat, kelajuan berkurang kerana pelari memperlahankan larian. Pengurangan laju terhadap masa dinamakan nyahpecutan.

p. 188

BAB 9180Bab 9 Laju dan PecutanPerubahan laju boleh dikenal pasti dengan menghitung perbezaan di antara laju akhir dan laju awal, sesuatu objek yang bergerak dalam gerakan linear mengikut arah tertentu. Daripada aktiviti di sebelah, peningkatan kelajuan terhadap masa ialah pecutan dan pengurangan kelajuan terhadap masa ialah nyahpecutan. Maka, pecutan dan nyahpecutan ialah kadar yang melibatkan laju dan masa.CONTOH13Sebuahkeretalumbamemecutdaripadakeadaanpegundanmencapaikelajuan120km\/jdalammasa 6 saat. Hitungkan pecutannya.Penyelesaian:Perubahanlaju =120km\/j0km\/j =120km\/j120 km1 j= 120 km60 × 60 s =0.033km\/s Pecutan= 0.033km\/s6 s =0.0056km\/spersaatataukm\/s2PERHATIANKeadaan pegun ialah keadaan objek yang tidak bergerak. Oleh itu, kelajuan objek ialah sifar.CONTOH14Sebuah motosikal bergerak daripada keadaan pegun dan memecut secaraseragamsehinggamencapaikelajuan20m\/sdalammasa 5 saat. Berapakah pecutan motosikal itu?Penyelesaian:Pecutan= (20–0)m\/s5s= 20m\/s5s =4m\/s2=120 km1 j120 km3 600 sMotosikalKawasan perumahan 60 x 1 minPecutan seragam bermaksud kelajuan berubah dengan jumlah yang sama pada setiap saat.Masa (s)Laju (m\/s)001428312416520Jika sesuatu objek bergerak dengan laju seragam, pecutan ialah sifar.

p. 189

BAB 9181Bab 9 Laju dan PecutanSelepas brek ditekan, kelajuan motosikal itu semakin perlahan dengan kadar seragam sehingga berhenti dalam masa 4 saat. Berapakah pecutan motosikal itu?Penyelesaian:Pecutan=(020)m\/s4s= –20m\/s4s= 5m\/s2Unit ukuran pecutan yang biasa digunakanUnit lajuUnit masaUnit pecutankm\/jjamkm\/j2 atau kmj-2ataukm\/jperjamm\/ssaatm\/s2 atau ms-2ataum\/spersaatApabila objek jatuh dari kedudukan tinggi, pecutannya bernilai 9.81 ms–2. Hal ini disebabkan oleh berlakunya tarikan graviti.9.2.2 Penukaran unitCONTOH15Tukarkan420m\/minperminkepadaunitkm\/minperminit.Penyelesaian:Maka,nyahpecutanmotosikalituialah5m\/s2.420m\/minmin= 420 mmin ÷ min = 420 × 1 mmin ÷ min= 420 × 11 000 kmmin ÷ min= 4201 000kmmin ÷ min= 0.42 kmmin × 1min =0.42km\/min2Melaksanakan pengiraan yang melibatkan pecutan termasuk penukaran unit.PERHATIANPecutan = –5 m\/s2atau Nyahpecutan = 5 m\/s2(Nyahpecutan ditulis tanpa tanda negatif)

p. 190

BAB 9182Bab 9 Laju dan PecutanCONTOH16Rani berbasikal selama 34 jam dari rumahnya ke Festival Kebudayaan yang diadakan di bandar denganperubahanlaju18km\/j.PerjalanankeFestivalKebudayaanmengambilmasakurang40% berbanding dengan masa balik dengan perubahan laju yang sama. Hitungkan beza pecutan antara pergi dengan balik.Penyelesaian:Pecutan semasa pergi= 3418km\/j j =24km\/j2Masa berkurang= 40100 × 34j= 0.3 jamMasa diambil semasa pulang= 0.75 j – 0.3 j = 0.45 jPecutan semasa pulang= 18km\/j0.45 j =40km\/j2 Bezapecutan =40km\/j224km\/j2 =16km\/j234 jamUnit km\/jam2 boleh ditulis sebagai kmj-2.CONTOH17Samymemandudengankelajuan70km\/j.Diamenambahkelajuankeretanyakepada100km\/jdalam masa 30 minit. Hitung pecutan dalam(a)km\/jperjam (b)km\/jpersaatPenyelesaian:(a) Perubahanlaju =100km\/j–70km\/j =30km\/jPecutan= 30km\/j30 min = 30km\/j12j =60km\/jperjam(b) Masa= 30 minit = 30 × 60 s = 1 800 sPecutan= 30km\/j1 800 s =0.0167km\/jpersaat30 minit = 12 jam30 x 1 min

p. 191

BAB 9183Bab 9 Laju dan Pecutan9.2.3 Penyelesaian masalahCONTOH18CONTOH19Lisnahmemecutkeretanya4km\/jpersaatsemasamemotongsebuahkereta.Jikadiamulamemandudengankelajuan100km\/j,hitungkelajuannyaselepas5saat.Penyelesaian:Sebuahmotosikalyangsedangbergerakpadakelajuan40km\/jmemperlahankankelajuannyasebanyak 20% daripada kelajuan awalnya, dalam masa 40 saat. Hitung pecutannya.Penyelesaian:Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecutan.Membuat kesimpulanLajuselepas5saatialah120km\/j.Memahami masalah• Pecutan=4km\/jpersaat• Mulamemandupada100km\/j• Masa = 5 saat• Hitung kelajuannya selepas 5 saatMerancang strategiPecutan ialah peningkatan kelajuan terhadap masa.Melaksanakan strategi4km\/js = Lajuselepas5saat–100km\/j5 s4km\/js×5s=Lajuselepas5saat–100km\/j20km\/j =Lajuselepas5saat–100km\/jLajuselepas5saat =20km\/j+100km\/j=120km\/jMembuat kesimpulanPecutanmotosikalialah–0.2km\/jpersaat,iaitumotosikalmengalamipengurangankelajuan.Memahami masalah• Mulabergerakpada40km\/j• Pengurangan kelajuan 20%, selepas 40 saat• Hitung pecutannyaMelaksanakan strategiLaju selepas 40 s= 80100×40km\/j=32km\/jPecutan = (3240)km\/j40 s =–0.2km\/jpersaatNyahpecutan=0.2km\/jpersaatPengurangan kelajuan:100% – 20% = 80%Merancang strategiPengurangan laju terhadap masa ialah nyahpecutan.

p. 192

BAB 9184Bab 9 Laju dan PecutanCONTOH20Gambar rajah di sebelah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan sebuah lori mainan dalam tempoh 27 saat. Nyahpecutanbagilorimainanituialah0.741m\/s2. (a)Hitung laju, v,dalamm\/saat.(b) Hitung jarak pergerakan lori mainan itu selepas 2.2 saat.Penyelesaian:vLaju(m\/s)Masa (saat)O271.Tuliskan betul atau salah pada pernyataan di bawah.SituasiPecutanBetul\/Salah(a)Lajusebijibolayangbergolekdiataslantaiberkurangdaripada12cm\/skepada2cm\/sdalammasa4saat.–2.5 cms-2(b)Sebuahtrelermemecutdaripada90.5km\/jkepada123km\/jdalam masa 34jam.– 43.3 kmj-2(c)Sebijikelapajatuhdariataspokokdengankelajuan7m\/sdalammasa0.71 saat.9.86 ms-2(d)PuanMagesmemperlahankankeretanyadaripada80km\/jkepada60km\/jdalammasa0.5jam.40km\/j29.22.Hitung pecutan bagi situasi di bawah. (a) Sebuahkeretamemecutdaripada60km\/jkepada110km\/jdalammasa30minit. (b) Lajusebuahbotberkurangdaripada70km\/jkepada40km\/jdalammasa5minit. Membuat kesimpulan(a) Lajupergerakanlorimainanialah20m\/s.(b) Jarak pergerakan lori mainan ialah 44 m.Memahami masalah• Pecutan=–0.741m\/s2• Tempoh = 27 saat• Hitung laju, v.• Hitung jarak selepas 2.2 saat.Merancang strategiJarak= Laju × MasaPerubahan laju = Pecutan × MasaMelaksanakan strategi (b) Jarak = Laju × Masa =20m\/s×2.2s= 44 m(a) –0.741m\/s2 = 0 – v27 s–0.741m\/s2 × 27 s = 0 – v v=20m\/s

p. 193

BAB 9185Bab 9 Laju dan Pecutan1. Kategorikan objek di dalam kotak di bawah sama ada mempunyai laju seragam atau laju tak seragam.2. Wafimenyertaipertandinganberkayakdi Sungai Lembing. Dia memulakan pertandingan dari stesen A seterusnya ke tiga stesen lain, iaitu di B, C dan berakhir di stesen D.Berdasarkan maklumat yang diberikan, hitung pecutan kayak dari(a)stesen A ke stesen B.(b)stesen B ke stesen C.(c)stesen C ke stesen D.3. Setiap pagi Shu Mei berbasikal ke sekolah dari rumahnya melalui sebuah pejabat pos. Jarak dari rumahnya ke pejabat pos ialah 4 km manakala jarak dari pejabat pos ke sekolahnya ialah5km.Jikapuratalajubasikalnyaialah18km\/j,hitung(a)masa dalam minit, keseluruhan perjalanan Shu Mei ke sekolah.(b)jika Shu Mei mula menunggang basikalnya pada pukul 6:40 pagi, pada pukul berapakah dia akan sampai ke sekolah? 4.Syahmi memandu kereta sejauh 354 km dari Kuala Lumpur ke Terengganu untuk pulang ke kampung halamannya. Jadual di bawah menunjukkan catatan perjalanannya.lifjamombakkipasanginbas mini5 min6 min4 min35km\/jC55km\/jBA40km\/j43km\/jDMENJANA KECEMERLANGAN3. Vinotmengayuhbasikalkerumahibusaudaranyadengankelajuan8m\/s.Dalammasa4saat,diameningkatkankelajuanbasikalkepada10m\/s.Hitungpecutannyaketikaitudalamms-2.4. Berdasarkansuatuujikaji,lajusebuahobjekberkurangdaripada145cm\/skepada75cm\/sdalam masa 8 saat. Hitung nyahpecutannya.O354150405Jarak (km)Masa (min)ABMasa21 Oktober 2017 \/ Sabtu7:00 a.m.Memulakan perjalanan9:30 a.m.Berhenti di kawasan Rehat dan Rawat (R&R) Temerloh untuk bersarapan setelah memandu 185 km10:05 a.m.Sambung perjalanan ke Terengganu1:45 p.m.Tiba di kampung

p. 194

BAB 9186Bab 9 Laju dan Pecutan(a) Nyatakan nilai A dan nilai B.(b) Lengkapkan graf itu untuk keseluruhan perjalanan Syahmi. (c)Hitunglajupurata,dalamkm\/j,bagikeseluruhanperjalananitu.5.Rajah di bawah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan dua biji guli dari arah yang bertentangan. Graf PQR mewakili pergerakan guli hijau dan graf PST mewakili pergerakan guli ungu. Kedua-dua guli itu melalui laluan yang sama. (a) Hitung pecutan guli hijau dalam masa 2.6 minit yang pertama.(b) Pada minit keberapakah guli ungu akan berhenti bergerak?(c) Berapakah laju maksimum guli hijau?(d) Nyatakan masa dalam saat kedua-dua guli itu berlanggar.6.Jarak di antara Tanjung Malim dengan Sungai Petani ialah x km. Sebuah kereta bergerak dari TanjungMalimkeSungaiPetanidenganlajupurata90km\/j.DalamperjalananpulangdariSungaiPetanikeTanjungMalimdenganlajupurata105km\/j,masayangdiambilnyaberkurangsebanyak 30 minit. Hitung nilai x.O0.5PQSRT12.635.2Laju(m\/min)Masa (min)INTI PATI BABLaju dan PecutanLaju = JarakMasaLajuPecutanLaju purata = Jumlah jarakJumlah masaSekiranya, pecutan dalam arah pergerakan yang tetap, pecutan itu adalah kadar perubahan laju terhadap masa.

p. 195

BAB 9187Bab 9 Laju dan PecutanPada akhir bab ini, saya dapat:Had laju adalah salah satu daripada peraturan jalan raya. Had laju maksimum ditentukan mengikut kawasan-kawasan tertentu. Pematuhan had laju ini sangat penting bagi menjamin keselamatan pengguna jalan raya.Anda dikehendaki membuat satu laporan tentang had laju di kawasan-kawasan berikut.(a) Sekolah(b)Hospital\/klinik(c) Lebuh raya(d) Kawasan berbukitLampirkan gambar papan tanda had laju di kawasan-kawasan yang berkaitan untuk menyokong laporan anda.1. Menerangkan maksud laju sebagai suatu kadar yang melibatkan jarak dan masa.2. Memerihalkan perbezaan antara laju seragam dengan laju tak seragam.3.Melaksanakan pengiraan yang melibatkan laju dan laju purata termasuk pertukaran unit.4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan laju.5. Menerangkan maksud pecutan dan nyahpecutan sebagai satu kadar yang melibatkan laju dan masa.6.Melaksanakan pengiraan yang melibatkan pecutan termasuk pertukaran unit.7.Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecutan.REFLEKSI DIRI

p. 196

BAB 10188Bab 10 Kecerunan Garis Lurus•Kecuraman•Garis lurus•Pintasan•Kecondongan•Nisbah•Jarak mencancang •Jarak mengufuk•Kecerunan •Steepness•Straight line•Intercept•Inclination•Ratio•Vertical distance•Horizontal distance•Gradient10.1KecerunanRANGKAI KATAKecerunan adalah darjah kecuraman. Kecerunan biasanya dihubungkan dengan ketinggian suatu gunung atau bukit. Gunung tertinggi di Malaysia adalah Gunung Kinabalu yang terletak di Sabah dengan ketinggian 4 095 meter dari aras laut. Kebanyakan pendaki gunung mengambil masa selama dua hari untuk sampai ke puncak. Terdapat perhentian untuk bermalam di Laban Rata, 3 273 meter dari aras laut. Dari Laban Rata, kecerunan gunung semakin bertambah.188ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 197

BAB 10189Bab 10 Kecerunan Garis LurusEdwinBidwellWilson(1879-1964)merupakanahli matematik yang mengaplikasikan konsep garis lurus kepada kecerunan. Beliau merupakan pakar analisis vektor yang pernah menerbitkan bukunya yang terkenal bertajuk ‘Vector Analysis’ pada tahun 1901. Kecerunan diaplikasikan dalam pengiraan vektor untuk menjelaskan perubahan arah.Untuk maklumat lanjut:MASLAHAT BAB INIPendekatan ilmu kecerunan ini akan membuka bidangkerjayadalammatematikdanahlifizik.Rumus yang digunakan dapat memberikan pengiraan yang tepat kepada permasalahan dalam reka bentuk produk.Selain itu, seorang jurutera binaan terutama yang terlibat dalam ukur tanah menggunakan pendekatan pengiraan kecerunan untuk menentukan kestabilan atau ketinggian sesebuah kawasan.189http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms189

p. 198

BAB 10190Bab 10 Kecerunan Garis LurusAKTIVITI KREATIFTujuan: Memahami konsep kecerunanBahan:Kad manila berukuran 20 cm × 9 cm, lima hingga enam biji pemadam dan sebiji guliLangkah:1.Bentuk kumpulan, 3 atau 4 orang dalam satu kumpulan.2.Lipat kad manila yang berukuran 9 cm seperti gambar rajah di sebelah.3.Susun 3 biji pemadam secara bertindih dan 1 biji pemadam lagi diletakkan di bawah hujung kiri dan kanan kad manila tersebut.4.Letak guli pada hujung kad manila yang paling tinggi dan biarkan guli tersebut bergerak di sepanjang laluan. 5.Tambah ketinggian kad manila dengan menambahkan 1 atau 2 biji lagi pemadam.6.Perhatikan pergerakan guli yang melalui kad manila tersebut.7.Anda bersama-sama rakan boleh meneroka keadaan pergerakan guli apabila ketinggian kedua-dua hujung kad manila berada pada aras ketinggian yang sekata.10.1 Kecerunan10.1.1 Kecuraman dan arah kecondonganRajah menunjukkan kawasan berbukit yang dilalui oleh Farid dan Afifsemasaberbasikal.KetikamerekamendakidilaluanC, mereka berasa sangat sukar untuk meneruskan kayuhan. Apabila mereka menuruni bukit di laluan E, keadaan basikal sangat laju. Mengapakah situasi ini berlaku?Perhatikan gambar di bawah. Kawasan manakah yang dikatakan curam? Mengapa?Memerihalkan kecuraman dan arah kecondongan berdasarkan situasi harian, dan seterusnyamenerangkan maksud kecerunan sebagai nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk.Tujuan: Mengenal pasti kecuraman dan arah kecondongan Bahan: Perisian geometri dinamik Langkah:1.Buka fail MS190 untuk menonton video animasi kecerunan.2.Gerakkan butang bulat j dan n ke kiri dan ke kanan.3.Perhatikan kedudukan nilai sudut dan nilai kecerunan yang dipaparkan.Aktiviti di atas menunjukkan pergerakan guli yang berlainan kelajuannya. Kelajuan guli bergantung pada ketinggian tapak peluncur guli. Apabila ketinggian peluncur itu ditambah dengan pemadam, guli tersebut semakin laju.Imbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms190 untuk menonton video animasi kecerunan.ABCDEFQR CODE

p. 199

BAB 10191Bab 10 Kecerunan Garis LurusKecerunan ialah nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufukCONTOH1Perhatikan rajah di sebelah. Bandingkan arah kecondongan dan kecuraman antara garisan MN dengan KL. Buat kesimpulan daripada kedua-dua rajah tersebut.Kecuraman suatu garis lurus dapat dilihat dari nilai kecerunan, semakin besar nilai mutlak kecerunan, semakin curam garis lurus tersebut. Tanda positif atau negatif pada nilai kecerunan menunjukkan arah kecondongan garis lurus.Rajah di sebelah menunjukkan kanak-kanak sedang menuruni papan gelongsor di taman permainan. Panjang garis lurus yang menyambungkan titik A dan titik B adalah setinggi 2 m. Panjang garis lurus yang menyambungkan titik C dan titik B ialah 3 m. CBialah jarak mengufuk dan AB ialah jarak mencancang.AACB3 m2 mDaripada setiap rajah di bawah, nyatakan jarak mencancang dan jarak mengufuk di antara titik P dengan titik R.(a)Penyelesaian:Jarak mencancang, PQ = 2 mJarak mengufuk, QR = 4 m(b)Penyelesaian:Jarak mencancang, RS = 4 unitJarak mengufuk, PS = 5 unitQP2 m4 mRCONTOH2Pemandu lori berat akan menekan pedal minyak ketika menaiki bukit yang curam. Ia juga akan memecut dari bawah sebelum pendakian.Mengapa?Penyelesaian:Garisan KL mempunyai kecondongan yang lebih tinggi berbanding dengan garisan MN. Semakin besar nilai sudut, semakin tinggi nilai kecerunan. Maka, garisan KL lebih curam berbanding dengan garisan MN.Perbincangan:(i)Adakah nilai sudut bagi D dan A mempengaruhi nilai kecerunan?(ii)Bina suatu perkaitan antara kecuraman garis dengan arah kecondongan.(iii)Adakah nilai kecerunan yang negatif menunjukkan kecuraman yang rendah?RPSRPS4 unit5 unitSLEskalatorK45˚NPTangga30˚M

p. 200

BAB 10192Bab 10 Kecerunan Garis LurusTujuan: Mengenal pasti garis lurus yang berada pada satah Cartes Bahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Buka fail MS192 untuk menonton video aktiviti. 2.Ubah nilai titik koordinat yang sepadan dalam jadual pada ruangan koordinat yang diberikan.Daripada rajah di bawah, tentukan kecerunan garis lurus bagi PQ dan BC. Perihalkan kecuraman garis PQ dan BC.(a)Penyelesaian:Jarak mencancang ialah 4 unit. Jarak mengufuk ialah 3 unit.Jarak mencancangJarak mengufuk=43Maka, kecerunan PQ ialah43.(b)Penyelesaian:Jarak mencancang ialah 2 unit.Jarak mengufuk ialah 3 unit.Jarak mencancangJarak mengufuk=23Maka, kecerunan BC ialah23.CONTOH310.1.2 Rumus kecerunan garis lurus pada satah CartesDalam sistem koordinat Cartesan, kecerunan garis lurus yang melalui dua titik A (x1, y1) dan B (x2, y2) dapat dikira menggunakan nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk.Menerbitkan rumus kecerunan suatu garis lurus pada satah Cartes.PQBCImbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms192 untuk menonton video animasi aktiviti.Garisan yang mempunyai kecerunan tinggi mempunyai sudut yang lebih besar.yx30˚60˚OKecerunan, m =Jarak mencancangJarak mengufukPerubahan y= Jarak mencancangPerubahan x= Jarak mengufukm mewakili kecerunan garis lurus.yxOQR CODE

p. 201

BAB 10193Bab 10 Kecerunan Garis LurusKoordinatNilai KecerunanKedudukan Garis ABLurus(3,1)(3, 9)(3, −3)(−2, 2)(−1, 5)(7, 5)(4, 4)(0, 0)(0, 6)(−2, 0)(0, 2)(3, 0)(x1, y1)(x2, y2)Kecerunan, m = y2− y1x2− x1Kecerunan, m = – pintasan-ypintasan-x3.Perhatikan perubahan yang berlaku pada setiap garis lurus tersebut.4.Nyatakan nilai kecerunan bagi kedua-dua titik. 5.Nyatakan juga kedudukan garis lurus tersebut sama ada melalui asalan atau tidak, selari dengan paksi-x atau selari dengan paksi-y.m =dan m=−y2 −y1x2 −x1pintasan-ypintasanxPerbincangan:(i)Kenal pasti garis lurus yang memotong paksi-x, dan paksi-y.(ii)Buktikan dengan menggunakan rumus:bahawa nilai kecerunan yang anda peroleh sama seperti yang dipaparkan.Titik persilangan antara garis lurus dengan paksi-x dinamakan pintasan-x, manakala titik persilangan antara garis lurus dengan paksi-y dinamakan pintasan-y.yxB (x2, y2)A (x1, y1)x1 x2y2y1Oyx(x, 0)(0, y)Pintasan-yPintasan-xO

p. 202

BAB 10194Bab 10 Kecerunan Garis LurusPenyelesaian:(b)P (4,−1) dan Q ( 3, 5)Kecerunan = y2−y1x2−x1= 5 − (−1)3−4= 6−1= – 6Penyelesaian:(a)A (3, 1) dan B (6, 7)Kecerunan= y2−y1x2−x1= 7−16−3= 63= 2Tentukan kecerunan bagi pasangan koordinat berikut.(a) A (3, 1) dan B (6, 7)(b) P (4,−1) dan Q (3, 5)CONTOH4Tentukan kecerunan bagi garis lurus berikut.(a)(b)Penyelesaian:Penyelesaian:Pintasan-y= 8Pintasan-y= 4Pintasan-x= –5Pintasan-x= 3Kecerunan= –8(–5)Kecerunan= – 43= 85Ox8−5yOx43yCONTOH5Tentukan kecerunan apabila diberi pasangan koordinat.(a) L (4, 0) dan M (0, 8)(b)G (−3,0)danK (0, 9)Penyelesaian: (a) Pintasan-y= 8(b)Pintasan-y= 9Pintasan-x= 4Pintasan-x =−3Kecerunan= – 84 = –2Kecerunan= –9(–3) = 3CONTOH6Koordinat pada pintasan-yialah (0, 3).Koordinat pada pintasan-xialah (– 4, 0).Ox3–4yxyO1123–3–2–123y =2x +3y =2x +1Satu garis lurus yang diwakili y = mx + c, mmerupakan kecerunan manakala c ialah pintasan-y. Nyatakan kecerunan dan pintasan-ygaris lurus di bawah dan hubungan antara dua garis lurus tersebut.x1y1x1 y1x2y2x2y2

p. 203

BAB 10195Bab 10 Kecerunan Garis LurusHitung kecerunan garis lurus AB dan PQ berdasarkan rajah di sebelah.Penyelesaian:Kecerunan, m =−pintasan-ypintasan-x(i)Kecerunan AB =−2 (–3)(ii) Kecerunan PQ =−33= 23 =−1Maka, kecerunan AB ialah 23.Maka, kecerunan PQialah−1.CONTOH710.1.3 Kecerunan garis lurusTujuan: Mengenal pasti bentuk kecondongan garis lurus Bahan: Kertas graf dan kad dengan titik koordinatLangkah:1.Murid A dikehendaki membina graf dengan skala 1 cm kepada 1 unit pada paksi-xdan paksi-y.2.Murid B akan memadankan nilai titik pada kad dengan memplotkan titik koordinat pada satah Cartes.3.Murid C akan melukis garis lurus dan menentukan kecerunan pada setiap pasangan titik koordinat yang diberikan.4.Murid D akan melengkapkan jadual di bawah. Rakan-rakan lain akan berbincang dan membuat semakan. Perbincangan:(i)Hubungan antara nilai kecerunan dengan arah kecondongan.(ii) Susun kecerunan garis lurus mengikut nilai kecerunan yang tinggi kepada nilai kecerunan yang rendah.R (−2,−2)S (−2,8)W (−4,1)V (−7,8)T (−4,3)U (6, 3)P (1, 1)Q (3, 5)Garis LurusKecerunanArah kecondongan kanan atau kiriNilai kecerunan positif atau negatifPQRSWVTUMembuat generalisasi tentang kecerunan garis lurus.PBAQxyO1123–3–2–123

p. 204

BAB 10196Bab 10 Kecerunan Garis LurusKenal pasti garis lurus yang mempunyai nilai kecerunan sama ada positif, negatif, sifar atau tidak tertakrif dalam rajah di bawah. Berikanjustifikasi.Penyelesaian:Kecerunan garis lurus EF ialah negatif kerana condong ke kiriKecerunan garis lurus GH ialah negatif kerana condong ke kiriKecerunan garis lurus IJ ialah positif kerana condong ke kananKecerunan garis lurus KL ialah negatif kerana condong ke kiriKecerunan garis lurus MN ialah positif kerana condong ke kananKecerunan garis lurus AB ialah sifar kerana garisnya mengufukKecerunan garis lurus PQ ialah tidak tertakrif kerana garisnya mencancangCONTOH8Semakin garis lurus AB menghampiri keadaan mencancang, semakin besar nilai kecerunan dan sebaliknya. Maka, semakin besar nilai mutlak kecerunan, semakin curam garis lurus.m = 4xym = 2xyAABBKoordinat-y bagi mana-mana titik dalam suatu garis lurus yang selari dengan paksi-x adalah sama. Oleh itu, kecerunannya ialah sifar. Koordinat-x bagi mana-mana dua titik dalam satu garis lurus yang selari dengan paksi-yadalah sama. Ini akan memberikan kecerunan yang tidak tertakrif. yxJKLABPNQMFEHGIHubungan kecerunan dan garis lurus.xyx1y1x2(x1 y1)(x2 y1)Kecerunan= 0Oxyx1y1y2(x1 y2)Kecerunan tidak tertakrif (∞)(x1 y1)OLihat graf di bawah. Pada tahun keberapakah kadar inflasi menunjukkan kecerunan negatif? Bincangkan.Kadar Inflasi (%) di Malaysia (2010-2014)20102011201220132014Sumber: World Bankhttps:\/\/www.imoney.my\/articles\/realiti-tentang-inflasi

p. 205

BAB 10197Bab 10 Kecerunan Garis LurusKenal pasti garis lurus dalam rajah di sebelah yang mempunyai nilai kecerunan terbesar dan terkecil serta nyatakan alasannya.Penyelesaian:Garis lurusMN merupakan garis lurus yang mempunyai kecerunan paling besar kerana menghampiri keadaan mencancang.Garis lurusOJ merupakan garis lurus yang mempunyai kecerunan paling kecil kerana menghampiri keadaan mengufuk.IKMNJLOyxHCONTOH910.1.4 Menentukan kecerunanTujuan: Mengenal pasti kecerunan Bahan: Tangga, tali, pita pengukurLangkah:1.Secara berkumpulan, tentukan kecerunan tangga yang terdapat di sekolah anda.2.Pilih mana-mana dua tangga yang sesuai.3.Pilih dua titik yang sesuai seperti gambar rajah.4.Gunakan tali untuk mendapatkan jarak mencancang dan mengufuk. Pastikan sudut pada persilangan tali itu ialah 90°.5.Ulang langkah 3 dan 4 untuk tangga kedua.Nisbah ‘jarak mencancang kepada jarak mengufuk’ digunakan untuk menentukan kecerunan suatu garis lurus. Semakin besar nilai kecerunan, semakin curam garis lurus tersebut.Menentukan kecerunan suatu garis lurus.KOD QRImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms197 untuk melihat aktiviti pembuktian kecerunan.Perbincangan:(i)Nyatakan jarak mencancang dan jarak mengufuk tangga itu.(ii)Hitung kecerunan kedua-dua tangga itu.(iii)Apakah hubungan antara nilai kecerunan dengan nisbah ‘jarak mencancang kepada jarak mengufuk’ bagi kedua-dua tangga itu?(iv)Nisbah ‘jarak mengufuk kepada jarak mencancang’ tidak digunakan untuk menentukan kecerunan. Bincangkan.

p. 206

BAB 10198Bab 10 Kecerunan Garis LurusCONTOH10Setiap hari Jamali akan mengambil air di sungai yang berdekatan dengan rumahnya dan ke hutan untuk mencari cendawan busut. Hitung kecerunan yang dilalui olehnya dari(a) rumah ke hutan.(b) tepi sungai ke rumahnya.tepi sungairumah Jamali40 m10 m20 mhutan50 mPenyelesaian:(a)Kecerunan = Jarak mencancangJarak mengufuk= 3010 = 3Maka, kecerunan dari rumah Jamali ke hutan ialah 3.RumahHutan50 - 20 m10 m(b)Kecerunan = Jarak mencancangJarak mengufuk= 2040 = 12Maka, kecerunan dari tepi sungai ke rumah ialah 12.Penyelesaian:(a) Tentukan pintasan-x dalam suatu garis lurus yang melalui titik P (0,−4)dengankecerunan−2.(b) Tentukan koordinat bagi pintasan pada paksi-y yang melalui titik Q (6, 0) dan kecerunan 13.10.1.5 Penyelesaian masalahCONTOH11Menyelesaikan masalah yang melibatkan kecerunan garis lurus.Merancang strategiMelaksanakan strategiMembuat kesimpulanMemahami masalahTentukan pintasan-x.Menggunakan rumus:pintasan-x = –(pintasan-y)mMasukkan nilai dan hitung,pintasan-x= –– 4–2= –2Maka pintasan-xialah –2 dengan koordinat (–2, 0).yxOP (0,−4)m=−2pintasan-x(a)Tepi sungai20 m40 mRumahpintasan-y = – 421

p. 207

BAB 10199Bab 10 Kecerunan Garis LurusHitung nilai v dalam rajah di sebelah.Penyelesaian:yxOvm = 4−8CONTOH12Diberi A (–9, 2), B (–7, 2), C (– 4, 3), D (– 6, –1) ialah bucu sebuah sisi empat. Tentukan jenis sisi empat tersebut.Penyelesaian:CONTOH13Merancang strategiMelaksanakan strategiMembuat kesimpulanMemahami masalahTentukan kedudukan pintasan-y.Menggunakan rumus:Pintasan-y = – m × (pintasan-x)Pintasan-x = 6Masukkan nilai dan hitung,pintasan-y= –13× 6= –2Pintasan-y = –2 Maka koordinat bagi pintasan-yialah (0, –2).yxOQ (6, 0)m = 13pintasan-y12(b)Merancang strategiMelaksanakan strategiMembuat kesimpulanMemahami masalahMenggunakan rumus:Pintasan-x = –(pintasan-y)mPintasan-x= −84��= 2 Tentukan kedudukan v.Maka, v ialah 2.v = pintasan-xMemahami masalahMenentukan jenis sisi empat. Merancang strategi• Menentukan kecerunan garis lurus AD, BC, AB dan DC dengan menggunakan rumus m = y2−y1x2−x1.• Melukis sisi empat.

p. 208

BAB 10200Bab 10 Kecerunan Garis Lurus2.Tentukan jarak mencancang dan jarak mengufuk bagi garis lurus AB, CD dan PQ pada satah Cartes berikut.3.Hitung jarak mencancang dan jarak mengufuk, dalam meter, di antara hujung tangga P dengan hujung tangga Q dalam rajah di sebelah jika lebar setiap anak tangga 12 cm.QP1.Tentukan jarak mencancang dan jarak mengufuk bagi titik P dan titik Q yang berikut.(a)(b)(c)6 mQP4 mPQ12 m3 mPQ2 m16 m10.1Oy(b)xBDCQPA(a)(c)Melaksanakan strategi• Melukis graf.Membuat kesimpulan• m1 = m2, maka garis lurus AD selari dengan garis lurus BC.• m3 = m4, maka garis lurus AB selari dengan garis lurus DC.•Dengan itu segi empat ABCD ialah segi empat selari.A (–9, –2)D (– 6, –1)B (–7, 2)C (– 4, 3)xyO11–1–2–3– 423–10–9–8–7– 6–5– 4–3–2–1Kecerunan garis ADm1= y2−y1x2−x1= –1 – (–2)– 6 – (– 9)= 13Kecerunan garis BCm2= y2−y1x2−x1= 3 – 2– 4 – (– 7)= 13Kecerunan garis DCm3= y2−y1x2−x1= 3 – (–1)– 4 – (– 6)= 2Kecerunan garis ABm4= y2−y1x2−x1= 2 – (–2)– 7 – (– 9)= 2

p. 209

BAB 10201Bab 10 Kecerunan Garis Lurus(a)(3,0)dan(−2,6)(b) (1, 1) dan (6, 5)(c) (3, 1) dan (1, 5)(d) (0, 0) dan (4, 4)(e)(1,−2)dan(2,4)(f)(3,6)dan(6,−3)4.Nyatakan jarak mencancang dan jarak mengufuk bagi pasangan titik yang diberikan. 5.Nyatakan nilai pintasan-x dan nilai pintasan-y bagi garis lurus AB.(a) (b) (c) (d)6.Kenal pasti garis lurus yang mempunyai kecerunan terbesar dalam setiap rajah di bawah.(a) (b)yxCADFEBOxyFDABECO7.Berdasarkan rajah berikut, nyatakan kecerunan sama ada positif atau negatif.(a)LM(b) MN(c) NO(d) OQ8.Hitung kecerunan garis lurus dalam setiap rajah yang berikut.(a) (b) (c) 2 unit7 unit12 cm3 cm100 cm50 cmMxLNO2246846810yQOAyBx84O−73xy−6BAOA−5xyB3Oyx−1BA–2O

p. 210

BAB 10202Bab 10 Kecerunan Garis Lurus1Tentukan koordinat dan lukis garis lurus pada satah Cartes daripada pasangan titik yang diberikan. Tentukan sama ada kecerunan garis lurus tersebut merupakan nilai positif atau nilai negatif.2.Tentukan kecerunan bagi titik PQ dalam rajah di sebelah.3.Hitung kecerunan semua garis lurus dalam rajah di bawah. Bandingkan dan tentukan garisan yang mana antara berikut mempunyai kecerunan paling curam.(a)(−1,0)dan(−2,5)(b) (0, 1) dan (3, 5)(c)(1,−3)dan(2,4)(d)(7,−2)dan(2,2)(e) (0, 1) dan (5, 3)(f) (0, 3) dan (5, 0)(g) (0, 0) dan (6, 5)MENJANA KECEMERLANGANOx–2–112321–1–2–33454567yO9.Hitung kecerunan suatu garis lurus yang melalui setiap pasangan titik berikut.(a) (b) (c) (d)10.Hitung kecerunan garis lurus yang melalui setiap pasangan titik yang berikut. (a) A (4, 5) dan B (3, 2)(b) E (−1,−2)danF (0, 7) (c) C (6, 6) dan D (3,1)(d) G (2, 4) dan H (6, 1)11.Hitung kecerunan garis lurus yang melalui setiap pintasan berikut. (a) Pintasan-x = 4, pintasan-y = 1(b) Pintasan-x = 9, pintasan-y = 10 (c) Pintasan-x=−3,pintasan-y = 8(d) Pintasan-x=−5,pintasan-y=−5(e)x2246846810yO(b)(c)(d)(a)C(−6,5)OD(7,−4)OA (3, 6)OB (8, 4)OyxRQ (2, 8)P(−5,−3)

p. 211

BAB 10203Bab 10 Kecerunan Garis Lurus4.Lengkapkan tempat kosong bagi jadual pintasan-x, pintasan-y dan kecerunan.Pintasan-xPintasan-yKecerunan(a) 4 2(b)−24 2(c)−4−3(d)−14 4(e)−12(f) 5 15.Diberi kecerunan garis lurus yang melalui M (1, k) dan N(−2,3)ialah−2,hitungnilaik.6.Kecerunan suatu garis lurus PQialah−1dengantitikP(2,−1)danjarakmengufuktitikQ ialah 3 unit ke kiri dari paksi-y. Nyatakan koordinat Q.7.Jika kecerunan suatu garisan ialah 2 dengan pintasan-yialah−18.Tentukanpintasan-x bagi garis lurus tersebut. 8. Hitung kecerunan garis lurus MN, jika jarak mengufuk titik P dari paksi-y ialah 6 unit.9.Jika titik A dan titik B terletak pada garis lurus yang sama dengan kecerunan 43 dan koordinat A ialah (0, 8). Tentukan koordinat B jika B ialah pintasan-x.10.Rajah di atas merupakan bumbung sebuah rumah teres. Jika ketinggian bumbung ialah 5 m, hitung(a)kecerunan bumbung.(b)ukuran panjang permukaan sendeng bumbung.xy8PMNO21 m15 m

p. 212

BAB 10204Bab 10 Kecerunan Garis LurusINTI PATI BABGaris LurusKecerunan, mjarak mencancangjarak mengufukm =y2–y1x2–x1m =pintasan-ypintasan-xm=−xyOpintasan-ypintasan-xO24682468xy(x2, y2)(x1, y1)11.Gambar rajah di sebelah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan sebuah motosikal dalam masa 60 saat.(a)Nyatakan laju motosikal dalam keadaan seragam.(b)Hitung nilai v jika motosikal tersebut memecutpada0.88m\/s2 dengan t = 15.12.Luas permukaan keratan rentas bagi dinding batu berbentuk segi tiga bersudut tegak ialah 12 m2 dan ketinggian 6 meter. Hitung luas dan kecerunan permukaan condong bagi dinding batu tersebut.2 mjarak mengufukjarakmencancangPQLaju (ms–1)60CB20vO1540Masa, t (saat)

p. 213

BAB 10205Bab 10 Kecerunan Garis LurusMurid dikehendaki mencari maklumat gunung di Malaysia. Maklumat tersebut tentang(i) ketinggian dari aras laut.(ii)jarak mengufuk.Anda boleh mengira kecerunan setiap gunung dan menyusun nilai kecerunan daripada nilai yang paling tinggi kepada nilai yang paling rendah. Bandingkan maklumat anda bersamasama dengan rakan yang lain. Anda juga boleh mencuba projek ini dengan gunung-gunung yang terdapat di Asia Tenggara.Gunung Tahan, PahangGunung Korbu, PerakGunung Mulu, SarawakPada akhir bab ini, saya dapat:1. Memerihalkan kecuraman dan arah kecondongan berdasarkan situasi harian, dan seterusnya menerangkan maksud kecerunan sebagai nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk.2. Menerbitkan rumus kecerunan suatu garis lurus pada satah Cartes.3.Membuat generalisasi tentang kecerunan garis lurus.4. Menentukan kecerunan suatu garis lurus.5. Menyelesaikan masalah yang melibatkan kecerunan garis lurus.REFLEKSI DIRI

p. 214

BAB 11206Bab 11 Transformasi Isometri•Objek•Imej•Ikut arah jam•Lawan arah jam•Isometri•Kekongruenan •Orientasi•Paksi•Pusat putaran •Pantulan•Penjelmaan •Translasi •Simetri •Vektor•Putaran•Simetri putaran•Peringkat simetri putaran•Object•Image•Clockwise•Anticlockwise•Isometry•Congruency•Orientation•Axis•Centre of rotation•Reflection•Transformation•Translation•Symmetry•Vector•Rotation•Rotational symmetry•Order of rotational symmetry11.1Transformasi11.2Translasi11.3Pantulan11.4Putaran11.5Translasi, Pantulan dan Putaran Sebagai Isometri11.6Simetri PutaranRANGKAI KATA206Masjid Tuanku Mizan Zainal Abidin dibina pada 5 April 2004. Masjid ini berdekatan dengan tepian tasik Putrajaya yang indah dan jernih airnya. Keadaan gambar di bawah menunjukkan suatu transformasi berlaku di tasik tersebut. Bagaimanakah fenomena ini berlaku?ANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 215

BAB 11207Bab 11 Transformasi IsometriAhli matematik Felix Klein (1849-1925) berpendapat bahawa isometri adalah keseimbangan yang dihasilkan oleh pergerakan sesuatu bentuk yang sama atau pergerakan oleh sesuatu kumpulan bentuk yang sama. Isometri dalam sesuatu corak adalah pergerakan dengan rupa bentuk yang sama. Terdapat empat jenis isometri iaitu translasi, putaran, pantulan dan putaran geluncur.Untuk maklumat lanjut:MASLAHAT BAB INIIlmu dalam bidang transformasi ini dapat diaplikasikan, antaranya dalam industri pembuatan dan rekaan fesyen. Reka bentuk kenderaan seperti motosikal, kereta dan kapal terbang memerlukan rekaan objek yang simetri. Pereka fesyen pula akan menghasilkan corak-corak yang berlainan dalam setiap rekaan mereka.207http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms207

p. 216

BAB 11208Bab 11 Transformasi IsometriAKTIVITI KREATIFTujuan: Mengenal pasti ciri-ciri transformasiBahan: Petikan ceritaSetiap hari sebelum ke sekolah, Akmal akan menyikat rambutnya di hadapan cermin dan memastikannya dalam keadaan kemas. Sambil menikmati sarapan pagi, dia akan duduk di bawah kipas siling yang berpusing untuk mengelakkannya berpeluh semasa sarapan. Selesai bersarapan, Akmal berjalan dari rumahnya ke perhentian bas untuk ke sekolah.Langkah:1. Secara berkumpulan, bincangkan situasi:(i)Akmal di hadapan cermin.(ii)Kipas siling yang berpusing.(iii)Akmal berjalan dari rumahnya ke perhentian bas.2. Adakah situasi tersebut mengubah rupa bentuk Akmal dan bilah kipas? Daripada situasi tersebut, apakah yang anda fahami tentang pengertian transformasi dalam kehidupan harian Akmal?11.1 Transformasi11.1.1 Transformasi dalam bentuk, saiz, kedudukan dan orientasi suatu objekTransformasi melibatkan pemindahan titik pada suatu satah. Tujuan: Mengenal pasti transformasi melalui kedudukan saiz dan rupa bentukBahan: Kad manila, cat air dan lampu suluhLangkah:1.Celupkan kedua-dua belah tapak tangan anda ke dalam cat air. Kemudian, tekapkannya pada kad manila dalam keadaan sebelahmenyebelah seperti Rajah A. 2.Dalam keadaan tangan kiri berwarna, tekapkan tangan kiri sebanyak dua kali dalam keadaan sebelah-menyebelah dan ke bawah sedikit seperti Rajah B.Transformasi merupakan proses mengubah kedudukan, orientasi atau saiz imej suatu objek melalui translasi, pantulan dan putaran. Imej yang dihasilkan oleh transformasi isometri adalah kongruen.Memerihalkan perubahan bentuk, saiz, kedudukan dan orientasi suatu objek yang melalui transformasi, dan seterusnya menerangkan idea padanan satudengan-satu antara titiktitik dalam transformasi.Rajah ARajah B

p. 217

BAB 11209Bab 11 Transformasi IsometriSebelum transformasi berlaku, bentuk rajah asal dinamakan objek. Selepas transformasi, bentuk itu dinamakan imej. Transformasi merupakan padanan suatu titik pada suatu satah. Apabila objek bergerak dalam suatu transformasi, setiap titik objek itu mengikut corak pergerakan yang sama.Transformasi merupakan suatu pergerakan dengan orientasi dan padanan yang tertentu tanpa mengubah rupa bentuk.Rajah di sebelah merupakan pergerakan objek ABCD ke imej A'B'C'D'dengan pergerakan tiga unit ke kanan dan tiga unit ke atas.3.Ulangi langkah 2 dengan tekapan kedua dalam keadaan berpusing seperti Rajah C.4.Pancarkan lampu suluh ke tapak tangan dan perhatikan bayangan yang terhasil di papan tulis. Gerakkan lampu suluh ke hadapan dan ke belakang untuk melihat saiz bayangan tangan.Perbincangan:Berdasarkan aktiviti di atas, apakah kesimpulan daripada orientasi pergerakan yang sesuai mengikut pemahaman anda, jika(i)kedudukan tangan sebelah-menyebelah.(ii)bentuk tangan serupa tetapi kedudukan satu ke atas dan satu lagi ke bawah.(iii)kedudukan bentuk tangan yang melambai.(iv)saiz bayangan tangan. Antara berikut, yang manakah menunjukkan transformasi dan mengapa?(a)(b) Penyelesaian:(a) Transformasi kerana tidak mengubah rupa bentuk.(b) Transfromasi kerana hanya berubah kedudukan dan tidak berubah bentuk.(c) Bukan transformasi kerana berubah rupa bentuk.(d) Bukan transformasi kerana berubah rupa bentuk.NMCONTOH1ABPQLKA'B'DCD'C'BAAdakah bayang-bayang merupakan imej?Rajah C(c)(d)

p. 218

BAB 11210Bab 11 Transformasi IsometriRajah di sebelah menunjukkan ABCDEF ialah objek, manakala PQRSTUialah imej. Nyatakan imej bagi(a) titik C(b) garisan AB(c) ∠BCDPenyelesaian:(a) Imej bagi titik C ialah T kerana bentuk yang sama, tetapi kedudukan yang berlainan.(b) Imej bagi garisan AB ialah RS kerana imej itu mempunyai ukuran yang sama panjang.(c) Imej bagi ∠BCD ialah ∠STU kerana∠BCD mempunyai saiz yang sama dengan ∠STU.CONTOH2ABPQCDESRUTF11.1.2 KekongruenanTujuan: Mengenal pasti kekongruenanBahan:Kertas berwarna biru dan berwarna merah, pembaris, protraktor dan guntingLangkah:1. Dalam kumpulan kecil 4 hingga 5 orang, murid dikehendaki membentuk dua segi tiga.2.Murid A dan B akan membentuk segi tiga menggunakan kertas berwarna biru berukuran sisi 5 cm, 8 cm dan 11 cm.3.Murid C dan D akan membentuk segi tiga menggunakan kertas berwarna merah dengan ukuran yang sama.4.Murid E akan mencantumkan kedua-dua segi tiga untuk menghasilkan cantuman yang serupa.5.Murid akan mengukur sudut pada setiap bucu segi tiga masingmasing menggunakan protraktor.Perbincangan:(i)Berikan sifat yang diperoleh daripada kedua-dua bentuk segi tiga tersebut.(ii)Jika kongruen merupakan kesamaan bentuk dan saiz, adakah segi tiga tersebut memenuhi pengertian kongruen?Dua objek adalah kongruen jika kedua-duanya mempunyai bentuk dan saiz yang sama, tanpa mengambil kira orientasi pergerakannya.Menerangkan idea kekongruenan dalam transformasi.Perhatikan objek di atas. Adakah kedua-dua objek tersebut kongruen? Jika berat kedua-dua objek tersebut adalah sama, adakah jumlah bagi syiling yang tersimpan di dalam tabung tersebut mempunyai nilai yang sama? Adakah itu yang dikatakan kongruen?Imbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms210untuk melihat video kekongruenan.

p. 219

BAB 11211Bab 11 Transformasi IsometriAlat biasa yang digunakan untuk menentukan kekongruenan ialah pembaris, protraktor, jangka lukis dan kertas surih. Anda boleh menggunakan alatan ini untuk meneroka sifat kekongruenan.Perhatikan duit syiling 20 sen dan 10 sen. Dapatkah anda membezakannya dari segi rupa bentuk duit syiling itu? Jika semua duit syiling berbentuk bulat maka duit itu adalah serupa. Adakah anda setuju dengan pernyataan ini? Semua duit syiling 10 sen adalah kongruen manakala duit syiling 20 sen dan 10 sen adalah serupa tetapi bukan kongruen.Antara dua pasangan rajah di bawah, yang manakah kongruen? Nyatakan sebabnya.(a) (b)Penyelesaian:(a) Tidak kongruen kerana saiz yang tidak sama.(b) Kongruen kerana saiz sama walaupun kedudukan dan orientasi tidak sama.CONTOH31.Antara rajah berikut, yang manakah menunjukkan bukan suatu transformasi?(a)(b)(c)(d)2.K' ialah imej kepada K di bawah suatu transformasi. Kenal pasti(a) bucu imej N(b) imej panjang BH(c) imej ∠SDB3.Kenal pasti pasangan yang kongruen dan nyatakan sebabnya.(a)(b)(c)(d)BDSKK'HUVQRTN11.1Segi tigaSisiSisiSudutSudutPQRQP∠PQRCBAAB∠CAB4.Gambar rajah di bawah merupakan dua segi tiga yang kongruen. Lengkapkan jadual di bawah dengan padanan garis dan sudut yang serupa.QRCPABOrientasi ialah hala sesuatu. Contohnya, arah jam, lawan arah jam, sebelah kiri dan sebelah kanan.Kongruen ialah perihal sama bentuk dan sama saiz.

p. 220

BAB 11212Bab 11 Transformasi IsometriDi bawah suatu translasi, objek dan imej mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama.11.2 Translasi11.2.1 TranslasiMengenal translasi.Tujuan: Mengenal pasti ciri-ciri translasiBahan: Perisian geometri dinamikLangkah: 1.Buka fail MS212 yang telah disediakan.2.Anda boleh meneroka sebarang koordinat bagi A, B dan C. 3.Perhatikan imej berwarna biru yang terhasil setelah titik itu diubah.4.Pergerakan imej bergantung pada ketetapan anak panah E yang diberikan. Anda juga boleh menggerakkan penggelongsor biru untuk melihat pergerakan imej.Perbincangan:(i)Apakah kesimpulan yang boleh dibuat daripada aktiviti penerokaan di atas?(ii)Bagaimanakah sifat imej berubah apabila nilai koordinat pada titik objek berubah?Kenalpastirajahyangmenunjukkantranslasi.Berikanjustifikasi.(a)(b)Penyelesaian:(a) Translasi kerana bentuk, saiz dan orientasi sama.(b) Bukan translasi kerana orientasi tidak sama.CONTOH4Translasi merupakan pemindahan semua titik pada suatu satah mengikut arah yang sama dan melalui jarak yang sama.Imbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms212 untuk melihat video animasi translasi.

p. 221

BAB 11213Bab 11 Transformasi IsometriTujuan: Meneroka translasi daripada vektor translasiBahan:Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS213 untuk menonton video demonstrasi translasi vektor. Ikuti cara-cara menentukan imej daripada vektor yang diberikan.2.Diberi Vektor 1 dan Vektor 2. Tentukan imej koordinat bagi A, B, C, D dan E.3.Anda boleh memilih mana-mana vektor untuk menentukan imej bagi titik-titik tersebut.4.Lengkapkan jadual di bawah.Perbincangan:(i)Adakah arah pergerakan objek sama dengan arah pergerakan anak panah?(ii) Bagaimanakah penulisan pergerakan unit bagi vektor translasi dapat dibuat?11.2.2Perwakilan translasi dalam bentuk vektor translasiMemerihalkan translasi menggunakan pelbagai perwakilan termasuk dalam bentuk vektor translasi.Vektor translasi merupakan pergerakan yang mempunyai arah dan magnitud. Vektor ini juga diwakili dengan anak panah. Penentuan translasi berdasarkan nilai dan arah suatu vektor.Koordinat (x, y). Nilai x ditulis dahulu diikuti nilai yOP dikenali sebagai suatu vektor.yxPOPergerakan atas\/bawahPergerakan kanan\/kiriImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms213 untuk melihat video demonstrasi translasi vektor.→Koordinat ObjekJumlah Unit Pergerakan Kanan\/KiriaJumlah Unit Pergerakan Atas\/BawahbBentuk VektorKoordinat ImejA ( )A' ( )B ( )B' ( )C ( )C' ( )D ( )D' ( )E ( )E' ( )ab��

p. 222

BAB 11214Bab 11 Transformasi IsometriCONTOH5Tentukan kedudukan titik P dalam rajah yang diberikan bagi huraian translasi dan lukis vektor translasi tersebut.(a) Titik P bergerak 2 unit ke kiri dan 3 unit ke bawah.(b) Titik P bergerak 5 unit ke kanan dan 5 unit ke bawah.(c) Titik P bergerak 6 unit ke bawah.(d) Titik P bergerak 3 unit ke kanan.Penyelesaian:(a)(b)(c)(d)PPP' PP' PP' PP' Tentukan vektor translasi OP berdasarkan rajah di bawah.(a)(b)(c)Penyelesaian:(a) 33(b) –33(c) 3–3CONTOH6Translasi boleh dihuraikan dengan menyatakan arah dan jarak pergerakan serta vektor, iaitu:(a)Arah pergerakan : ke kanan, ke kiri, ke atas, ke bawah. Jarak pergerakan : bilangan unit.(b) Vektor translasi : abbaPObaPOabPOBentuk vektor translasi ditulis sebagai ab. a mewakili pergerakan yang selari dengan paksi-x.a bernilai positif jika objek bergerak ke kanan dan bernilai negatif jika objek bergerak ke kiri. bmewakili pergerakan yang selari dengan paksi-y.bbernilai positif jika objek bergerak ke atas dan bernilai negatif jika objek bergerak ke bawah. Oleh itu, translasi bagi imej yang dihasilkan oleh objek pada rajah di bawah ialah 3–2. ObjekImej+3–2

p. 223

BAB 11215Bab 11 Transformasi IsometriTentukan translasi bagi rajah berikut.(a)(b)(c)Penyelesaian:(a)(b)(c)CONTOH7Q'QPP'RR'Tujuan: Mengenal pasti imej suatu objek dalam suatu translasiBahan: Lembaran kerjaLangkah: 1.Perhatikan rajah di sebelah, kenal pasti imej bagi objek Lbagi translasi yang diberikan.2.Lengkapkan jadual berikut.Perbincangan:(i)Bandingkan ukuran panjang sisi dan nilai sudut bagi objek serta imej.(ii)Kesimpulan tentang ciri-ciri translasi.11.2.3 Imej dan objek dalam suatu translasiLACBDExyO154321−1234−1−2−4−3−25–34−4−3PP'–43RR'0−3Menentukan imej dan objek bagi suatu translasi.TranslasiImej322–3–2–52−16–1Imej bagi suatu objek dalam suatu translasi akan sentiasa sama dari segi bentuk, saiz dan orientasi.Lukis imej bagi objek A dalam rajah dengan translasi berikut.(a) −2– 4(b)3–1CONTOH8A−3Q'Q4–3

p. 224

BAB 11216Bab 11 Transformasi IsometriMaka, imej titik Q (3, 1) ialah (−2,3).31−52−23+=Menentukan koordinat imej apabila koordinat objek diberikanUntuk menentukan imej di bawah translasiab��,koordinat objek P(x, y) akan dipetakan P'(x + a, y + b) = P'(x' y' )CONTOH9Tentukan koordinat bagi imej titik Q (3, 1) di bawah translasi −52 .Penyelesaian:Kaedah 1: Melukis satah Cartes Kaedah 2: Mengira i. Q (3, 1) Q'(3+(−5), 1 + 2)=(−2,3)ii. Menentukan koordinat objek apabila koordinat imej diberikanUntuk menentukan objek di bawah translasiab��,koordinat objek R'(x', y' ) akan dipetakan R(x' – a, y' – b) = R, (xy)Q'QyxO−22−4−2244CONTOH10Tentukan koordinat bagi objek titik A jika koordinat imejnya, A' di bawah translasi 3−2 adalah seperti yang berikut.(a)(−6,1) (b) (9, 0)Penyelesaian:(a) Koordinat A =−6–3,1−(−2) Koordinat A =[9−3,0−(−2)] =(−9,3) =(6,2)A'AAA'Kaedah alternatifBerlaku pertukaran bentuk vektor kepada pasangan tertib.ababxyxya + xb + ya xb y+−==xy(x, y)Penyelesaian: (a)(b)Kaedah alternatifxyxy3–23–2–61–61–93+===–3–2xyxy32909062+===–(a)(b)+b+aP '(x + a, y + b)P(x, y)R(x' – a, y' – b)–baR '(x', y' )

p. 225

BAB 11217Bab 11 Transformasi Isometri11.2.4 Penyelesaian masalahPenyelesaian:Vektor translasi = x' −xy' −y= 3−26−9= 1−3Diberi objek (x, y) dan imej (x', y'). Vektor translasi ialah x' − xy'− yMenyelesaikan masalah yang melibatkan translasi.Menentukan vektor translasi jika diberi kedudukan imej dan objekCONTOH11Diberi P' (3, 6) ialah imej kepada P (2, 9). Tentukan translasi tersebut.CONTOH12Agnes menggerakkan buah damnya dari A ke B dan kemudian ke C. Nyatakan pergerakannya dalam bentuk vektor translasi buah dam bertanda(a)A ke B.(b)B ke C.Penyelesaian:ACBAnda boleh cuba melontar peluru dengan dua gaya yang berlainan. Adakah gaya mempengaruhi arah lontaran? Bincangkan perkaitannya dengan konsep translasi.Pergerakan translasi sentiasa bermula dengan ke kiri atau ke kanan, kemudian baru ke atas atau ke bawah.Merancang strategiMembuat kesimpulanMelaksanakan strategiMemahami masalahMenggunakan ab(a)– 4–2(b)3–2(a)Maka, vektor translasi A ke B ialah – 4–2.(b)Maka, vektor translasi B ke C ialah 3–2.Pergerakan translasi ke kiri atau ke kanan, ke atas atau ke bawah.(a)4 unit ke kiri, 2 unit ke bawah.(b)3 unit ke kanan, 2 unit ke bawah.ObjekTranslasiImejA (–3, 4)2–3B (7, 9)– 4– 5–32P'(–5, 2)05Q'(4, 1)

p. 226

BAB 11218Bab 11 Transformasi Isometri1.Antara pasangan bentuk berikut, yang manakah menunjukkan keadaan translasi?(a)(b)(c)(d)2. Tentukankoordinatimejbagiobjek(5,−3)dibawahtranslasi(a)22(b)46(c) −3−1(d) −2−53. Tentukankoordinatobjekbagiimej(−1,−4)dibawahtranslasi(a)14(b) −35(c) −80(d)724.Nyatakan vektor translasi bagi pasangan titik berikut.(a)A (1, 2), A' (3, 6)(b)B (5, 7), B' (−1,−1)(c)C (4, 4), C' (8, 0)(d) D (6, 4), D' (3,−3)5.Objek L (1, 4) dipetakan kepada kedudukan L' (3,−5)dibawahsuatutranslasi.Tentukankedudukan imej atau objek dengan translasi yang sama bagi titik di bawah.(a)A (3, 1) (b)S' (4,−2)(c)J' (5,−6)(d)D (−7,−8)6. Dengan menggunakan orientasi yang sama dengan rajah di sebelah, tentukan koordinat imej bagi titik berikut.(a)(−1,−4) (b)(5,−5) 11.2AA'Apabila Preveena melihat cermin sambil menyikat rambutnya, dia akan dapat melihat rupa parasnya pada cermin tersebut. Imej Preveena dalam cermin ialah hasil pantulan. Pantulan ialah transformasi yang berlaku apabila semua titik pada satah dibalikkan dalam satah yang sama pada suatu garis. Garis tersebut dinamakan paksi pantulan.11.3 Pantulan11.3.1 PantulanMengenal pantulan.

p. 227

BAB 11219Bab 11 Transformasi IsometriSimetri ialah suatu padanan dari segi saiz dan bentuk di antara satu bahagian atau sisi suatu arah objek. Garis simetri ialah garisan yang membahagikan suatu bentuk kepada dua bahagian yang kongruen. Garis ini ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis yang menyambungkan objek dan imej. Garis simetri ialah paksi pantulan bagi imej dan objek.Tujuan: Mengenal pasti ciri-ciri pantulanBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS219 yang telah disediakan.2.Perhatikan perubahan paksi pantulan apabila titik G dan titik H berubah.3.Perhatikan perubahan yang berlaku pada imej.Perbincangan:(i)Apakah yang anda fahami tentang paksi pantulan?(ii)Apakah yang akan terjadi kepada imej berwarna kuning apabila paksi garisan GH digerakkan?(iii) Apakah sifat-sifat simetri yang anda fahami daripada aktiviti tersebut?Di bawah suatu pantulan,(i)objek dan imej berada pada sebelah yang bertentangan dengan paksi pantulan.(ii)objek dan imejnya mempunyai jarak serenjang yang sama dari paksi pantulan.(iii)bentuk dan saiz imej adalah sama dengan objek, tetapi orientasinya songsang.(iv) imej bagi suatu titik yang ada pada paksi pantulan ialah titik itu sendiri.CONTOH13Antara corak yang berikut, yang manakah menunjukkan orientasi pantulan?(a)(b)(c)Penyelesaian:(a) Ya (b) Tidak (c) YaSifat imej bagi pantulan ialah(a) sama bentuk dan sama saiz dengan objek.(b)imej mempunyai orientasi berbeza, bersongsang sisi dan membentuk imej cermin antara satu sama lain.Semua titik yang terletak pada paksi pantulan tidak berubah kedudukannya semasa mengalami suatu transformasi.Imbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms219 untuk melihat video demonstrasi ciri-ciri pantulan.QR CODE

p. 228

BAB 11220Bab 11 Transformasi IsometriCONTOH14Lengkapkan lukisan di bawah.Penyelesaian:11.3.2 Penerangan tentang pantulanMemerihalkan pantulan menggunakan pelbagai perwakilan.CONTOH15Dalam rajah berikut, segi tiga M' ialah imej kepada segi tiga Mdi bawah suatu pantulan. Huraikan pantulan tersebut.(a)(b)Penyelesaian:(a) Objek M dipantulkan pada paksi-x.(b) Objek M dipantulkan pada paksi-y.11.3.3 Imej bagi suatu objekMenentukan imej dan objek bagi suatu pantulan.MM'−4−3−2−11234564321−1−2−3−4xyO−4−3−2−11234564321−1−2−3−4xyOMM'CONTOH16Lukis imej bagi segi tiga ABC di bawah pantulan pada garis LM.CABLMPenyelesaian:Langkah 1: Pilih mana-mana bucu dan bina garis serenjang dari bucu tersebut ke garisan LM dan panjangkan melebihi paksi pantulan tersebut.Langkah 2:Selarikan garisan tersebut kepada semua bucu yang lain.ObjekTransformasiImej(3, 4)Pantulan pada paksi-x(–3, –5)Pantulan pada paksi-x(3, 4)Pantulan pada paksi-y(–3, –5)Pantulan pada paksi-y

p. 229

BAB 11221Bab 11 Transformasi Isometri–5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4–5xOyCABLMLangkah 3:Tentukan jarak bucu masing-masing dari paksi pantulan dan tandakan jarak yang sama dari paksi di atas garisan yang sama. Lakukan perkara yang sama pada semua bucu.11.3.4 Penyelesaian masalahCONTOH17Dalam rajah di sebelah, M'ialah imej bagi M di bawah suatu pantulan. Tentukan koordinat P' di bawah paksi pantulan yang sama.Penyelesaian:Menyelesaikan masalah yang melibatkan pantulan.Paksi pantulan y =1Merancang strategiMembuat kesimpulanMelaksanakan strategiMemahami masalahPaksi pantulan ditentukan pada y = 1.Gunakan paksi tersebut untuk mendapatkan P'.Dengan paksi pantulan y = 1,Koordinat P' ialah (–3, –1).M' ialah imej bagi M. Tentukan paksi pantulan.Tentukan pasangan bucu bagi imej dan objek. Lukis garis serenjang bagi kedua-dua pasangan bucu.Bina atau tentukan pembahagi dua bagi garis serenjang tersebut.PM−4−3−2−11234564321−1−2−3−4xyOM 'P'(–3, –1)A(–5, 2)(–1, 3)(–4, –1)(4, –1)(5, 2)(1, 3)BC'CB'A'Pantulan titik (x, y) pada paksi-y ialah titik (–x, y)Pantulan titik (x, y) pada paksi-x ialah titik (x, –y)–5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4–5xO(–2, 1)A(–2, –1)(1, –4)(3, –2)(3, 2)B(1, 4)CC'B'A'yPM−4−3−2−11234564321−1−2−3−4xyOM'

p. 230

BAB 11222Bab 11 Transformasi Isometri1. Antara berikut, yang manakah menunjukkan pantulan?(a)(b)(c)(d) 2.Lengkapkan lukisan di bawah.(a)(b)3.Bina imej bagi objek di bawah pantulan garisan PQ.(a)(b)4.A 'B'C'D' ialah imej bagi objek ABCD di bawah suatu paksi pantulan. Tentukan koordinat imej bagi titik objek P, Q, R dan S menggunakan paksi pantulan yang sama.5.Lukis paksi pantulan bagi gambar rajah berikut.(a)(b)11.3PPQQMM'AA'xyO8642−2−8−6−4−224684SA'AD'RPQTB'BC'CD

p. 231

BAB 11223Bab 11 Transformasi Isometri6.Merujuk kepada satah Cartes di sebelah, huraikan pantulan yang memetakan poligon A kepada poligon(a) Kb) L (c) M(d)N7.Kenal pasti paksi pantulan dan huraikan suatu perwakilan pantulan bagi pasangan titik di bawah.(a) A (3, 1) dan A' (−3,1) (b)B (−4,2)danB' (−4,−2)(c) C (5, 6) dan C' (−5,6) (d)D (2, 2) dan D' (4, 2)8.Jika L (4, 1) dipetakan kepada L' (4, 5) di bawah satu pantulan, tentukan(a) koordinat imej bagi (−3, −1) di bawah paksi pantulan yang sama.(b) koordinat objek bagi (7, 2) di bawah pantulan yang sama.NMALKxyO8642−2−8−6−4−22468411.4 Putaran11.4.1 PutaranDapatkah anda mengenal pasti pergerakan objek yang berputar di sekeliling anda seperti jarum jam, kipas siling dan pergerakan tayar? Jarum jam melakukan putaran penuh setiap dua belas jam. Namun begitu, putaran tayar bergantung pada arah pergerakan sama ada ke depan atau ke belakang. Semua pergerakan tersebut mempunyai pusat putarannya.Mengenal putaran.Tujuan: Mengenal putaranBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS223 untuk menonton video animasi putaran.2. Seret butang hijau dan perhatikan animasi putaran.3.Laraskan butang tersebut untuk melihat objek yang diputarkan.Perbincangan:Imbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms223 untuk melihat video animasi putaran.(i)Dapatkah anda mengenal pasti imej segi tiga yang bergerak apabila sudut putaran dilaraskan? Apakah kesimpulan yang boleh anda buat terhadap imej segi tiga itu?(ii) Apakah sifat imej dalam aktiviti di atas?QR CODE

p. 232

BAB 11224Bab 11 Transformasi Isometri11.4.2 Putaran dalam pelbagai perwakilanApabila kita memerihalkan suatu putaran, kita perlu menyatakan pusat, sudut dan arah putaran yang memetakan objek kepada imej.CONTOH18Perihalkan putaran bagi rajah di bawah.(a) (b) Penyelesaian:(a)Putaran 90° ikut arah jam pada titik T.(b)Putaran 90° lawan arah jam pada titik S.Memerihalkan putaran menggunakan pelbagai perwakilan.11.4.3 Menentukan imej dan objek bagi putaranKita boleh menggunakan kertas surih, protraktor dan jangka lukis untuk menentukan imej atau objek di bawah suatu putaran.Ikut arah jamLawan arah jamMenentukan imej dan objek bagi suatu putaran.Imej yang dihasilkan melalui putaran 180° ikut arah jam adalah sama dengan putaran 180° lawan arah jam.AA'180°ikut arah jamlawan arah jamSifat imej bagi putaran:(a)Imej yang dihasilkan mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama dengan objek.(b)Pusat putaran ialah satu titik pegun.(c)Jarak semua titik imej ke pusat putaran adalah sama dengan jarak objek ke pusat putaran.ABA'C'B'D'DCTxyO123456SA'A1–1–1234

p. 233

BAB 11225Bab 11 Transformasi IsometriPenyelesaian:Kaedah 1 (Menggunakan kertas surih)Langkah 1:Lukiskan garisan pada titik M ke titik P.Langkah 2:Tentukan sudut 90° lawan arah jam.Langkah 3:Lukis semula bentuk segi tiga PQR di atas kertas surih. Langkah 4: Tekan dengan mata pensel pada titik M, putarkan kertas surih 90° lawan arah jam.CONTOH19PMRQPMTentukanimejbagi ∆PQR apabila diputarkan 90° lawan arah jam pada titik M. M90°RQPkertassurihM90°RQPkertassurihR'Q'P'90°lawan arahjamPMObjekTransformasiImej(5, 2)Putaran 90° ikut arah jam pada titik (0, 0)(–3, 4)Putaran 90° lawan arah jam pada titik (2, 1)(– 4, 7)Putaran 180° pada titik (–1, 3)–5−4−3−2−1123456543211−2−3−4xyOA(–1, 1)(1, 1)(–5, 1)(1, 5)(–5, 4)(4, 5)BCC'B'A'A'AB'BC'C–5−4−3−2−112345543211−2−3−4–5xyO(0, –1)(–4, –1)(–2, –5)A'B'C'B'C'A'(0, 1)(4, 1)(2, 5)AABBCC–5−4−3−2−11234554321−1−2−3−4–5xyO(0, 1)(1, 0)(–1, 4)(4, 1)(3, 4)(4, –3)(2, 1)(1, –2)AA'BB'CC'DD'B'C'D'AA'DBCPutaran 90° lawan arah jam pada asalan(x, y) → (–y, x)Putaran 180° pada asalan(x, y) → (–x, –y)Putaran 270° lawan arah jam pada asalan(x, y) → (y, –x)RRQQ

p. 234

BAB 11226Bab 11 Transformasi IsometriKaedah 2 (Menggunakan protraktor)Langkah 1:Bina garisan MP.Langkah 2:Dengan menggunakan protraktor, lukis satu garisan MPberukuran 90° lawan arah jam dengan jarak yang sama dengan MP'.Langkah 3:Ulangi langkah 2 dengan garisan MR dan MQ. Langkah 4:Sambungkan semua titik P', R' dan Q' menjadi sebuah segi tiga yang sama dengan PRQ.MPRQMR' Q' PRQMP' R' Q' P' PMJika soalan menggunakan grid segi empat sama, maka putaran 90°, 180° dan 270° tidak perlu menggunakan protraktor.ObjekTransformasiImejPutaran 90° ikut arah jam pada titik (–2, 3)(–3, 1)Putaran 90° lawan arah jam pada titik (1, 3 )(3, 2)Putaran 180° pada titik (–3, 4)(2, 1)RRQQPP'

p. 235

BAB 11227Bab 11 Transformasi IsometriCONTOH20Tentukan objek bagi titik Q' apabila diputarkan 180° ikut arah jam pada titik M. Penyelesaian:Langkah 1:Lukis garisan yang menyambungkan titik M dan Q' serta panjangkannya dengan jarak yang sama dengan MQ'di arah yang bertentangan.Langkah 2:Tandakan titik Q pada garisan yang dipanjangkan dengan MQ = MQ'.Jika B ialah pusat putaran, maka kedudukan imej Btidak akan berubah.AA' BCC' Q' MQ' MQ' MQ11.4.4 Penyelesaian masalahTahukah anda sekiranya objek dan imej suatu putaran diberi, pusat, sudut dan arah putaran dapat ditentukan dengan menggunakan kaedah pembinaan geometri.Menentukan pusat, sudut dan arah putaranCONTOH21A'B'C'ialah imej bagi ABC di bawah suatu putaran. Tentukan pusat, sudut dan arah putaran itu.ObjekImejA' C' B' ABCMenyelesaikan masalah yang melibatkan putaran.Penyelesaian:Langkah 1: Sambungkan titik A ke A'. Bina pembahagi dua sama serenjang bagi tembereng garis AA'.Langkah 2:Ulangi langkah 1 bagi garis BB' atau CC'.A' C' B' ABCA' C' B' ABC

p. 236

BAB 11228Bab 11 Transformasi IsometriA' C' B' ABCDA' C' B' DABC90°Menentukan koordinat imej apabila koordinat objek diberikanCONTOH22Tentukan koordinat imej bagi titik A (−3,2)dibawahsuatuputaran90°ikutarahjampadaasalanO.Penyelesaian:Menentukan koordinat objek apabila koordinat imej diberiCONTOH23Sekiranya K' (−2,−3)ialahimejbagiK di bawah putaran 90° ikut arah jam pada titik L (1, 0), tentukan koordinat K.Penyelesaian:Langkah 1:Terbalikkan arah putaran untuk mencari koordinat objek, iaitu titik K.Langkah 2:Dengan menggunakan protraktor, putar garis K'Lpada titik L, 90° lawan arah jam.Daripada rajah, koordinat bagi titik Kialah(4,−3).xy121234–1–3–2–1OAxy12341–4–3–2–1–2–1OK'LKLangkah 3:Titik persilangan dua garisan pembahagi dua serenjang itu ialah pusat putaran. Tandakan pusat putaran itu sebagai D.Langkah 4:Ukur sudut CDC' menggunakan protraktor.Maka, imej di bawah putaran 90° ikut arah jam pada pusat D.Langkah 1:Sambung garis OA.Langkah 2:Putar garis OA pada asalan O menggunakan protraktor ikut arah jam dengan sudut 90°.Daripada rajah, koordinat bagi imej A' ialah (2, 3).xy121234–1–3–2–1OAA'

p. 237

BAB 11229Bab 11 Transformasi Isometri1.Perihalkan putaran di bawah yang berpusat di P jika A ialah objek dan B ialah imej.(a) (b) (c) (d) 2.Perihalkan putaran yang memetakan objek kepada imejnya.(a) (b) (c) (d)3.Lukis imej bagi R di bawah satu putaran.11.4BAPx–6–5–4–3–2–1O1234y–11234BAPx–2–1O1234567y–112345BAPx–2–1O1234567y–112345BAPx–2–1O1234567y–112345P QQ'M'MTx–4–224Oy–224SS'ROROPutaran 90° lawan arah jam pada pusat O.Putaran 180° pada pusat O.R'RP

p. 238

BAB 11230Bab 11 Transformasi IsometriTitikPutaranKoordinatPusatSudutArahP(−2,1)90°ikut arah jamQ(0, 0)90°lawan arah jamR(0,−1)90°lawan arah jamS(0, 4)90°ikut arah jam4.Tentukan koordinat objek bagi titik berikut di bawah putaran yang diberikan.Ox–4–3–2–112y–1–2123456P'Q'R'S'11.5 Translasi, Pantulan dan Putaran sebagai Isometri11.5.1 Hubungan translasi, pantulan dan putaran dengan isometriMenyiasat hubungan antara kesan translasi, pantulan dan putaran terhadap jarak di antara dua titik pada objek dan imej, dan seterusnya menerangkan isometri.CONTOH24Antara rajah A, B dan C, yang manakah merupakan imej isometri bagi objek yang berlorek di bawah suatu isometri?ObjekABCPenyelesaian:Rajah A ialah imej isometri kerana bentuk dan saiznya sama.Rajah B bukan imej isometri kerana saiznya tidak sama.Rajah C bukan isometri kerana bentuk dan saiznya tidak sama.Anda dapat mengenal pasti translasi, pantulan dan putaran ialah isometri.ObjekPusat putaranPaksi pantulanImej 1Imej 2Imej 3Anda telah mempelajari transformasi bagi translasi, pantulan dan putaran bagi suatu objek. Masing-masing mempunyai sifat tertentu. Perhatikan rajah di sebelah, dapatkah anda mengenali transformasi bagi Imej 1, Imej 2 dan Imej 3? Apakah yang boleh anda kaitkan dengan jarak di antara objek dengan imej? Jika objek dipetakan kepada suatu imej yang sentiasa kongruen, maka itu merupakan suatu isometri. Isometri ialah suatu transformasi yang mengekalkan jarak di antara sebarang dua titik pada objek asal. Transformasi isometri akan mengekalkan bentuk dan saiz asal objek.

p. 239

BAB 11231Bab 11 Transformasi Isometri11.5.2 Hubungan isometri dan kekongruenanPerhatikan objek yang berwarna ungu. Bolehkah anda nyatakan imej yang kongruen di bawah suatu transformasi pantulan?Dapatkah anda tentukan paksi pantulan bagi transformasi isometri ini?Dua rajah adalah kongruen jika bentuk dan saiz adalah sama.ABC dan KLM adalah kongruen di bawah suatu translasi.BLACKMMenerangkan hubungan antara isometri dengan kekongruenan.Tujuan:Mengenal pasti perkaitan antara isometri dengan kekongruenanBahan: Kertas surih dan pembarisLangkah:1.Perhatikan gambar rajah di atas. Q ialah objek kepada suatu imej.2.Bersama-sama dengan rakan, kenal pasti imej yang kongruen.3.Kenal pasti juga isometri yang memungkinkan kekongruenan pada imej tersebut.Perbincangan:(i)Jika imej A dan C bukan kongruen, adakah imej itu boleh dikatakan suatu isometri?(ii) Apakah perkaitan antara isometri dengan kekongruenan?xyO123451−12−3−4234554321AQCBDi bawah suatu isometri, objek dan imej adalah sama bentuk dan sama saiz. Oleh itu, objek dan imej adalah kongruen. Isometri ialah transformasi yang imejnya kongruen dengan objek.

p. 240

BAB 11232Bab 11 Transformasi IsometriCONTOH25Objek A, B, C dan D adalah kongruen. Nyatakan isometri yang memetakan(a)objek A kepada objek B.(b) objek A kepada objek C.(c) objek A kepada objek D.Penyelesaian:(a) Putaran(b)Translasi(c)PantulanADCBx–4–3–2–1O123456y1234567811.5.3 Penyelesaian masalahApabila menamakan poligon yang kongruen, tertib huruf mesti berdasarkan bucu atau sudut yang sepadan.Sisi empat ABCD dan sisi empat SRQP adalah kongruen.CONTOH26DACBQSP50°ABQRPDCSMenyelesaikan masalah yang melibatkan isometri dan kekongruenan.Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah imej bagi PQCS di bawah suatu isometri. Diberi DCS ialah garis lurus, hitung ∠PQC.Penyelesaian:Imbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms232 untuk menonton video animasi kongruen.Merancang strategiMembuat kesimpulanMelaksanakan strategiMemahami masalahOleh itu, ∠PQC ialah 115°.ABCD ialah imej bagi PQCS.DCS ialah garis lurus.∠PQC sebahagian daripada sudut segi empat PQCS.Tentukan∠QCS= 180°– 50°2= 130°2= 65°CQSP∠PQC= 360° – 90° – 90° – 65°= 115°

p. 241

BAB 11233Bab 11 Transformasi Isometri1.Tentukan sama ada setiap transformasi yang berikut ialah isometri atau bukan.(a)(b)(c)(d)2.Tentukan sama ada transformasi berikut merupakan suatu isometri.(a) Suatu pantulan diikuti suatu pantulan.(b) Suatu translasi.(c) Suatu putaran secara berturut-turut.3.Dalam rajah di sebelah, A, B dan C ialah imej bagi objek PNyatakan jenis transformasinya.4.Rajah di sebelah menunjukkan beberapa bentuk. Nyatakan bentuk yang kongruen.5.Dalam rajah di sebelah, ∆ ABC ialah imej bagi ∆ BCD, di bawah suatu transformasi isometri. Hitung nilai x.11.5PCABKNMLB15°35°ADCx

p. 242

BAB 11234Bab 11 Transformasi Isometri11.6 Simetri Putaran11.6.1 Simetri putaranSuatu bentuk mempunyai simetri putaran jika bentuk tersebut tidak berubah selepas putaran walaupun kurang daripada satu putaran.Menerangkan simetri putaran.Tujuan: Mengenal pasti simetri putaranBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:Simetri merupakan padanan tepat dari segi saiz dan bentuk antara satu bahagian atau sisi suatu arah atau objek. Bagi simetri putaran, bentuk atau imej yang diputarkan kurang daripada 360° pada satu titik tetap, bentuknya masih kelihatan sama.1.Buka fail MS234 yang telah disediakan.2.Gerakkan butang hijau putaran lawan arah jam dengan sudut 120°, 240° dan 360°. Perhatikan perubahan yang berlaku pada segi tiga berwarna hijau. Gerakkan semula butang tersebut kepada kedudukan asal.3.Gerakkan butang hijau putaran arah jam dengan sudut 120°, 240° dan 360°. Perhatikan perubahan yang berlaku pada segi tiga berwarna merah muda.Perbincangan:(i)Dapatkah anda kenal pasti simetri putaran bagi poligon tersebut?(ii)Jika D ialah pusat putaran, apakah yang anda fahami tentang simetri putaran?Imbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms234 untuk menonton video animasi simetri putaran.ACBCBASimbol kitar semula merupakan contoh suatu simetri putaran.QR CODE

p. 243

BAB 11235Bab 11 Transformasi IsometriCONTOH27Kenal pasti objek berikut, yang manakah mempunyai simetri putaran?(a)(b)(c)Penyelesaian:(a) Tidak(b) Ya(c) Tidak11.6.2 Peringkat simetri putaran bagi objekBilangan imej yang boleh dihasilkan dalam suatu pusat putaran yang sama dan menjadi seperti objek asal adalah dinamakan peringkat simetri putaran. Peringkat simetri putaran sama dengan bilangan paksi simetri suatu objek.Peringkat simetri putaran ialah bilangan kali sesuatu bentuk menepati dirinya sendiri dalam satu putaran lengkap. Bilangan paksi simetri adalah sama dengan peringkat simetri putaran.Tujuan: Kenal pasti peringkat simetri putaranBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS235 yang telah disediakan.2.Terdapat dua bentuk geometri.3.Gerakkan butang sudut untuk mendapatkan bentuk asal.4.Hitung bilangan pergerakan putaran untuk mendapatkan bentuk asal objek.Perbincangan:(i)Adakah bilangan peringkat simetri putaran sama dengan bilangan paksi simetri?(ii)Dapatkah anda tentukan bilangan peringkat simetri putaran?Menentukan peringkat simetri putaran bagi suatu objek.Imbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms235 untuk menonton video tentang aktiviti ini.QR CODE

p. 244

BAB 11236Bab 11 Transformasi IsometriCONTOH28Tentukan peringkat simetri putaran apabila kedudukan A berada di kedudukan D dalam rajah di sebelah. Penyelesaian:Dengan menggunakan kertas surih, lukis dan tentukan pergerakan peringkat putaran A kepada D.ABDCEBCDAEA→B →C →DPeringkat pertamaPeringkat keduaPeringkat ketiga1.Antara objek berikut, yang manakah mempunyai simetri putaran?(a)(b)(c)(d)2. Tentukan peringkat simetri putaran bagi objek berikut.(a)(b)(c)(d)3. Objek simetri berikut diputarkan pada suatu titik. Nyatakan peringkat simetri putaran jika(i) kedudukan A berada di kedudukan C.(ii) kedudukan B berada di kedudukan D.(iii)kedudukan C berada di kedudukan B.11.6ADFEBC

p. 245

BAB 11237Bab 11 Transformasi Isometrix2468Oy2468P4. Objek tersebut terletak pada satah Cartes. Nyatakan koordinat bagi P di bawah simetri putaran peringkat ketiga.1.Rajah di sebelah menunjukkan bentuk poligon A dipetakan kepada poligon A' di bawah suatu pantulan. Kenal pasti padanan titik(a) imej bagi titik P.(b) objek bagi titik G.2.Antara rajah berikut, yang manakah translasi dan nyatakan sebabnya.(a)(b)(c)3.Lukis imej bagi objek A di bawah translasi yang diberikan.(a) −74(b) 63(c) 4–5(d) −5–2QPRAA'SUTHIJEFGMENJANA KECEMERLANGANAAAA

p. 246

BAB 11238Bab 11 Transformasi Isometri4.Jika titik K (−2,−2)ialah objek, kenal pasti imej di bawah vektor translasi berikut.(a) 02 (b) 3–1 (c) −54 (d) −34 (e) −20 (f) 4–35.Lukis imej P' bagi objek P di bawah pantulan pada garis MN.(a) (b) (c) (d)6. Tentukan koordinat imej atau objek bagi titik berikut, di bawah paksi pantulan yang diberikan.7.Tentukan koordinat imej atau objek bagi titik berikut di bawah suatu putaran yang diberikan.TitikPaksi pantulan padaKoordinatCPaksi-yC' ( )DPaksi-xD' ( )E'Garisan PQE ( )F'Garisan PQF ( )MNPPMNPMNMNP–10–8–6–4–2O2468y2–2–4–6–8468xPQCF'E'DTitikPutaranKoordinatPusatSudutArahK(0, 0)90°ikut arah jamK' ( ) L(0, 2)180°ikut arah jamL' ( )M'(0, 0)90°lawan arah jamM ( )N'(–3, −4)180°ikut arah jamN ( )8.Yang manakah mempunyai simetri putaran?(a) (b) –6–4–2O246y2–2–446xKLM'N'–8

p. 247

BAB 11239Bab 11 Transformasi Isometri(c) (d) 9.(i) Pada rajah di sebelah, lukis imej bagi M di bawah pantulan pada paksi-x.(ii)Nyatakan koordinat imej bagi titik W di bawah pantulan yang sama.10.Diberi P' ialah imej bagi P di bawah suatu putaran. Huraikan putaran itu selengkapnya.(a) (b) (c) (d) x–4–3–2–1123456Oy12345678P'Px–4–3–2–1123456Oy12345678PP'x–4–3–2–1O123456y1234567–1–2–3P'Px–4–3–2–1O123456y1234567–1–2–3P'P–4–2O246y2–2–446xWM

p. 248

BAB 11240Bab 11 Transformasi Isometri11.Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah sebuah segi empat sama. Nyatakan imej bagi segi tiga OAB di bawah putaran yang berikut.(i)Putaran 90° ikut arah jam pada titik O.(ii)Putaran 180° pada titik O.(iii)Putaran 270° lawan arah jam pada titik O.12.Rajah menunjukkan segi tiga ABC yang mengalami tiga kali transformasi, iaitu P → Q → R → S.(a)Huraikan transformasi tersebut.(b)Sekiranya titik K''' ialah imej bagi titik K, nyatakan koordinat objek K tersebut di bawah transformasi yang sama.ADCBO–1O12345678y21–1–2345xAA'A''CB'B''BC'C''C'''B'''K'''A'''PQSR13.Rajah menunjukkan sebuah peta perairan laut Kejora.Titik A ialah kedudukan kapal tentera Makdis. Bantu tentera Makdis untuk mengesan lanun mengikut turutan transformasi berikut.A (1, –1)Putaran 90° lawan arah jam pada titik asalanPutaran 90° lawan arah jam pada pusat putaran (5, 1)Pantulan padagaris PQPantulan padapaksi-xPantulan paday = –1Lokasi lanunTranslasi −13Translasi 40–3–2–1O1234567891011y1–1–2–3–4–5–6234xAPQ

p. 249

BAB 11241Bab 11 Transformasi Isometri14.Rajah di sebelah menunjukkan objek R dan S.(a) Lukis imej R di bawah(i)putaran 90° lawan arah jam pada titik asalan diikuti translasi −30.(ii)pantulan pada garis lurus x = 1.(b)Lukis imej S di bawah pantulan pada paksi-xdiikuti dengan translasi −41 dan putaran 180° pada titik (0, –1).Seterusnya, nyatakan nama rajah poligon tersebut.15.Rajah di sebelah menunjukkan segi empat A dan segi empat B yang dilukis pada grid segi empat sama.Segi empat A ialah imej bagi segi empat B di bawah suatu transformasi. Huraikan selengkapnya lima transformasi yang mungkin.16.Berdasarkan rajah di sebelah(a)putarkan objek P sebanyak 180° pada titik (1, 1). Labelkan imej putaran sebagai Q.(b) lakukan translasi −2–2 terhadap Q dan labelkannya sebagai R.(c) huraikan transformasi lain yang memetakan objek P kepada imej R.17.Merujuk rajah di bawah, Fauzah dan Zainun masing-masing berkedudukan Tenggara dan Barat Daya. Jika mereka bercadang untuk berjumpa di suatu kawasan yang terletak di Timur Laut, nyatakan peringkat simetri putaran yang perlu dilalui oleh mereka berdua.–6–5–4–3–2–1O123456y1–1–2–32345xRSABTIMURBARATBARAT DAYABARAT LAUTTIMUR LAUTTENGGARAUTARASELATAN–4–3–2–1O123456y1–1–2–3234xP

p. 250

BAB 11242Bab 11 Transformasi IsometriTransformasi IsometriINTI PATI BABPemindahan titik pada suatu satahTranslasiPemindahan semua titik pada satu satah mengikut arah dan magnitud suatu vektor.Sifat translasi ialah(i) imej tidak berubah.(ii)imej berada pada vektor tertentu dari objek.PantulanTransformasi yang membalikkan titik-titik pada satu satah terhadap satu garis yang dikenali sebagai paksi pantulan. Sifat pantulan ialah(i) objek dan imej berada pada sebelah yang bertentangan dengan paksi pantulan.(ii)objek dan imejnya mempunyai jarak serenjang yang sama dari paksi pantulan.(iii)bentuk dan saiz imej adalah sama dengan objek, tetapi orientasinya songsang.(iv)imej bagi suatu titik yang ada pada paksi pantulan ialah titik itu sendiri.IsometriTransformasi yang menunjukkan objek asal dan imejnya bersifat kongruen. Dalam isometri, jarak di antara dua titik pada objek asal sama dengan jarak di antara dua titik yang sama pada imejnya. Pantulan, putaran dan translasi merupakan isometri.KekongruenanPerihal sama bentuk dan sama saiz.Simetri PutaranBentuk atau imej yang diputarkan kurang daripada 360° pada satu titik tetap, bentuknya masih kelihatan sama.PutaranProses transformasi yang berlaku apabila setiap titik berputar pada suatu titik tetap melalui sudut tertentu dan mengikut arah yang tertentu. Sifat putaran ialah(i)berputar pada pusat putaran tertentu.(ii)mempunyai sudut putaran.(iii)imej mengekalkan rupa bentuk asal tetapi kedudukan berubah.AA'ABPP'yxO12341234A

p. 251

BAB 11243Bab 11 Transformasi IsometriPada akhir bab ini, saya dapat:Anda diminta untuk mereka bentuk suatu logo kelas anda yang melambangkan ciri-ciri kerjasama, perpaduan, bertoleransi, menghormati dan keazaman yang kuat. Ciri-ciri ini hendaklah diterjemahkan dalam bentuk transformasi isometri dengan mempelbagaikan corak yang bersifat kesederhanaan. Setelah itu, anda perlu memberikan makna yang mendalam kepada logo tersebut bagi setiap butiran yang anda pilih.1. Mengenal translasi, pantulan dan putaran.2. Menentukan imej dan objek suatu translasi, pantulan dan putaran.3.Menyelesaikan masalah yang melibatkan translasi, putaran dan pantulan.4. Menyiasat hubungan antara kesan translasi, pantulan dan putaran terhadap jarak di antara dua titik pada objek dengan imej, dan seterusnya menerangkan isometri.5. Menerangkan hubungan antara isometri dengan kekongruenan.6.Menyelesaikan masalah yang melibatkan isometri dan kekongruenan.7.Menerangkan simetri putaran.8.Menentukan peringkat simetri putaran bagi suatu objek.REFLEKSI DIRI

p. 252

BAB 12244Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat•Sukatan kecenderungan memusat •Mod •Median •Min •Nilai ekstrem •Data •Jadual •Perwakilan data •Carta pai •Carta palang •Plot titik •Plot batang dan daun •Jadual kekerapan•Measure of central tendency•Mode•Median•Mean•Extreme value•Data•Table•Data representation•Pie chart•Bar chart•Dot plot•Stem and leaf plot•Frequency table12.1Sukatan Kecenderungan Memusat244Statistik ialah satu bidang matematik yang menggunakan data. Hal ini demikian kerana, statistik melibatkan pengumpulan, penyusunan, penghuraian dan penganalisisan data serta membuat kesimpulan daripada hasil analisis data.Salah satu contoh penerapan ilmu statistik ialah pasaran saham. Dalam pasaran saham, statistik diaplikasikan dalam pelbagai cara dengan menggunakan perwakilan data. Dengan cara ini, mereka dapat mengkaji pelbagai informasi dan membuat pelbagai inferens daripada set data keuntungan, perkembangan ekonomi, perniagaan, inf lasi, kewangan negara dan lain-lain lagi.RANGKAI KATAANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 253

BAB 12245Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatUntuk maklumat lanjut:245John Graunt ialah seorang ahli statistik yang terkenal. Beliau menggunakan pendekatan ilmu statistik dalam membuat beberapa kesimpulan dan ramalan tentang populasi dan kadar kematian dalam kajian awalnya.MASLAHAT BAB INISukatan kecenderungan memusat ini selalunya digunakan dalam bidang-bidang yang berkaitan dengan data. Bidang kerjaya yang mengaplikasikan ilmu ini ialah ekonomi, statistik, perniagaan, perusahaan, pendidikan dan sebagainya. http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms245

p. 254

BAB 12246Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatAKTIVITI KREATIFSebagai contoh, pencapaian Mohd Azizulhasni Awang atau dikenali sebagai 'pocket rocketman', pelumba basikal trek profesional Malaysia. Kejayaan terkini yang diraih oleh beliau adalah dalam acara keirin Kejohanan Trek Berbasikal Dunia 2017 di Hong Kong sebagai juara.Melalui pencapaian cemerlangnya itu, bolehkah kita meramalkan bahawa beliau akan memperbaiki atau mengekalkan rekod pencapaiannya dalam Sukan Olimpik akan datang? Jangkaan ini boleh dibuat berdasarkan data-data pencapaianMohdAzizulhasnimelaluijustifikasiyangtertentu.Daripadajustifikasiini,analisisdantafsiranbolehdilakukan.Proses ini sesuai menggunakan sukatan kecenderungan memusat. Tiga jenis sukatan kecenderungan memusat ini ialah min, median dan mod.Tujuan: Mengenal pasti maklumat daripada perwakilan dataBahan: Buku tulis dan kalkulatorLangkah:1.Buat bancian bilangan adik-beradik bagi setiap murid di dalam kelas anda.2.Organisasikan data itu dengan membina jadual kekerapan seperti di bawah.3.Senaraikan maklumat yang diperoleh daripada jadual kekerapan di atas.(i) Kekerapan bilangan adik-beradik yang paling tinggi.(ii) Kekerapan bilangan adik-beradik yang paling rendah.Bilangan adik-beradikGundalanKekerapan123456712.1 Sukatan Kecenderungan MemusatSukatan kecenderungan memusat ialah satu sukatan yang dapat menunjukkan kedudukan sesuatu kumpulan data dan memperihalkan maklumat keseluruhan data itu dengan satu nilai sahaja.Perwakilan Data•Carta Pai•Carta Palang•Graf garis•Plot titik•Plot batang dan daunKekerapan ialah bilangan kali sesuatu item muncul dalam suatu data.Jadual kekerapan ialah satu jadual yang menyenaraikan setiap item data dan kekerapan bagi item tersebut.Sumber: http:\/\/www.astroawani.com\/berita-sukan\/faktatentang-jaguh-pelumba-negaraazizulhasni-awang-139401

p. 255

BAB 12247Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatModTujuan: Menentukan modBahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Buka fail MS247 yang telah disediakan.2.Teliti lirik lagu Negaraku yang dilampirkan. 3.Lengkapkan jadual.Perbincangan: Huruf vokal apakah yang mempunyai kekerapan yang paling tinggi?Daripada aktiviti di atas, huruf vokal yang paling kerap berulang dalam lirik lagu Negaraku digelar mod.Imbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms247 untuk mendapatkan lembaran kerja berikut.Tajuk: Lembaran kerja 12.1Tujuan:Menentukan nilai mod.1. Teliti lirik lagu Negaraku. Gundalkan huruf vokal dan hitung kekerapannya.NegarakuTanah tumpahnya darahku,Rakyat hidupbersatu dan maju,Rahmat bahagiaTuhan kurniakan,Raja kitaselamat bertakhtaHuruf vokal GundalanKekerapanaeiouHuruf vokal yang mempunyai kekerapan yang tertinggi = Tajuk: Lembaran kerja 12.1Tujuan:Menentukan nilai mod.1. Teliti lirik lagu Negaraku. Gundalkan huruf vokal dan hitung kekerapannya.NegarakuTanah tumpahnya darahku,Rakyat hidupbersatu dan maju,Rahmat bahagiaTuhan kurniakan,Raja kitaselamat bertakhtaHuruf vokal GundalanKekerapanaeiouHuruf vokal yang mempunyai kekerapan yang tertinggi = Tajuk: Lembaran kerja 12.1Tujuan:Menentukan nilai mod.1. Teliti lirik lagu Negaraku. Gundalkan huruf vokal dan hitung kekerapannya.NegarakuTanah tumpahnya darahku,Rakyat hidupbersatu dan maju,Rahmat bahagiaTuhan kurniakan,Raja kitaselamat bertakhtaHuruf vokal GundalanKekerapanaeouHuruf vokal yang mempunyai kekerapan yang tertinggi = Tajuk: Lembaran kerja 12.1Tujuan:Menentukan nilai mod.1. Teliti lirik lagu Negaraku. Gundalkan huruf vokal dan hitung kekerapannya.NegarakuTanah tumpahnya darahku,Rakyat hidupbersatu dan maju,Rahmat bahagiaTuhan kurniakan,Raja kitaselamat bertakhtaHuruf vokal GundalanKekerapanaeiouHuruf vokal yang mempunyai kekerapan yang tertinggi = CONTOH1Nyatakan mod bagi setiap set data berikut.(a) 4, 5, 2, 3, 4, 4, 5(b) M, N, L, M, L, P, L, L, P(c) Kopi, Teh, Kopi, Kopi, Susu, Teh, Susu, Teh (d) 2, 4, 6, 8, 10Penyelesaian:(a)4 , 5, 2, 3, 4 , 4 , 5Mod = 4(b)M, N, L , M, L , P, L , L , PMod = L(c) Kopi , Teh , Kopi , Kopi , Susu, Teh , Susu, TehMod = Kopi dan Teh(d) 2, 4, 6, 8, 10Tiada modTiada nombor yang berulangKopi dan teh mempunyai kekerapan tertinggi, iaitu 34 mempunyai kekerapan tertinggi, iaitu 3L mempunyai kekerapan tertinggi, iaitu 412.1.1Mod, min dan median bagi suatu set data tak terkumpulKadang-kadang terdapat dua mod dalam satu set data apabila kekerapan tertingginya sama. Set data dikatakan tiada mod apabila nilai kekerapan satu set data adalah sama.Mod bagi suatu set data ialah nilai yang paling tinggi kekerapannya.Menentukan mod, min dan median bagi suatu set data tak terkumpul.QR CODE

p. 256

BAB 12248Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatTujuan: Meneroka median bagi suatu set dataBahan: Lembaran kerjaLangkah:1.Buka fail MS248 yang telah disediakan. 2.Terdapat gambar kad seperti Rajah A. Gunting semua kad itu satu persatu.3.Susun kad nombor itu mengikut tertib menaik.4.Kenal pasti kad yang berada di tengah-tengah. Catat nombor tersebut pada lembaran kerja yang disediakan.5.Kemudian, keluarkan 3 kad secara rawak.6.Susun semula kad yang tinggal mengikut tertib menaik.7.Kenal pasti dua nombor yang berada di tengah-tengah. Hitung purata dua nombor tersebut. Catatkannya pada lembaran kerja.Perbincangan: Dapatkah anda membezakan cara untuk menentukan nilai yang berada di tengah bagi set data ganjil dan set data genap?331221142Cuba anda ulangi aktiviti ini dengan menyusun kad itu secara tertib menurun. Adakah anda mendapat keputusan yang sama?Dalam aktiviti di atas, anda telah menentukan median bagi data dengan bilangan ganjil dan genap. Perhatikan langkah ke-3. Bilangan semua kad yang anda susun ialah 9 keping (ganjil) dan dalam langkah ke-6, bilangan kad yang disusun adalah sebanyak 6 keping (genap). Maka,MedianGenapGanjilData disusun mengikut tertib menaik atau menurunPurata dua nilai data di tengah-tengahNilai data di tengah-tengahBilangandataBilangandataMedian bagi set data dengan bilangan data yang ganjil ialah nilai yang berada di tengah-tengah, manakala median bagi set data dengan bilangan data yang genap ialah nilai purata bagi dua nombor di tengah-tengah data yang telah disusun mengikut tertib menaik atau menurun.Tajuk: Lembaran kerja 12.2Tujuan:Meneroka median bagi suatu set data1. Tuliskan nombor yang terdapat pada kad-kad yang anda susun (seperti langkah 4) di ruang yang disediakan dan catatkan nombor yang berada di tengah-tengah.(a)Bilangan kad = (genap \/ ganjil)gariskan jawapan yang betul(b)Bulat dan catatkan nombor yang berada di tengah-tengah.2.Tuliskan nombor yang terdapat pada kad-kad yang anda susun (seperti langkah 5) setelah kad yang anda keluarkan di ruang yang disediakan. Catatkan dua nombor yang berada di tengahtengah dan cari purata nombor tersebut.(a)Bilangan kad = (genap \/ ganjil)gariskan jawapan yang betul(b)2 kad yang bernombor apakah yang berada di tengah-tengah?Purata 2 nombor tersebut== +2MedianImbas QRCode atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms248 untuk mendapatkan lembaran kerja berikut.321134212Rajah AQR CODE

p. 257

BAB 12249Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatCONTOH2Data di bawah ialah wang saku bagi lima orang murid ke sekolah setiap hari. Tentukan median.RM5RM8RM3RM7RM5Penyelesaian:Median = 5CONTOH3Data di bawah menunjukkan jumlah bilangan gol pasukan Seladang dalam 10 permainan. Tentukan median. 1 5 1 1 4 2 5 1 4 4Penyelesaian:2 + 42 = 62 = 3Median = 3111124445511112444553557835578Susun data mengikut tertib menaikSusun data mengikut tertib menaikTandakan data di tengah-tengahTandakan data di tengah-tengahHitungkan purata dua nombor ituSatu kaedah lain untuk menentukan median adalah dengan cara penghapusan data kiri dan kanan secara berpasangan (menaik atau menurun).CONTOH4Tentukan median bagi setiap set data berikut.(a) 4, 7, 2, 3, 4, 9, 6, 2, 1(b) 28, 27, 21, 23, 24, 21, 25, 24Penyelesaian:(a) Susun data mengikut tertib menaik.1, 2, 2, 3, 4 , 4, 6, 7, 9 Median = 4(b) Susun data mengikut tertib menaik.21, 21, 23, 24, 24, 25, 27, 28 Nilai di tengah-tengahDua nilai di tengah-tengahMedian = 24 + 242 = 24

p. 258

BAB 12250Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatMenentukan median bagi bilangan data yang genap atau ganjil dalam jadual kekerapan dan perwakilan dataCONTOH51.Jadual menunjukkan masa yang diambil oleh 11 kumpulan murid untuk membina model roket dalam satu aktiviti Sains.Tentukan median bagi jadual kekerapan ini.Masa (minit)10203040Kekerapan1631GenapMedianGanjilData pada kedudukan ke- n + 12Jumlah kekerapan (n)Jumlah kekerapan (n)n ialah jumlah kekerapan. Median= data ke- n + 12= data ke- 11+ 12= data ke-122= data ke-6Masa (minit)10203040Kekerapan1631Kedudukan data12 - 78 - 1011Data pertama ialah 10Data ke-2 hingga ke-7 ialah 20Data ke-6 ialah 20, maka median = 20. Penyelesaian:Jumlah kekerapan = 112.Jadual menunjukkan masa yang diambil untuk menjawab teka silang kata oleh 12 kumpulan murid dalam aktiviti Persatuan Bahasa Melayu.Tentukan median bagi jadual kekerapan ini.Masa (minit)10203040Kekerapan2451Purata data pada kedudukan ke-n2n2dan+ 1

p. 259

BAB 12251Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat Penyelesaian:Jumlah kekerapan= 12 Median= Purata data ken2 dan n2+ 1= Purata data ke- 122 dan 122+ 1= Purata data ke-(6 dan 7) =Data ke-6 + data ke-72Maka, median=Data ke-6 + data ke-72= 20 + 302= 25Data ke-3 hingga ke-6 ialah 20Data ke-7 hingga ke-11 ialah 30Masa (minit)10203040Kekerapan2451Kedudukan data1 - 23 - 67 - 1112CONTOH6Hitung median bagi situasi di sebelah.1.Plot titik menunjukkan jumlah bilangan kehadiran murid ke perpustakaan dalam enam hari.123456Penyelesaian:Jumlah kekerapan = 13Median= data ke13+ 12= data ke-7 = 31123456KekerapanBilangan kupon makanan yang dijual23452.Carta palang menunjukkan bilangan kupon makanan yang telah dijual oleh guru kelas Tingkatan 2S sempena Hari Kokurikulum.Penyelesaian:Jumlah kekerapan = 16Median= Purata data ke- 162 dan 162+ 1= Purata data (ke-8 dan 9)= Data ke-8 + data ke-92= 3 + 32= 3Jumlah kekerapan, ngenapJumlah kekerapan, n ganjil

p. 260

BAB 12252Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatCONTOH7Hitung purata wang jogaton yang telah dipungut oleh Haikal daripada setiap tingkatan.Penyelesaian:Min= RM373.50 + RM424.00 + RM363.00 + RM485.15 + RM355.105 = RM2 000.755 = RM400.15Dalam situasi di atas, kita dapat menghitung satu nilai purata wang jogaton yang telah dipungut. Nilai purata boleh juga disebut sebagai min. Min bagi suatu set data ialah nilai yang diperoleh apabila jumlah nilai data dibahagikan dengan bilangan data.Min = Jumlah nilai dataBilangan data Set data di bawah disebut sebagai data tak terkumpul.2, 3, 1, 1, 2, 2, 4, 4Data ini juga boleh disusun dalam jadual kekerapan seperti berikut.Nombor1234Kekerapan2312Kutipan jogatonTingkatan12345RM373.50RM424.00RM363.00RM485.15RM355.10Hari ini kita telah berjaya mengumpulkan wang jogaton setiap kelas.Saya perlumenghitung purata wang jogaton itu untuk membuat laporan kepada Cikgu Amri. Bagaimanakah nilai purata ini dapat saya tentukan?HaikalChristinaMinCONTOH8Plot titik menunjukkan keputusan kaji selidik berkenaan dengan pengambilan bilangan tin air berkarbonat yang diambil oleh 26 orang murid dalam sehari.Hitung min bilangan tin air berkarbonat yang diambil oleh mereka dalam sehari.0123456Penyelesaian:= (4 × 0) + (3 × 1) + (2 × 2) + (5 × 3) + (7 × 4) + (2 × 5) + (3 × 6)4 + 3 + 2 + 5 + 7 + 2 + 3= 7826= 3Maka, bilangan tin air berkarbonat yang diambil oleh mereka dalam sehari ialah 3 tin.Min bilangan tinair berkarbonat

p. 261

BAB 12253Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatCONTOH9Jadual menunjukkan masa penggunaan Internet bagi murid Tingkatan 2 Iman dalam sehari.Hitung min bagi data yang diberikan dalam jadual kekerapan di atas.Penyelesaian:Penggunaan Internet (jam)12345Bilangan murid261179Penggunaan Internet (jam)Bilangan muridPenggunaan Internet ×Bilangan murid12 1 × 2 = 226 2 × 6 = 12311 3 × 11 = 3347 4 × 7 = 2859 5 × 9 = 45Jumlah35 120Min= Hasil tambah (data × kekerapan)Jumlah kekerapan = 120 jam35= 3.43 jamMaka, min ialah 3.43 jam.Jumlah kekerapanHasil tambah (data × kekerapan)Min bagi data dalam jadual kekerapan boleh diperoleh dengan mengira jumlah hasil darab data dengan kekerapan yang sepadan, kemudian dibahagi dengan jumlah kekerapan. Min = Hasil tambah (data × kekerapan)Jumlah kekerapan CONTOH10Kewujudan nilai ekstremNilai ekstrem ialah nilai yang terlalu kecil atau terlalu besar dalam suatu set data, iaitu nilainya terlalu jauh daripada nilai data-data yang lain dalam setnya.Masa, dalam minit, yang diambil oleh 7 orang murid untuk menyiapkan model poligon tiga dimensi menggunakan blok permainan yang dibekalkan ialah 5, 6, 7, 7, 8, 9, 20 Antara data tersebut, yang mana satu merupakan nilai ekstrem? Jelaskan.Penyelesaian:20 ialah nilai ekstrem kerana nilainya jauh lebih besar daripada data-data yang lain.

p. 262

BAB 12254Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatCONTOH11Kenal pasti nilai ekstrem dalam set data di bawah. Jelaskan jawapan anda. –5, 0, 1, 3, 3, 5, 6Penyelesaian:–5 ialah nilai ekstrem kerana nilainya jauh lebih kecil daripada data-data yang lain.CONTOH12Kesan nilai ekstrem1.Set data di bawah ialah data wang saku yang dibawa oleh lima orang murid ke sekolah.RM3, RM4, RM4, RM6, RM8Hitung mod, median dan min bagi data tersebut.2. Anda dikehendaki menggantikan RM8 dengan RM32, kemudian hitung nilai mod, median dan min yang baharu.Penyelesaian:RM3, RM4, RM4, RM6, RM81.Mod = RM4 Median = RM4 Min= RM3 + RM4 + RM4 + RM6 + RM85= RM255= RM5RM3, RM4, RM4, RM6, RM322.Mod = RM4 Median = RM4 Min= RM3 + RM4 + RM4 + RM6 + RM325= RM495= RM9.80Nilai ekstrem12.1.2Kesan perubahan suatu set data terhadap nilai mod, min dan medianData ditukar secara seragamJalankan aktiviti yang diberikan untuk mengenal pasti kesan terhadap mod, median, dan min apabila setiap data ditukar secara seragam atau tidak seragam.Membuat kesimpulan tentang kesan perubahan suatu set data terhadap nilai mod, min dan median.Tujuan:Menyiasat kesan perubahan terhadap min, median dan mod jika setiap data ditukar secara seragamBahan: Lembaran kerjaLangkah: Lima orang murid A, B, C, D dan E, diberikan soalan Kuiz Matematik dengan skor minimum 20. Jadual di sebelah menunjukkan keputusan mereka.Hasil daripada pengiraan menunjukkan bahawa, apabila suatu nilai ekstrem wujud dalam set data, maka data tersebut akan mempengaruhi nilai min. Seperti contoh di atas, nilai min didapati berubah dengan peningkatan sebanyak RM4.80 manakala nilai median dan mod tidak berubah dengan adanya nilai ekstrem.

p. 263

BAB 12255Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat1. Salin dan lengkapkan jadual yang berikut untuk menentukan min, median dan mod bagi skor lima orang murid itu.2. Salin dan lengkapkan jadual di bawah.Perbincangan: (i) Bandingkan jawapan yang diperoleh antara baris 1, baris 2, dan baris 3 dalam Jadual 1. Apakah kesimpulan yang boleh anda buat mengenai min, median dan mod apabila data itu diubah secara seragam?(ii)Bandingkan pula nilai min, median dan mod bagi skor asal dan skor baharu dalam Jadual 2. Apakah kesimpulan yang boleh anda buat mengenai min, median dan mod apabila setiap data itu diubah secara tidak seragam?MuridAminBenChiaDonEvaSkor34468SkorMuridMinMedianModAminBenChiaDonEvan34468n + 1n × 2Baris 1Baris 2Baris 3Jadual 1SkorMuridMinMedianModAminBenChiaDonEvaSkor asal34468Penambahan skor+1+2+3+4+5Skor baru4Jadual 2Daripada aktiviti tersebut, apabila data diubah secara seragam seperti dalam Jadual 1 iaitu setiap data asal ditambah dengan 1 (baris 2) atau didarab dengan 2 (baris 3), kita mendapati nilai min, median dan mod juga akan ditambah 1 atau didarab dengan 2.Hal ini bermakna perubahan data secara seragam akan menyebabkan perubahan min, median, dan mod secara seragam juga.Namun, apabila data itu diubah secara tidak seragam, maka nilai min, median dan mod juga akan berubah secara tidak seragam.CONTOH13Kanang membeli 5 jenis alat tulis di koperasi sekolah yang masing-masingnya berharga RM1, RM2, RM3, RM3 dan RM6.(a)Hitung min, median dan mod bagi set data tersebut.(b)Hitung min, median dan mod yang baharu jika setiap harga alat tulis itu(i) ditambah RM2(ii) didarab 3

p. 264

BAB 12256Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat(b) (i) Data baharu apabila nilai asal ditambah RM2 ialah RM3, RM4, RM5, RM5 dan RM8.Min= RM3 + RM4 + RM5 + RM5 + RM85 Median = RM5 Mod = RM5= RM255= RM5 (ii) Nilai min asal juga ditambah RM2Nilai median asal juga ditambah RM2Nilai mod asal juga ditambah RM2 Data baharu apabila nilai asal didarab 3 ialah RM3, RM6, RM9, RM9 dan RM18.Min = RM3 + RM6 + RM9 + RM9 + RM185 Median = RM9 Mod = RM9 = RM455= RM9Nilai median asal juga didarab 3Nilai mod asal juga didarab 3Berdasarkan contoh tersebut, apabila data diubah secara seragam, nilai min, median dan mod yang baharu juga berubah secara seragam.CONTOH14Skor Raju dalam kuiz bahasa Jepun ialah 3, 6 dan 6.(a)Hitung min, median dan mod bagi set data itu.(b)Tambahkan data pertama dengan 1, tambahkan data kedua dengan 2 dan tambahkan data ketiga dengan 3. Seterusnya, hitung nilai min, median dan mod yang baharu.Penyelesaian:(a)Min= 3 + 6 + 63 , Median = 6, Mod = 6= 153= 5Berdasarkan contoh tersebut, apabila data diubah secara tidak seragam, nilai min, median dan mod yang baharu juga berubah secara tidak seragam.(b) Data baharu ialah (3 + 1), (6 + 2), (6 + 3) iaitu 4, 8 dan 9.Min= 4 + 8 + 93 , Median = 8, Tiada mod= 213= 712.1.3 Mengorganisasikan data bagi jadual kekerapan data terkumpulJadual kekerapan bagi data terkumpulMengumpul data, membina dan mentafsir jadual kekerapan bagi data terkumpul.Penyelesaian:(a) RM1, RM2, RM3, RM3, RM6Min= RM1 + RM2 + RM3 + RM3 + RM65 Median = RM3 Mod = RM3= RM155= RM3Nilai min asal juga didarab 3

p. 265

BAB 12257Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatTujuan: Mengorganisasikan data mengikut kumpulan atau kelasBahan: Lembaran kerja, penimbangLangkah:1.Setiap murid di dalam kelas dikehendaki menimbang berat masing-masing dan catatkan berat itu pada papan putih.2.Organisasikan data berat, dalam kg, yang didapati itu dalam jadual di sebelah mengikut selang kelas berikut.30 - 39, 40 - 49, 50 - 59, 60 - 69, 70 - 794.Gundal dan lengkapkan jadual kekerapan di sebelah.Perbincangan: Apakah perbezaan antara jadual kekerapan data terkumpul dengan jadual kekerapan data tak terkumpul yang telah anda pelajari sebelum ini?Berat (kg)GundalKekerapan30 - 3940 - 4950 - 5960 - 6970 - 79Kelas ini dapat mengkategorikan data itu kepada beberapa kumpulan yang sesuai seperti gred keputusan, lulus atau gagal, tahap pencapaian dan sebagainya. Maklumat-maklumat ini akan membantu kita membuat rumusan.Situasi ini sangat penting apabila kita ingin mengorganisasikan set data yang besar.Daripada aktiviti rangsangan minda di atas, kita mendapati bahawa bagi jadual kekerapan data terkumpul,datadiklasifikasikandalamkelastertentudenganselangyangseragam.CONTOH15Set data menunjukkan markah ujian Matematik bagi 30 orang murid Tingkatan 2 Zuhal dalam Peperiksaan Pertengahan Tahun. Organisasikan data tersebut dalam jadual kekerapan mengikut kelas yang diberi.MarkahGundalanKekerapan0 - 1920 - 3940 - 5960 - 7980 - 99855875415312616345723755294295312218251947385078589057634988Markah Matematik Tingkatan 2 ZuhalDalam contoh di atas, markah itu telah diklasif ikasikan kepada lima bahagian yang mempunyai selang kelas yang sama.INGAT!Gundalan= 5Cara gundalan bagi kelas:Contohnya, markah 85 terletak dalam kelas 80 - 99. Maka, gundalkan pada ruang 80 - 99.MarkahGundalanKekerapan0 - 19320 - 39640 - 591160 - 79680 - 994Penyelesaian:Data dalam kelas 80 - 99 ialah 85, 88, 90 dan 95

p. 266

BAB 12258Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatCONTOH16Silvia menemu ramah 20 orang kawan-kawannya tentang masa mereka bangun daripada tidur pada waktu pagi semasa cuti sekolah yang lepas. Dapatan daripada temu ramah itu adalah seperti di sebelah.Organisasikan data masa (a.m.) itu dalam jadual kekerapan mengikut kelas berikut.Masa bangun pagi (a.m.)6:006:355:016:426:225:405:307:236:036:156:405:415:206:456:505:356:406:056:506:35Masa (a.m.)GundalanKekerapan5:00 - 5:295:30 - 5:596:00 - 6:296:30 - 6:597:00 - 7:29Daripada jadual kekerapan tersebut:(a)Nyatakan bilangan murid yang bangun pada pukul 6:00 a.m. - 6:29 a.m.(b) Perihalkan tentang jumlah kekerapan tertinggi dan terendah, masa murid bangun daripada tidur.Penyelesaian:(a)5 orang murid(b)Daripada jadual kekerapan itu didapati, murid paling ramai bangun pada pukul 6:30 a.m. - 6:59 a.m. iaitu 8 orang. Hanya seorang sahaja murid yang bangun pada pukul 7:00 a.m. - 7:29 a.m..Masa (a.m.)GundalanKekerapan5:00 - 5:2925:30 - 5:5946:00 - 6:2956:30 - 6:5987:00 - 7:29112.1.4Kelas mod dan min bagi suatu set data terkumpulMenentukan kelas mod dan min bagi suatu set data terkumpul.CONTOH17Hasil kajian tentang wang saku mingguan, dalam RM, yang dibawa oleh 30 orang murid SMK Tasek Damai ditunjukkan dalam jadual di bawah.152118223540554045502532451510203545152525156030455030101230

p. 267

BAB 12259Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatWang saku (RM)GundalanKekerapan1 - 10211 - 2021 - 3031 - 4041 - 5051 - 601.Lengkapkan jadual taburan kekerapan di bawah.2.Daripada jadual taburan kekerapan itu, nyatakan kelas yang mempunyai kekerapan tertinggi.Penyelesaian:1.2.Kelas yang mempunyai kekerapan tertinggi ialah kelas 21 - 30.Setelah data itu diorganisasikan, kita akan mengetahui kelas mod daripada nilai kekerapan yang paling tinggi. Dalam contoh di atas, kekerapan tertinggi ialah 8 dan kelasnya ialah 21 - 30. Maka, kelas 21 - 30 dikenali sebagai kelas mod.CONTOH18Jadual kekerapan di bawah menunjukkan markah bagi ujian kecerdasan bagi 30 orang murid. Kenal pasti kelas mod.Penyelesaian:Markah40 - 4445 - 4950 - 5455 - 5960 - 6465 - 69Kekerapan741495Kekerapan tertinggi = 9Kelas mod = 60 - 64Markah40 - 4445 - 4950 - 5455 - 5960 - 6465 - 69Kekerapan741495Kelas modKekerapan tertinggi Wang saku (RM)GundalanKekerapan1 - 10211 - 20721 - 30831 - 40541 - 50651 - 602Kelas modKekerapan tertinggi

p. 268

BAB 12260Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBilangan surat khabarBilangan kedai (kekerapan)70 - 74475 - 791080 - 84885 - 892Bilangan surat khabarTitik tengahBilangan kedai (kekerapan)70 - 74 = 72 4 75 - 79 = 771080 - 84 = 82885 - 89 = 87270 + 74275 + 79280 + 84285 + 892Jadual kekerapan di bawah merekodkan bilangan surat khabar yang dijual oleh kedai yang berlainan dalam satu minggu. Hitung titik tengah bagi setiap kelas.Penyelesaian:Daripada titik tengah yang diperoleh, hitung min dengan rumus berikut.Min = Hasil tambah (kekerapan × titik tengah)Jumlah kekerapan CONTOH19Jadual di bawah merekodkan tinggi 30 batang anak pokok yang dicerap oleh Umeswary dalam satu eksperimen sains. Hitung min bagi tinggi anak pokok itu.Tinggi pokok (cm)Kekerapan5 - 9410 - 14515 - 19420 - 24825 - 29730 - 342CONTOH20Untuk mendapatkan min bagi suatu set data terkumpul, titik tengah bagi setiap selang kelas perlu ditentukan terlebih dahulu.HadbawahHadatasTitik tengah Had bawah + had atas2Min bagi suatu set data terkumpul

p. 269

BAB 12261Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatPenyelesaian:1.Hitung titik tengah bagi setiap kelas.2. Darabkan setiap titik tengah itu dengan kekerapan.Tinggi pokok (cm)Titik tengahKekerapan5 - 9 = 7 410 - 14 = 12515 - 19 = 17420 - 24 = 22825 - 29= 27730 - 34= 3225 + 9210 + 14215 + 19220 + 24225 + 29230 + 342Tinggi pokok (cm)Titik tengah, xKekerapan,fKekerapan × titik tengah, f x5 - 9 = 7 4 4 × 7 = 2810 - 14 = 125 5 × 12 = 6015 - 19 = 174 4 × 17 = 6820 - 24 = 228 8 × 22 = 17625 - 29= 277 7 × 27 = 18930 - 34= 322 2 × 32 = 64∑f = 30∑f x = 5855 + 9210 + 14215 + 19220 + 24225 + 29230 + 342Min bagi data terkumpul boleh juga ditulis dalam bentuk simbol.∑f x∑fx =∑ dibaca sebagai “sigma”.∑ ialah tatatanda bagi hasil tambah.fx mewakili kekerapan darabtitik tengah.f mewakili kekerapan.Tatatanda bagi min, disebut“x bar ”.3.Hitung min ketinggian bagi anak pokok. Min = hasil tambah (kekerapan × titik tengah)jumlah kekerapan= ∑f x∑f= 58530= 19.5

p. 270

BAB 12262Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat12.1.5Pemilihan sukatan kecenderungan memusat yang paling sesuaiKitabolehmemilihdanmemberikanjustifikasikepadamana-manasukatan kecenderungan memusat untuk memerihalkan taburan sesuatu set data yang diberikan mengikut kesesuaian data tersebut.Memilih dan menjustifikasikan sukatan kecenderungan memusat yang sesuai untuk memerihal taburan suatu set data, termasuk set data yang mempunyai nilai ekstrem.Mod paling sesuai digunakan apabila data yang digunakan ialah data kategori. Contohnya, item kegemaran atau item popular.Min dipilih sebagai sukatan kecenderungan memusat kerana melibatkan keseluruhan data. Apabila terdapat nilai ekstrem, min tidak dapat memberikan tafsiran tepat tentang data kerana nilai ekstrem itu mempengaruhi min. Median ialah sukatan kecenderungan memusat yang lebih sesuai digunakan apabila terdapat nilai ekstrem. Nilai ekstrem tidak mempengaruhi median.Jenis data adalah sangat penting apabila kita ingin membuat pemilihan sukatankecenderunganmemusatyangsesuai.Justifikasipemilihanjuga harus jelas agar tepat dan dapat mewakili keseluruhan data.Tentukan jenis sukatan kecenderungan memusat yang sesuai bagi situasi berikut.1.Plot batang dan daun menunjukkan berat guli dalam 10 balang plastik. Penyelesaian:Min kerana tiada nilai ekstrem dalam set data.2.Piktograf menunjukkan perisa aiskrim yang digemari murid Tadika Idaman.Penyelesaian:Mod kerana data ini ialah data kategori dan ingin menentukan item kegemaran.CONTOH21Batang5670126168497DaunKekunci: 5 | 0 bermaksud 50 gBerat guliPerisaKekerapanCoklatPandanKeladiStrawberiPerisa aiskrim kegemaranmewakili 5 murid

p. 271

BAB 12263Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat4.Jadual menunjukkan masa bagi murid Tingkatan 2 Melor melayari Internet. Penyelesaian:Min kerana tiada nilai ekstrem dalam set data.5.Plot titik menunjukkan masa bagi 10 orang pemandu yang membuat perjalanan dari Ipoh ke Melaka dengan menaiki kereta.Penyelesaian:Median kerana terdapat nilai ekstrem dalam set data.6.Carta pai menunjukkan buah-buahan yang menjadi kegemaran murid di Tingkatan 2 Gemilang.Penyelesaian:Mod kerana data ini ialah data kategori dan ingin menentukan item kegemaran.7.Carta palang menunjukkan masa bagi beberapa orang murid mengulang kaji pelajaran dalam sehari.Penyelesaian:Median kerana terdapat nilai ekstrem dalam set data.3.Graf garis menunjukkan pengeluaran kelapa sawit bagi sesebuah kilang dalam tempoh 5 bulan.Penyelesaian:Min kerana tiada nilai ekstrem dalam set data.Pengeluaran (ribu tan)1020304050607080OJanFebMacAprMeiPengeluaran kelapa sawitBilangan jam penggunaan Internet1234567Bilangan murid2557643Bilangan jam penggunaan Internet bagi murid Tingkatan 2 Melor23456789Masa pemanduan dari Ipoh ke Melakamasa (jam)11412108642KekerapanBilangan jam ulang kaji2345Masa mengulang kaji pelajaranDuku21%Pisang16%Rambutan29%Langsat10%Durian24%Buah-buahan kegemaran murid Tingkatan 2 Gemilang

p. 272

BAB 12264Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat12.1.6Mod, min dan median daripada perwakilan dataPenggunaan sukatan kecenderungan memusat dalam statistik atau kegiatan harian.Menentukan mod, min dan median daripada perwakilan data.CONTOH22Tentukan mod bagi setiap perwakilan data berikut.(a) Carta palang menunjukkan bilangan pelancong ke pulau peranginan.Penyelesaian:Mod ialah Pulau Perhentian dan Pulau Langkawi.(b) Piktograf menunjukkan jenis buah-buahan yang digemari oleh murid Tingkatan 2 Bestari.Penyelesaian:Tiada mod.2Pulau LangkawiPulau PangkorPulau PerhentianPulau Redang46810Bilangan pelancong (ribu)Pulau peranginanPisangTembikaiDurianManggaBuah-buahan kegemaran murid Tingkatan 2 BestariItemKeuntungan (%)Buku87Perisian komputer54Tiket wayang72Aksesori wanita130Pakej pelancongan78Keuntungan jualan(c)Carta pai menunjukkan pengangkutan yang digunakan oleh murid ke sekolah.Penyelesaian:Mod ialah bas.(d)Jadual menunjukkan peratus keuntungan jualan barangan atas talian dalam satu kajian tahunan.Penyelesaian:Mod ialah aksesori wanita.mewakili 3 muridBerjalan kakiKereta Bas MotosikalPengangkutan murid ke sekolah110º20º140º

p. 273

BAB 12265Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatCONTOH23Carta palang menunjukkan komisen yang diperoleh sekumpulan pekerja di sebuah restoran dalam seminggu.(a)Hitung min, median dan mod komisen yang diterima oleh pekerja itu dalam seminggu.(b)Hitung pecahan pekerja yang menerima komisen yang kurang atau sama dengan RM32.Penyelesaian:(a)Min= 4(30) + 5(31) + 9(32) + 7(33) + 4(34) + 1(35)4 + 5 + 9 + 7 + 4 + 1=96530= RM32.17 Median= Purata data ke- 302+ 1302dan = Purata data ke- (15 dan 16)=Data ke-15 + data ke-162=32 + 322= RM32Mod = RM32(b)Pecahan bilangan pekerja yang menerima komisen kurang atau sama dengan RM 32 = 4 + 5 + 930=35CONTOH24Jadual menunjukkan bilangan kesalahan ejaan murid di Tingkatan 2 Amanah yang dilakukan ketika menulis karangan Bahasa Melayu.(a)Jika min bilangan kesalahan ejaan murid itu ialah 2.4, hitung nilai bagi x.(b)Jika median bagi taburan kekerapan itu ialah 3, hitung nilai yang maksimum bagi x.(c)Jika mod bagi kesilapan ejaan yang dilakukan oleh murid ialah 2, tentukan nilai minimum yang mungkin bagi x.Penyelesaian:(a) Min = 4(0) + 8(1) + x(2) + 6(3) + 5(4) + 4(5)4 + 8 + x + 6 + 5 + 4= 2.42x + 66x + 27= 2.4 2x + 66= 2.4(x + 27) 2x + 66= 2.4x + 64.8 2.4x – 2x= 66 – 64.8 0.4x= 1.2x= 3 Bilangan kesalahan ejaan012345Bilangan murid48x65430246810KekerapanKomisen (RM)3132333435Komisen yang diperoleh sekumpulan pekerja restoran dalam seminggu

p. 274

BAB 12266Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat(b)0, 0, 0, 0 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 2,…,2 3 3, 3, 3, 3, 3 4, 4, 4, 4, 4 5, 5, 5, 5 Maka, nilai yang maksimum bagi x ialah 2.(c)Nilai minimum yang mungkin bagi x ialah 9.Nilai terbesar bagi x jikamediannya di sini4 + 8 + x= 5 + 5 + 4 12 + x= 14x= 2Maka, nilai terbesar bagi x = 2Dalam membuat perbandingan atau pemilihan sukatan kecenderungan memusat yang paling sesuai, kepentingan julat juga harus diambil perhatian.12.1.7Sukatan kecenderungan memusat dalam membuat ramalan, membentuk hujah dan membuat kesimpulanMengaplikasikan kefahaman tentang sukatan kecenderungan memusat untuk membuat ramalan, membentuk hujah yang meyakinkan dan membuat kesimpulan.48x554CONTOH25Cikgu Rahman ingin memilih seorang wakil sekolah ke pertandingan boling peringkat zon. Ramesh dan Khairil adalah antara pemain yang telah disenaraipendekkan dalam pemilihan ini. Dalam lima latihan yang terakhir sebelum pemilihan wakil sekolah dijalankan, skor balingan yang telah diperoleh Ramesh ialah 116, 118, 200, 207 dan 209. Skor balingan yang diperoleh Khairil ialah 240, 240, 75, 220 dan 75. Pemain yang manakah akan dipilih sebagai wakil sekolah?Penyelesaian:= 116 + 118 + 200 + 207 + 2095= 8505= 170 Kedua-dua orang pemain mempunyai min yang sama. Oleh itu, min tidak boleh digunakan dalam keputusan pemilihan wakil sekolah.Julat skor balingan Ramesh= 209 – 116 = 93Kita mendapati bahawa julat skor balingan Ramesh lebih rendah berbanding dengan Khairil sebab ada di antara skor Khairil sangat rendah (nilai ekstrem) menyebabkan julatnya menjadi besar. Oleh itu, pemilihan Ramesh sebagai wakil sekolah adalah lebih tepat.Skor minRamesh= 240 + 240 + 75 + 220 + 755= 8505= 170Skor minKhairilJulatialah beza antara nilai yang terkecil dengan nilai yang terbesarJulat skor balingan Khairil= 240 – 75 = 165

p. 275

BAB 12267Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat(ii)Set data pasukan Kijang ialah 32, 65, 88 , 95, 96. Maka, median = 88Set data pasukan Harimau ialah 50, 65, 87 , 87, 90. Maka, median = 87Set data pasukan Seladang ialah 44, 46, 80 , 85, 90. Maka, median = 80Pasukan Kijang dipilih kerana nilai mediannya paling tinggi, iaitu 88.(b)Min. Hal ini demikian kerana min menggunakan keseluruhan set data dalam jadual tersebut. Oleh sebab itu, min sangat sesuai digunakan kerana tiada nilai ekstrem dalam set data itu.CONTOH26Cikgu Johan membentuk tiga pasukan bola keranjang. Jadual di bawah menunjukkan jumlah jaringan yang dibuat oleh pasukan-pasukan tersebut dalam lima pertandingan yang telah dijalankan.PasukanPertandingan12345Kijang6595329688Harimau5090658787Seladang9085464480(a)Anda ingin menyertai salah satu daripada pasukan tersebut.(i)Dengan mengambil kira min, pasukan manakah yang akan anda sertai? Jelaskan jawapan anda dengan menunjukkan jalan kerja.(ii)Jika anda mengambil kira pula median dalam membuat keputusan, pasukan manakah yang anda pilih? Jelaskan.(b)Jika Cikgu Johan diminta untuk mengemukakan laporan pencapaian pasukan Harimau kepada pengetua sekolah, sukatan kecenderungan memusat yang manakah sepatutnya yang dipilih oleh Cikgu Johan? Jelaskan. Penyelesaian:(a) (i)Min Kijang= 65 + 95 + 32 + 96 + 88 5= 75.2 Min Harimau= 50 + 90 + 65 + 87 + 87 5= 75.8 Min Seladang= 90 + 85 + 46 + 44 + 80 5= 69 Pasukan Harimau dipilih kerana nilai min bagi pasukan Harimau adalah yang paling tinggi, iaitu 75.8.

p. 276

BAB 12268Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatCarta palang di atas menunjukkan pilihan makanan di kantin sekolah pada bulan Januari dan Februari untuk kajian bagi 400 orang murid.(a)Sukatan kecenderungan memusat yang manakah sesuai bagi situasi di atas? Jelaskan.(b)Adakah anda bersetuju dengan pernyataan di atas? Jelaskan.(c)Anda merupakan ahli jawatankuasa kantin dalam Persatuan Pengguna. Anda diminta untuk mencadangkan makanan yang perlu dikurangkan penjualannya. Berikan alasan anda.Penyelesaian:(a)Daripada graf di atas didapati min dan median tidak sesuai digunakan kerana data yang diberikan ialah data kategori. Maka, mod adalah lebih sesuai.(b)Bersetuju kerana nasi lemak ialah mod bagi bulan Januari dan Februari.(c)Bihun goreng perlu dikurangkan kerana mempunyai kekerapan yang terendah dalam bulan Januari dan Februari.Nasi lemak ialah hidangan yang paling digemari oleh murid.12.11.Nyatakan mod bagi setiap set data berikut.(a) 3, 0, 1, 1, 4, 3, 2, 2, 1 (b) RM10, RM8, RM7, RM7, RM8, RM9(c) 64, 60, 63, 60, 60, 672.Jadual menunjukkan saiz baju 145 orang peserta larian Jom Sihat.Nyatakan mod bagi saiz baju itu.SaizSSSMLXLXXLKekerapan201715373125CONTOH2720406080100120140KekerapanMakananBihunGorengMiGorengNasiGorengNasiLemakLaksaJanuari20406080100120140KekerapanMakananBihunGorengMiGorengNasiGorengNasiLemakLaksaFebruari

p. 277

BAB 12269Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat3.Nyatakan mod bagi perwakilan data di bawah.(a)(b)(c)(d)Isi padu minyak di dalam botol0.10.20.30.40.5Isi padu (liter)1246810KekerapanUpah (RM)234Upah murid menjual penanda bukuBatang23461061272582236777DaunKekunci: 2 | 6 bermaksud 26 kmMarkah ujian kecerdasan4.Tentukan median bagi set data berikut.(a) 7, 5, 7, 8, 3, 12(b) 37, 38, 27, 28, 48, 47, 58, 68(c) 3, 200, 4, 10, 50, 7, 90, 3, 50, 11, 35.Jadual menunjukkan bilangan penumpang feri di jeti Pulau Pangkor pada bulan Januari. Hitung median.Bilangan penumpang10203040Kekerapan587106.Hitung median bagi perwakilan data berikut.(a)Plot titik menunjukkan bilangan murid yang mengunjungi pusat akses dalam masa seminggu.(b)Carta palang menunjukkan saiz buah mandarin yang dijual di sebuah kedai semasa Tahun Baru Cina.345678Bilangan murid yang mengunjungi pusat akses dalam masa seminggu S1530456075KekerapanSaiz buah mandarinMLXLJualan buah mandarinWarna kegemaran ahli Kumpulan HelangMerah75°KuningBiruHijau100°65°120°

p. 278

BAB 12270Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat7.Hitung min bagi setiap set data yang berikut.(a)9, 5, 2, 3, 11, 12(b) 3.5, 2.4, 1.7, 3.2, 4.58. (a)Diberi nilai min bagi 4, 7, x, 9, 8 ialah 6. Hitung nilai x.(b)Diberi nilai min bagi 7 cm, 15 cm, 12 cm, 5 cm, h cm dan 13 cm ialah 10 cm. Hitung nilai h.9.Jadual menunjukkan bilangan hari ketidakhadiran 40 orang murid pada bulan Januari.Hitung min ketidakhadiran pada bulan Januari. Bundarkan jawapan anda kepada nombor bulat terhampir.Bilangan ketidakhadiran0123458Kekerapan2434521110.Lengkapkan jadual kekerapan berikut.(a)(b)18 28 18 2418 23 30 2426 35 22 1316 33 19 32 6 16 34 2747 34 23 2347 48 54 4242 65 43 1531 32 48 5835 39 42 31Data menunjukkan umur bagi20 orang pelawat Muzium Negara.Umur (tahun)GundalanKekerapan6 - 10\/111 - 1516 - 2021 - 2526 - 3031 - 35Data menunjukkan bilangan bola ping pong di dalam 20 bakul.Bilangan bola ping pongGundalanKekerapan10 - 19\/111. 2, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 16, 17, 40(a)Hitung min, median dan mod.(b)Sukatan kecenderungan memusat yang manakah sesuai digunakan? Jelaskan.

p. 279

BAB 12271Bab 12 Sukatan Kecenderungan Memusat12.Jadual menunjukkan skor markah ujian ejaan Bahasa Inggeris bagi sekumpulan murid Tingkatan 1.(a)Hitung min, median dan mod.(b)Sukatan kecenderungan memusat yang manakah sesuai digunakan? Jelaskan.Skor5678910Bilangan murid41612765Batang234130617171311516011235DaunKekunci: 2 | 0 bermaksud 20 mlIsi padu larutan kimia14.Sukatan kecenderungan memusat yang manakah yang sesuai digunakan untuk menerangkan situasi berikut?(a) Bilangan murid bagi setiap persatuan dan kelab uniform di sekolah.(b) Rancangan televisyen kegemaran murid di dalam kelas anda.(c) Bilangan haiwan peliharaan yang dimiliki oleh murid Tingkatan 2 Amanah.13.Tentukan sukatan kecenderungan memusat yang sesuai digunakan dalam situasi berikut. Berikan justifikasi bagi jawapan anda.(a)Carta palang menunjukkan bilangan tiket konsert yang dijual oleh Kelab Teater sekolah mengikut harganya.(b)Plot batang dan daun menunjukkan isi padu larutan kimia, dalam ml, bagi 19 botol yang berbeza.1.Jadual menunjukkan bilangan anak bagi 40 buah keluarga dalam satu program motivasi.Kenal pasti mod.2.Min bagi tujuh nombor ialah 10. Lima daripada nombor itu ialah 6, 5, 14, 10 dan 11. Dua lagi nombor masing-masing diwakili dengan k. Hitung(a) jumlah tujuh nombor tersebut.(b) nilai bagi k.Bilangan anak012345Kekerapan3285175MENJANA KECEMERLANGANHarga tiket (RM)123456Kekerapan12345Jualan tiket konsert

p. 280

BAB 12272Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatBatang78921231645DaunKekunci: 7 | 2 bermaksud 72 markahMarkah ujian Matematik678910Bilangan bungkusan (paket)Bungkusan mi yang dijualMarkah51015202530Kekerapan27511973.Hitung min bagi setiap perwakilan data berikut. (a) (b) 4.Jadual menunjukkan markah ujian kelayakan peserta kuiz Sejarah yang diperoleh sekumpulan murid. Hitung median.5.Diberi nombor 2, 4, 6, 6, 8 dan 12.(a) Kenal pasti min, median dan mod bagi set data tersebut.(b) Hitung min, median dan mod yang baharu jika setiap nombor itu (i) ditambah 2.(ii) didarab 2. (iii)ditolak 2.(iv)dibahagi 2.6.Diberi min bagi empat nombor ialah 14. Jika dua nombor ditambah dalam set data nombor tersebut, iaitu x dan x + 2, min baharunya ialah 15. Hitung nilai x.7.Min bagi empat nombor ialah 71. Dua daripada nombor itu ialah 56 dan 48. Nilai bagi dua nombor lagi ialah x bagi setiap satu.(a) Hitung (i) jumlah keempat-empat nombor itu.(ii) nilai x.(b) Jika setiap empat nombor itu ditolak dengan 5, hitung nilai min baharu.8.Plot batang dan daun mewakili jarak larian sekumpulan peserta acara larian amal.(a)Kenal pasti (i) min(ii) mod(iii) median jarak yang dilalui oleh semua peserta.(b) Berapa peratuskah peserta yang melalui jarak yang lebih dan sama dengan 32 km?Batang234302412629224458DaunKekunci: 2 | 3 bermaksud 23 kmJarak larian peserta

p. 281

BAB 12273Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatMasa (minit)246810Bilangan muridx2y6149.Carta palang menunjukkan bilangan pesanan ringkas yang dihantar oleh 30 orang murid dalam satu minggu.(a)Hitung (i) min(ii) mod(iii) median pesanan ringkas yang dihantar oleh murid.(b)Hitung dalam bentuk pecahan, murid yang menghantar kurang daripada 33 pesanan ringkas dalam seminggu.10.Masa bagi 40 orang murid menyelesaikan teka silang kata direkodkan.(a)Tunjukkan bahawa x + y = 18.(b)Jika y = 6, hitung min bagi data tersebut.(c)Kenal pasti: (i) median(ii) modmasa bagi murid-murid itu menyelesaikan teka silang kata tersebut.11.Malek, Rani dan Yip telah dipilih ke pusingan akhir pertandingan lompat jauh. Mereka telah membuat lompatan masing-masing sebanyak tiga kali dan jarak lompatan mereka direkodkan, dalam meter.Daripada data di atas, sukatan kecenderungan memusat yang manakah anda pilih untuk menentukan pemenang pingat emas, perak dan gangsa? Jelaskan.12.Joshua telah mendapat markah 74, 95, 98, 84 dan 74 dalam beberapa kali ujian Sejarah yang didudukinya.(a)Bagaimanakah Joshua ingin meyakinkan ibu bapanya bahawa dia sudah berusaha bersungguh-sungguh untuk mencapai keputusan yang terbaik dalam ujian Sejarah? Sukatan kecenderungan memusat yang manakah yang harus digunakan oleh Joshua untuk tujuan ini? Berikan alasan.(b)Cikgu Shamsudin ialah guru Sejarah Joshua. Dia memujuk Joshua supaya berusaha lebih kuat lagi kerana markah subjek Sejarahnya masih belum konsisten. Markah manakah yang dirujuk oleh cikgu Shamsudin semasa menyatakan kerisauannya terhadap pencapaian Joshua?Bilangan pesanan ringkas123456789Kekerapan303132333435Bilangan pesanan ringkasPesertaLompatan123Malek3.24.56.1Ravi6.33.45.2Yip4.56.74.9

p. 282

BAB 12274Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatSukatan Kecenderungan MemusatNilai purata yang mewakili suatu set dataMinDipilih mewakili data apabila melibatkan keseluruhan data sekiranya tidak wujud nilai ekstrem.MedianDipilih mewakili data apabila wujud nilai ekstrem.ModDipilih mewakili data apabila menentukan item dengan kekerapan paling tinggi.INTI PATI BABMinMin = Jumlah nilai dataBilangan dataMin = Hasil tambah (kekerapan × titik tengah)Jumlah kekerapanMedianNilai atau data yang berada di tengah-tengah setelah data disusun mengikut tertib menaik atau menurun.ModNilai atau data yang paling kerap berulang dalam set data. Kelas ModKelas yang mempunyai kekerapan tertinggi.Pemilihan sukatan kecenderungan memusat∑fx∑fx =

p. 283

BAB 12275Bab 12 Sukatan Kecenderungan MemusatAnda dikehendaki mendapatkan maklumat dan menulis laporan tentang ketinggian dan berat badan murid dalam tiga buah kelas tingkatan 2 yang berbeza. Dapatkan data tentang jantina, ketinggian dan berat melalui kaedah soal selidik. Kemudian, organisasikan data anda dengan menggunakan jadual kekerapan yang sesuai. Anda boleh menggunakan perisian komputer atau secara manual dalam penulisan laporan ini. Bagi data setiap kelas, analisis data tersebut dengan menggunakan sukatan kecenderungan memusat, iaitu mod, min dan median. Nyatakan sukatan kecenderungan memusat yang anda pilih bagi mewakili data tersebut. Seterusnya, hitung IJB bagi setiap murid dan berikan cadangan berkaitan dengan gaya hidup sihat.Pada akhir bab ini, saya dapat:1. Menentukan nilai mod, min dan median bagi suatu set data tak terkumpul.2. Membuat kesimpulan tentang kesan perubahan suatu set data terhadap nilai mod, min dan median.3.Mengumpul data, membina dan mentafsir jadual kekerapan bagi data terkumpul.4. Menentukan kelas mod dan min bagi suatu set data terkumpul.5. Memilihdanmenjustifikasisukatankecenderunganmemusatyangsesuai untuk memerihalkan taburan suatu set data, termasuk set data yang mempunyai nilai ekstrem.6.Menentukan nilai mod, min dan median daripada perwakilan data.7.Mengaplikasikan kefahaman tentang sukatan kecenderungan memusat untuk membuat ramalan, membentuk hujah yang meyakinkan dan membuat kesimpulan.REFLEKSI DIRI

p. 284

BAB 13276Bab 13 Kebarangkalian Mudah13.1KebarangkalianEksperimen13.2Kebarangkalian Teori yang Melibatkan Kesudahan Sama Boleh Jadi13.3Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap13.4 Kebarangkalian Mudah•Probability•Sample space•Event•Complement of an event•Theoretical probability•Experimental probability•Tree diagram•Kebarangkalian•Ruang sampel•Peristiwa•Peristiwa pelengkap•Kebarangkalian teori•Kebarangkalian eksperimen•Gambar rajah pokokPasukan merah jambu menentang pasukan biru dalam satu perlawanan bola jaring. Berdasarkan rekod, pasukan merah jambu melakukan 12 jaringan daripada 18 percubaan. Pasukan biru melakukan 18 jaringan daripada 30 percubaan. Apakah nisbah bilangan jaringan kepada bilangan percubaan untuk pasukan merah jambu dan pasukan biru? Pada pendapat anda, pasukan manakah yang akan memenangi perlawanan tersebut? 276RANGKAI KATAANDA AKAN MEMPELAJARI

p. 285

BAB 13277Bab 13 Kebarangkalian MudahUntuk maklumat lanjut:MASLAHAT BAB INIAhli ekonomi menggunakan ilmu kebarangkalian dalam meramalkan kenaikan atau penurunan nilai saham, bergantung pada keadaan ekonomi semasa dan faktor politik sesebuah negara. Ahli meteorologi menggunakan ilmu kebarangkalian dalam meramal perubahan cuaca dan angin untuk keesokan harinya dan hari-hari mendatang.Ahli perniagaan juga menggunakan ilmu kebarangkalian dalam mengkaji statistik keuntungan perniagaan mereka dan meramalkan keuntungan yang bakal dan yang ingin diperoleh.Richard Carl Jeffrey seorang ahli falsafah yang inovatif pada abad ke-20. Beliau juga merupakan salah seorang ahli jabatan falsafah di Universiti Princeton antara tahun 1974-1999. Beliau banyak menyumbang idea dalam bidang logik dan statistik. Buku ‘The Logic of Decision’ hasil penulisan beliau, menceritakan teori baru berkaitan dengan membuat keputusan dalam keadaan ketidakpastian dan kepercayaan kepada kemungkinan. Hasil penulisan beliau digunakan secara meluas dalam bidang logik termasuk ‘Formal Logic: Its Space and Limits’ dan ‘Computability and Logic’. Beliau juga menghasilkan buku ‘Probability and the Art of Judgement’ dan ‘Subjective Probability: The Real Thing’.277http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms277

p. 286

BAB 13278Bab 13 Kebarangkalian MudahDalam Aktiviti Kreatif, anda telah didedahkan dengan konsep kebarangkalian. Sekarang, mari kita lihat perkaitan antara kekerapan berlakunya suatu peristiwa dengan bilangan cubaan yang dilakukan. Situasi di atas menunjukkan peristiwa yang mungkin berlaku, pasti berlaku dan mustahil berlaku. Ukuran kemungkinan suatu peristiwa berlaku ditentukan oleh nilai antara 0 dengan 1 dikenali sebagai kebarangkalian. 13.1 Kebarangkalian Eksperimen13.1.1 Eksperimen kebarangkalianMelaksanakan eksperimen kebarangkalian mudah, dan seterusnya menentukan nisbah sebagai kebarangkalian eksperimen bagi suatu peristiwa.kekerapan berlakunya suatu peristiwabilangan cubaanTujuan: Melaksana eksperimen kebarangkalian mudahBahan: Sekeping duit syilingLangkah:1.Lambung duit syiling sebanyak 25 kali. 2.Catat kesudahan sama ada memperoleh ‘angka’ atau ‘gambar’.3.Ulangi langkah satu sebanyak 50 kali.4.Ulangi langkah satu sebanyak 100 kali.5.Tulis kesudahan yang diperoleh bagi eksperimen melambung duit syiling dalam jadual.Perbincangan:Bincangkan perkaitan antara nisbah yang diperoleh dengan kebarangkalian eksperimen.Tujuan: Mengenal kebarangkalianBahan: Carta ramalan cuaca dalam tempoh seminggu, guli biru dan merahLangkah:1.Pertimbangkan situasi berikut:(a)Cuaca esok diramalkan hujan.(b)Pilih seorang murid perempuan daripada pasukan Pandu Puteri untuk permainan bola jaring.(c)Kemungkinan sebiji guli berwarna hitam diambil dari kotak yang mengandungi 3 biji guli biru dan 7 biji guli merah.2.Bincangkan kemungkinan setiap situasi di atas berlaku dan nilai yang sesuai untuk mewakili setiap kemungkinan.AKTIVITI KREATIFKebarangkalian ialah ukuran kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa, dinyatakan sama ada dalam bentuk pecahan atau peratusan.Bilangan lambungan NisbahKekerapan muncul25501002550100AngkaGambarkekerapan munculbilangan lambungan

p. 287

BAB 13279Bab 13 Kebarangkalian MudahTujuan:Membuat kesimpulan kebarangkalian eksperimensuatu peristiwaBahan: Perisian geometri dinamikLangkah:1.Buka fail MS279 yang telah disediakan.2.Klik butang Eksperimen Baru.3.Klik butang Mula. Perhatikan pergerakan penanda selari dengan bacaan pada graf.4.Ulangi langkah 2 dan 3 sebanyak 4 kali.Perbincangan:(i)Bincangkan perbezaan graf yang terbentuk pada kelima-lima eksperimen.(ii)Apakah kesimpulan yang boleh dibuat tentang kebarangkalian eksperimen apabila cubaan cukup besar?13.1.2Kebarangkalian eksperimensuatu peristiwaKebarangkalian eksperimen ditafsirkan sebagai kebarangkalian yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Nisbah ‘kekerapan muncul angka terhadap bilangan lambungan’ yang diperoleh daripada aktiviti tersebut ialah kebarangkalian eksperimen bagi peristiwa mendapat ‘angka’. Bolehkah anda nyatakan kebarangkalian eksperimen bagi peristiwa mendapat ‘gambar’? Secara umumnya,Membuat kesimpulan tentang kebarangkalian eksperimen suatu peristiwa apabila bilangan cubaan cukup besar.1.Lakukan eksperimen dengan melambung sebiji dadu adil. Tulis nisbah bilangan memperoleh nombor genap kepada 16 percubaan.13.1Diperhatikan, kelima-lima graf menunjukkan bentuk yang hampir sama. Kesimpulan yang dapat dibuat ialah kebarangkalian eksperimen menuju kepada satu nilai tertentu jika eksperimen diulangi dengan bilangan cubaan yang cukup besar.Fail menunjukkan simulasi kebarangkalian mendapat ‘gambar’ daripada eksperimen melambung duit syiling. Sebanyak 1 200 percubaan melambung duit syiling dilakukan. Daripada graf yang ditunjukkan, kebarangkalian eksperimen mendapat ‘gambar’ daripada 1 200 percubaan menuju kepada satu nilai, iaitu 0.5. Imbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms279 untuk melihat simulasi bagi lambungan syiling.Kekerapan berlakunya peristiwaBilangan cubaanKebarangkalian eskperimen bagi suatu peristiwa =

p. 288

BAB 13280Bab 13 Kebarangkalian Mudah13.2 Kebarangkalian Teori yang Melibatkan Kesudahan Sama Boleh Jadi13.2.1 Ruang sampel bagi suatu eksperimenSebelum memulakan perlawanan bola sepak, pengadil biasanya akan melambung duit syiling untuk menentukan pasukan yang akan memulakan perlawanan. Mengapakah pengadil menggunakan duit syiling, bukan dadu atau benda maujud lain? Apakah ruang sampel bagi kesudahan yang mungkin bagi lambungan duit syiling?Tujuan:Menulis kesudahan yang mungkin bagi lambungan daduBahan: Dadu adilLangkah:1.Lakukan lambungan sebiji dadu adil dan rekodkan nombor yang muncul pada dadu. 2.Lengkapkan jadual di bawah.3.Ulangi beberapa kali langkah 1 sehingga anda pasti bahawa semua nombor pada dadu adil itu telah diperoleh. (Nombor dadu adil yang telah direkodkan tidak perlu dicatat lagi.) 4.Senaraikan semua nombor yang muncul setelah dadu adil dilambung dengan menggunakan tatatanda set, { }.5.Nyatakan perkaitan senarai dalam langkah 4 dengan ruang sampel.Perbincangan: Bincangkan kesudahan yang mungkin bagi lambungan sebiji dadu adil.Nombor dadu yang munculMenentukan ruang sampel dan peristiwa bagi suatu eksperimen.Tatatanda set, { }Set A = {nombor ganjil kurang daripada 10} A ={1, 3, 5, 7, 9}Apabila sebiji dadu adil dilambung, nombor yang tertera boleh jadi 1,2,3,4,5atau6.Walaupunnomboryangsamaterteraberulangkali, namun masih dalam julat 1 hingga 6. Maka, senarai kesudahan bagi lambungan dadu adil ialah nombor 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Ruang sampel bagi lambungan dadu adil ialah, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Duit syiling hanya mempunyai dua permukaan, iaitu ‘angka’dan ‘gambar’. Apakah ruang sampel bagi satu lambungan duit syiling?1. Eksperimen ialah prosedur yang dilakukan untuk memerhati kesudahan yang mungkin.2. Kesudahan ialah keputusan yang mungkin bagi sesuatu eksperimen.3. Ruang sampel ialah semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu eksperimen.

p. 289

BAB 13281Bab 13 Kebarangkalian MudahRuang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen.Gambar rajah pokok dapat membantu anda menerangkan perbezaan tersebut.Apabila anda mengambil kad secara rawak, anda mungkin mendapat pasangan seperti yang tertera pada gambar rajah pokok di atas. Ruang sampel bagi kesudahan aktiviti di atas ialah, S = {(2,3), (2,5), (2,7)}.3572Kotak AKotak BPasangan nombor yang diperoleh(2, 3)(2, 5)(2, 7)Tujuan:Menulis kesudahan menggunakan gambar rajah pokokBahan:Dua kotak kosong berlabel A dan B, 4 keping kad berlabel 2, 3, 5 dan 7Langkah:1.Bentuk satu kumpulan yang terdiri daripada 5 orang ahli.2.Masukkan kad berlabel 2 ke dalam kotak A.3.Masukkan kad berlabel 3, 5 dan 7 ke dalam kotak B.4.Seorang murid mengambil sekeping kad dari kotak A dan sekeping kad dari kotak B.5.Catat pasangan nombor yang diperoleh dalam jadual di bawah.6.Masukkan semula kedua-dua kad ke dalam kotak asal.7.Ulangi langkah 4 hingga 6 sehingga semua ahli kumpulan mempunyai pasangan nombor. Lengkapkan jadual.8.Senaraikan kesudahan yang mungkin menggunakan tatatanda set, { }.Perbincangan:Bincangkan persamaan dan perbezaan bagi kesudahan pasangan nombor yang diperoleh setiap ahli kumpulan.Ahli 1Ahli 2Ahli 3Ahli 4Ahli 5Kotak AKotak BGambar rajah pokok boleh digunakan untuk menunjukkan aliran proses serta untuk menyusun atur dan mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku.

p. 290

BAB 13282Bab 13 Kebarangkalian MudahPeristiwa bagi suatu eksperimenTujuan: Mengenal peristiwaBahan: Dua bola merah, dua bola kuning dan sebuah kotakLangkah:1.Bentuk satu kumpulan yang terdiri daripada 4 orang ahli.2.Tandakan setiap bola dengan simbol M1 dan M2 untuk bola merah manakala K1 dan K2untuk bola kuning.3.Masukkan semua bola ke dalam kotak.4.Seorang ahli kumpulan mengambil dua biji bola dari kotak tersebut satu persatu.5.Catat label bola yang diambil dalam jadual di bawah.6.Masukkan semula kedua-dua bola ke dalam kotak. 7.Ulangi langkah 4 hingga 6 bagi setiap ahli kumpulan. Lengkapkan jadual di bawah.Perbincangan: Senaraikan kesudahan yang memenuhi syarat berikut.(i) Warnakedua-duabolaadalahsama.(ii)Sekurang-kurangnya satu bola berwarna merah.Ahli 1Ahli 2Ahli 3Ahli 4 Bola pertama Bola kedua KesudahanPerbincangan dalam aktiviti di atas mengkehendaki anda menyenaraikan kesudahan yang menepati dua syarat. Syarat pertama ialah kedua-dua bola mempunyai warna yang sama. Syarat kedua ialah salah satu pasangan bola tersebut berwarna merah. Senarai kesudahan aktiviti di atas yang memenuhi syarat tersebut digelar peristiwa.Peristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu bagi suatu ruang sampel dan merupakan subset bagi ruang sampel.CONTOH1SatuhurufdipilihsecararawakdaripadaperkataanSEMPURNA.Senaraikan kesudahan yang mungkin dan tulis unsur dalam ruang sampel bagi eksperimen ini. Nyatakan bilangan unsur dalam ruang sampel.Penyelesaian: PerkataanSEMPURNAterdiridaripadalapanhurufyangberlainan.Maka,kesudahanyangmungkinialahS,E,M,P,U,R,N,A.Ruangsampel,S={S,E,M,P,U,R,N,A}.Bilanganunsurdalam ruang sampel, n(S) = 8.Set A= {1, 3, 5, 7, 9}Set B= {2, 4, 6, 8}Bilangan unsur:Set A, n(A)= 5Set B, n(B)= 4

p. 291

BAB 13283Bab 13 Kebarangkalian MudahCONTOH3Sebuah koperasi sekolah menjual pensel jenama P manakala pemadam yang dijual berwarna merah, hijau, biru dan kuning. Palin ingin membeli sebatang pensel dan satu pemadam dari koperasi tersebut. Dengan bantuan gambar rajah pokok, senaraikan kesudahan yang mungkin dan tulis unsur dalam ruang sampel pasangan barang yang boleh dibeli oleh Palin. Nyatakan bilangan pasangan tersebut.Penyelesaian:Langkah 1: Lukiskan gambar rajah pokok.Langkah 2: Senaraikan unsur dalam ruang sampel, S = {(P,M), (P,H), (P,B), (P,K)}.Maka, bilangan unsur dalam ruang sampel, n(S) = 4CONTOH2Satu nombor dipilih secara rawak daripada nombor perdana 20 hingga 40. Senaraikan kesudahan yang mungkin dan tulis unsur dalam ruang sampel bagi eksperimen ini. Nyatakan bilangan unsur dalam ruang sampel.Penyelesaian:Nombor perdana yang berada di antara 20 hingga 40 ialah 23, 29, 31, 37. Ruang sampel, S = {23, 29, 31, 37}. Bilangan unsur di dalam ruang sampel, n(S) = 4.M (P, M)H (P, H)B (P, B)K (P, K)PCONTOH4Sekeping kad telah dipilih secara rawak dari sebuah kotak yang mengandungi kad bernombor 1 hingga 9. Tentukan sama ada peristiwa berikut mungkin berlaku atau tidak mungkin berlaku.(i)Nombor lebih besar daripada 5.(ii) Nombor dengan dua digit.(iii)Faktor bagi 15.Penyelesaian:Ruang sampel, S = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}(i)Mungkin berlaku(ii) Tidak mungkin berlaku(iii)Mungkin berlakuKesudahan

p. 292

BAB 13284Bab 13 Kebarangkalian MudahLambungan sebiji dadu adil mempunyai enam kesudahan yang mungkin, iaitu nombor 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Diandaikan semua nombor mendapat kebarangkalian sama rata bagi satu lambungan, pertimbangkan peristiwa berikut.(i) Kebarangkalian mendapat nombor 4.(ii)Kebarangkalian mendapat nombor ganjil daripada satu lambungan dadu adil.CONTOH5CONTOH6Dalam satu acara sukaneka, peserta perlu mengambil sekeping kad secara rawak dari balang yang mengandungi kad bertulis huruf K, A, S, U, T. Senaraikan unsur dalam ruang sampel bagi peristiwa memilih(a) huruf konsonan.(b) huruf vokal. Penyelesaian:Ruang sampel, S = {K, A, S, U, T}(a) Huruf konsonan = {K, S, T}(b) Huruf vokal = {A, U}Balang A mengandungi kad berlabel huruf I. Balang B mengandungi kad berlabel huruf I, K, A dan N. Sekeping kad dari balang A dan sekeping kad dari balang B diambil secara rawak.(a)Senaraikan unsur dalam ruang sampel.(b) Senaraikan unsur dalam ruang sampel yang memperoleh(i)pasangan huruf yang sama, X.(ii) sekurang-kurangnya satu huruf konsonan, Y.Penyelesaian:Langkah 1: Lukis gambar rajah pokok.IKANIBalang ABalang BKesudahan(I, I)(I, K)(I, A)(I, N)Langkah 2: Senaraikan unsur dalam ruang sampel.(a)S = {(I, I), (I, K), (I, A), (I, N)}(b)(i) Peristiwa X = {(I, I)}(ii)Peristiwa Y = {(I, K), (I, N)}13.2.2Kebarangkalian suatu peristiwa Membina model kebarangkalian suatu peristiwa, dan seterusnya membuat perkaitan antara kebarangkalian teori dengan kebarangkalian eksperimen.Sekeping duit syiling dilambung dua kali berturutturut. Gambar rajah pokok di bawah menunjukkan kesudahan yang mungkin.1. Nyatakan unsur dalam ruang sampel bagi keduadua lambungan tersebut.2. Apakah kebarangkalian mendapat ‘gambar’dalam kedua-dua lambungan?LambungankeduaLambunganpertama()()()()

p. 293

BAB 13285Bab 13 Kebarangkalian MudahDadu 1+123456123456723456783456789456789105678910116789101112Dadu 2Jadual di sebelah menunjukkan hasil tambah dua biji dadu adil secara teori.Daripada jadual, hasil tambah dua biji dadu adil yang bernilai 5 muncul sebanyak 4 kali. Maka, kebarangkalian memperoleh hasil tambah dua biji dadu yang bernilai 5 daripada jadual ialah 436 = 19. Kebarangkalian ini digelar kebarangkalian teori.Apabila eksperimen melambung dua biji dadu adil dilakukan sebanyak tiga puluh enam percubaan, hasil tambah dua biji dadu adil yang bernilai 5 muncul sebanyak 12 kali. Kebarangkalian memperoleh hasil tambah dua biji dadu adil yang bernilai 5 daripada eksperimen tersebut ialah1236 = 13. Kebarangkalian ini digelar kebarangkalian eskperimen.Daripada senarai kesudahan;(i)Kejadian mendapat nombor 4 hanya sekali. Kebarangkalian mendapat nombor 4 daripada satu lambungan ialah sekali daripada 6, iaitu 16.(ii)Kejadian mendapat nombor ganjil ialah tiga kali, iaitu nombor 1, 3 dan 5. Kebarangkalianmendapat nombor ganjil bagi satu lambungan ialah 3 kali daripada 6, iaitu 36 = 12.Daripada dua situasi di atas, bilangan kesudahan lambungan dadu adil diwakili oleh n(S) dan bilangan kejadian suatu peristiwa diwakili oleh n(A). Kebarangkalian suatu peristiwa diwakili oleh P(A). Maka, kebarangkalian suatu peristiwa A diwakili oleh P(A) = n(A)n(S)Jika eksperimen melambung dua biji dadu adil dilakukan dengan bilangan percubaan yang cukup besar, kebarangkalian eksperimen di atas, �13�menghampiri kebarangkalian teori, �19�seperti rajah di bawah.Imbas QR Code atau layari http:\/\/rimbunanilmu.my\/mat_t2\/ms285untuk menganalisis kebarangkalian teori dan kebarangkalian eksperimen.

p. 294

BAB 13286Bab 13 Kebarangkalian MudahSebiji epal diambil dari sebuah kotak yang mengandungi 25 biji epal hijau dan 35 biji epal merah. Hitung kebarangkalian epal berwarna hijau diambil.Penyelesaian:Bilangan epal hijau = 25 bijiJumlah epal dalam kotak = 60 bijiAnggap A ialah peristiwa mendapat epal hijau.Kebarangkalian mendapat epal hijau, P(epal hijau) = bilangan epal hijaujumlah epal P(A) = n(A)n(S)= 2560 = 512 CONTOH713.2.3 Menentukan kebarangkalianKebarangkalian bagi suatu peristiwa A berlaku, boleh ditentukan dengan,n(A)n(S)P(A) =Menentukan kebarangkalian suatu peristiwa.Kebarangkalian boleh ditulis dalam bentuk pecahan, peratus atau nombor perpuluhan.Pramjit mendapat wang saku sebanyak RM5 pada setiap hari Selasa, Rabu dan Khamis. Hitung kebarangkalian dia mendapat wang sebanyak RM5 dalam empat minggu.Penyelesaian:Anggap A ialah peristiwa mendapat wang saku.Jumlah hari Selasa, Rabu dan Khamis dalam 4 minggu, n(A) = 12 hari Jumlah hari dalam 4 minggu, n(S) = 28 hariKebarangkalian mendapat wang saku sebanyak RM5 dalam 4 minggu, P(A)= n(A)n(S)= 1228 = 37 1.Sebuah kedai basikal mempunyai stok sebanyak 35 buah basikal. Jika kedai tersebut menjual 15 buah basikal pada bulan Januari. Hitung kebarangkalian menjual sebuah basikal pada bulan tersebut.CONTOH813.201tidak akan berlakupasti akan berlaku0.5mungkinberlaku(antara 0 dengan 1)

p. 295

BAB 13287Bab 13 Kebarangkalian MudahTujuan: Mengenal peristiwa pelengkapBahan:Sembilan kad bernombor gandaan 3, papan magnet dan bar magnetLangkah:1.Susun sembilan nombor gandaan 3 yang pertama pada papan magnet.2.Senaraikan unsur A. A ialah peristiwa memilih nombor genap.A = { , , , }3.Senaraikan unsur A'. A' ialah peristiwa memilih bukan nombor genap.A' = { , , , , }4. (i) Hitung kebarangkalian memilih nombor genap, P(A).(ii)Hitung kebarangkalian memilih bukan nombor genap, P(A').Perbincangan:(i) Bincangkan hubungan P(A) dan P(A').(ii)Bincangkan hubungan antara ruang sampel, S dengan set semesta, ξ.13.3 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap13.3.1 Memerihalkan peristiwa pelengkapMemerihalkan peristiwa pelengkap dalam perkataan dan dengan menggunakan tatatanda set.3691215182124272.Jabatan Meteorologi meramalkan bahawa hujan akan turun di negeri pantai timur sekali bagi setiap tiga hari dari bulan November hingga Disember. Hitung kebarangkalian hujan turun dari bulan November hingga Disember.3.Sebuah pasar raya mengadakan cabutan bertuah sempena ulang tahun ke-10 selama seminggu. Pasar raya tersebut mengenakan syarat bahawa setiap pembelian bernilai RM50 layak menghantar satu penyertaan. Pasar raya tersebut merekodkan pemberian kupon penyertaan secara purata sebanyak 30 keping sehari selama seminggu. Danial, seorang peniaga gerai makanan, berbelanja sebanyak RM450 sepanjang tempoh pertandingan. Hitung kebarangkalian Danial memenangi cabutan bertuah tersebut. Daripada aktiviti di atas, set semesta, ξ terdiri daripada sembilan nombor pertama gandaan 3. A ialah subset bagi set semesta. A' ialah pelengkap bagi set A. Hubungan antara set A dengan set semesta ditunjukkan dalam gambar rajah Venn di sebelah. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam suatu ruang sampel S, adalah terdiri daripada semua kesudahan yang bukan kesudahan A.• 3• 9• 21• 27• 15• 12• 18• 24• 6Aξ

p. 296

BAB 13288Bab 13 Kebarangkalian MudahCONTOH9Seorang pekerja di kedai bunga menyusun 15 jambak bunga mengikut bilangan kuntuman bunga dalam kiraan ganjil 1 hingga 30 mengikut tertib menaik. A ialah peristiwa menjual jambak bunga yang mempunyai bilangan kuntuman bunga dengan nilai kuasa dua sempurna. Perihalkan peristiwa pelengkap, A' dalam(i)perkataan.(ii) tatatanda set.Penyelesaian:Ruang sampel, S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}Peristiwa A = {9, 25}(i)A' = peristiwa memilih nombor bukan kuasa dua sempurna.(ii)A' = {1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29}Dalam kebarangkalian, ruang sampel, Sialah set semesta. Jika set A mewakili peristiwa A, maka set A' ialah peristiwa pelengkap bagi peristiwa A.Kebarangkalian memilih nombor genap, P(A) = 49. Kebarangkalian memilih bukan nombor genap, P(A') = 59 . P(A) + P(A') = 49 +59= 99= 1Didapati P(A) + P(A') = 1.Oleh itu, P(A’)=1−P(A), 0 ⩽P(A) ⩽ 1.Jika P(A) = 0, peristiwa Apasti tidak berlakuJika P(A) = 1, peristiwa A pasti berlaku13.3.2 Kebarangkalian peristiwa pelengkap Satu nombor dipilih secara rawak daripada set integer daripada 1 hingga 20. A ialah peristiwa memilih nombor perdana. Hitung kebarangkalian peristiwa pelengkap bagi peristiwa A.CONTOH10Penyelesaian:Ruang sampel, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}Peristiwa A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}Kebarangkalian peristiwa A , P(A)= n(A)n(S)= 820 = 25Menentukan kebarangkalian peristiwa pelengkap.PERHATIANP(A) + P(A') = 1P(A)= 1 – P(A')P(A')= 1 – P(A)1.Untuk peristiwa mendapat ‘angka’apabila duit syiling dilambung, peristiwa pelengkapnya adalah mendapat ‘gambar’.2.Untuk peristiwa memilih hari dalam seminggu, jika {Isnin, Khamis} dipilih, pelengkapnya ialah {Ahad, Selasa, Rabu, Jumaat, Sabtu}.Set A= {2, 4}Set A'= {1, 3, 5, 6}P(A)= 26 = 13P(A') =46 = 233.4.A'A

p. 297

BAB 13289Bab 13 Kebarangkalian MudahCONTOH11Gambar rajah Venn di sebelah menunjukkan unsur dalam set semesta. Hitung kebarangkalian memilih peristiwa pelengkap A'. Penyelesaian:Bilangan unsur peristiwa pelengkap, n(A') = 5Bilangan unsur set semesta = 101.Sebuah bekas mengandungi 5 biji pau kacang, 8 biji pau sambal dan 4 biji pau coklat. Sebiji pau diambil secara rawak dari bekas tersebut. Jika A ialah peristiwa mendapat pau coklat, perihalkan peristiwa pelengkap bagi A dalam(a) perkataan.(b) tatatanda set.2.Sebuah bekas mengandungi sejumlah pen biru dan pen merah. Kebarangkalian memilih satu batang pen biru dari bekas tersebut ialah 35. Hitung kebarangkalian memilih sebatang pen merah dari bekas yang sama.3.Sebuah kedai cenderamata menjual 25 biji cawan kaca, 30 keping bingkai gambar dan 15 rantai kunci dalam masa dua minggu. Hitung kebarangkalian cenderamata yang terjual selain cawan kaca.4.Ali mempunyai wang sebanyak RM73. Sebuah kedai menjual kasut memberi Ali pilihan dengan menawarkan tiga pasang kasut yang berharga kurang RM50 sepasang, empat pasang kasut yang berharga antara RM50 hingga RM70 sepasang dan lima pasang kasut yang berharga lebih RM70 sepasang. Jika B ialah peristiwa Ali membeli sepasang kasut, perihalkan peristiwa pelengkap bagi B dalam (a) perkataan.(b) tatatanda set.5.Sebanyak 10% biji oren daripada tiga kotak oren didapati telah busuk. C ialah peristiwa memperoleh oren yang tidak busuk. Jika sebuah kotak oren mengandungi 30 biji oren, hitung kebarangkalian mengambil satu biji oren yang tidak busuk secara rawak.13.3Kaedah 1:Kebarangkalian peristiwa pelengkap, P(A')= 1 – P(A)= 1 – 820 = 1220 Maka, P(A')= 1220 = 35 Kaedah 2:Peristiwa A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} P(A')= n(A')n(S)= 1220 = 35 •90•93•91•97•94•95•92•94•96•98ABξKebarangkalian peristiwa pelengkap, P(A')= n(A')n(S)= 510 = 12

p. 298

BAB 13290Bab 13 Kebarangkalian MudahMembuat kesimpulan(a) Maka, kebarangkalian kemeja terjual dalam masa sebulan ialah 34. (b)Jumlah keuntungan ialah RM1 080.(c)Jumlah baju yang tidak terjual dalam masa sebulan ialah 20 helai.CONTOH1213.4 Kebarangkalian MudahSeorang usahawan kemeja mampu menghasilkan 80 helai kemeja dalam masa sebulan. Dia berjaya menjual 15 helai kemeja dalam masa seminggu. Keuntungan menjual 15 helai kemeja tersebut ialah Penyelesaian:RM135. Hitung(a)kebarangkalian kemeja terjual dalam masa sebulan.(b)keuntungan yang diperoleh dalam masa dua bulan.(c)kebarangkalian baju yang tidak terjual dalam masa sebulan.Menyelesaikan masalah yang melibatkan kebarangkalian suatu peristiwa.Gambar di atas menunjukkan sebuah roda nombor. Jarum roda nombor tersebut diputarkan dan berhenti secara rawak. Hitung kebarangkalian jarum berhenti pada(i) nombor genap(ii) nombor ganjil(iii) nombor perdana25168734Jadual di bawah menunjukkan penggunaan komputer riba dan tabletmengikut jantina di sebuah kolej.JantinaKomputer ribaTabletJumlahLelaki197190Perempuan84488Jumlah10375178•Apakah kebarangkalian seorang pelajar yang dipilih ialah pengguna komputer riba?•Apakah kebarangkalian seorang pelajar perempuan yang menggunakan tabletakan terpilih?13.4.1 Penyelesaian masalahMerancang strategiMelaksanakan strategiMemahami masalah(a)Kebarangkalian kemeja terjual dalam masa tersebut.(b)Keuntungan yang diperoleh dalam masa dua bulan.(c)Kebarangkalian jumlah baju yang tidak terjual dalam masa sebulan.Ruang sampel, Sn(S) Peristiwa An(A)= Bilangan kemeja yang dihasilkan,= 80= Jumlah baju yang terjual dalam masa sebulan = 60(a) P(A)= n(A)n(S) = 6080 = 34(c)P(A') =1−P(A) =1−34= 14= 34× 80 × 2= 120 helai= 12015 × RM135= RM1 080(b)Jumlah baju terjual dalam masa dua bulanJumlah keuntungan Jumlah baju tidak terjual= 14× 80= 20 helai

p. 299

BAB 13291Bab 13 Kebarangkalian Mudah1.Sebuah kotak mengandungi satu set huruf kad yang dapat membentuk perkataan PEMBELAJARAN.Satukaddiambildarikotakitusecararawak.(a) Senaraikan ruang sampel bagi eksperimen itu.(b) Senaraikan semua unsur bagi peristiwa mengambil huruf vokal. (c) Hitung kebarangkalian mengambil huruf bukan vokal.2.Sebuah raga mengandungi 6 kon mini berwarna biru, 10 kon mini berwarna kuning dan beberapa kon mini berwarna hijau. Satu kon diambil secara rawak dari raga tersebut. Kebarangkalian mendapat kon mini berwarna biru ialah14. Hitung(a) jumlah kon mini di dalam raga tersebut.(b) kebarangkalian memilih kon mini bukan berwarna kuning. 3.Kebarangkalian Aiman membidik panah dengan tepat ialah 85%. Dalam masa satu minit, Aiman mampu membuat 3 bidikan. Hitung bidikan tidak tepat yang dilakukan Aiman dalam masa sejam.4.Sebuah kotak mengandungi 3 biji bola yang bertanda tiga huruf vokal a, e dan i. Sebiji bola diambil secara rawak dari kotak tersebut dan huruf yang diperoleh dicatatkan. Bola tersebut diletakkan kembali ke dalam kotak dan bola kedua diambil secara rawak dari kotak tersebut. Dengan bantuan gambar rajah pokok, (a) senaraikan ruang sampel bagi eksperimen tersebut.(b) senaraikan semua unsur peristiwa pelengkap memperoleh huruf yang berlainan.(c) hitung kebarangkalian peristiwa pelengkap bagi (b).13.4MENJANA KECEMERLANGAN1.Dalam satu pertandingan teka silang kata, seorang peserta telah menghantar 15 borang penyertaan. Kebarangkalian untuk peserta tersebut menang ialah 325. Berapakah jumlah 2. SatusethurufyangdapatmembentukperkataanMENJUSTIFIKASIdiletakdidalamsatukotak. Satu huruf diambil daripada set tersebut secara rawak. Hitung (a) kebarangkalian huruf vokal diambil daripada set tersebut.(b) kebarangkalian peristiwa pelengkap memilih huruf vokal.3.Sebuah bekas mengandungi 35 biji guli berwarna merah dan beberapa biji guli berwarna biru. Sebiji guli diambil secara rawak dari bekas tersebut. Kebarangkalian seorang kanak-kanak mengambil guli berwarna merah ialah 715 . Hitung(a) kebarangkalian memilih guli berwarna biru.(b) bilangan guli berwarna biru.(c) kebarangkalian memilih guli biru jika 8 biji guli merah ditambah.borang penyertaan dalam pertandingan itu?

p. 300

BAB 13292Bab 13 Kebarangkalian MudahINTI PATI BABKEBARANGKALIAN MUDAHPeristiwaPeristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat bagi suatu ruang sampel dan merupakan subset bagi ruang sampel.Ruang SampelRuang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen dan diwakili dengan huruf S.Kebarangkalian bagi peristiwa pelengkap suatu peristiwa, P(A’)P(A) + P(A') = 1P(A') = 1 – P(A)0 ⩽P(A)⩽ 1P(A)Bilangan suatu peristiwa berlakuBilangan kesudahan yang mungkinKebarangkaliansuatu peristiwa n(A)n(S)==5.Kotak A diisi dengan sekeping kad sebutan pertama gandaan 2 dan kotak B diisi dengan tiga keping kad, tiga sebutan pertama gandaan 3. Satu kad diambil secara rawak dari kotak A danB. Dengan bantuan gambar rajah pokok, senaraikan semua unsur dalam ruang sampel bagi eksperimen ini dan hitung kebarangkalian peristiwa mendapat(a) sekurang-kurangnya satu nombor gandaan dua dipilih.(b) sekurang-kurangnya satu nombor gandaan tiga dipilih.(c) satu nombor ganjil.6.Hazrin mempunyai hobi mengumpul setem. Dia mempunyai sejumlah 75 keping setem dari negara Indonesia, Singapura, Thailand, Filipina dan Malaysia. Sekeping setem diambil secara rawak. Kebarangkalian mendapat setem dari Thailand dan Filipina ialah 35. Jika jumlah setem dari Singapura dan Indonesia menyamai jumlah setem dari Malaysia, hitung kebarangkalian mendapat setem dari Malaysia.

p. 301

BAB 13293Bab 13 Kebarangkalian MudahBahagikan kelas anda kepada lima kumpulan. Setiap kumpulan akan membuat lima jenis permainan dan sediakan lima soalan kebarangkalian untuk setiap permainan.Kumpulan 1 : Model 2 biji dadu adil.Kumpulan 2 : Model 2 keping duit syiling berlainan nilai.Kumpulan 3 : Papan putaran.Kumpulan 4 : Kotak hitam yang mengandungi kad bernombor.Kumpulan 5 : Dam ular dan tangga.Kumpulkan permainan tersebut di sudut kelas anda.Pada akhir bab ini, saya dapat:1. Melaksanakan eksperimen kebarangkalian mudah, dan seterusnya menentukan nisbah kekerapan berlakunya suatu peristiwabilangan cubaan sebagai kebarangkalian eksperimen bagi suatu peristiwa.2. Membuat kesimpulan tentang kebarangkalian eksperimen suatu peristiwa apabila bilangan cubaan cukup besar.3.Menentukan ruang sampel dan peristiwa bagi suatu eksperimen.4. Membina model kebarangkalian suatu peristiwa, dan seterusnya membuat perkaitan antara kebarangkalian teori dengan kebarangkalian eksperimen.5. Menentukan kebarangkalian suatu peristiwa.6.Memerihalkan peristiwa pelengkap dalam perkataan dan dengan menggunakan tatatanda set.7.Menentukan kebarangkalian peristiwa pelengkap.8.Menyelesaikan masalah yang melibatkan kebarangkalian suatu peristiwa.REFLEKSI DIRI

p. 302

294BAB 1 POLA DAN JUJUKANJOM CUBA1.11. (a) (b)2.(a)Pola: menambah nombor sebelumnya dengan 7.(b)Pola: menolak nombor sebelumnya dengan 3.(c)Pola: menambah nombor sebelumnya dengan 4.(d) Pola: membahagi nombor sebelumnya dengan 2.(e)Pola: menolak nombor sebelumnya dengan 14.(f)Pola: mendarab nombor sebelumnya dengan –3.3.(i)37, 55, 73, 91, 109…Pola: menambah 18 (ii)28, 46, 64, 82, 100…Pola: menambah 184.1, 1 , 2, 3 , 5 , 8 , 135.2662JOM CUBA1.21.(a)Pola(b)Pola(c)Bukan pola(d)Bukan pola(e)Bukan pola(f)Bukan Pola2.(a)34, 28, 22 , 16, 10 , 4 , …(b)128 , 64 , 32, 16, 8 , 4, …(c)0.07, 0.28 , 1.12, 4.48, 17.92, …(d)1110, 1, 910 , 45 , 710 , …(e)0.2, 2.4, 28.8, 345.6 , 4147.2 , …(f)−400, −80, −16, −3.2 , −0.64 , …(g)34 , 23, 712 , 12 , 512 , …(h)−8.1, −6.1 , −4.1, −2.1, −0.1 , …3.(a)42, 49 , 56, 63 , 70 , 77 , … (b)96, 48 , 24 , 12 , 6 , 3 , …JOM CUBA1.31.(a)Mendarab nombor sebelumnya dengan 3.(b)Membahagi nombor sebelumnya dengan 2.2.(a)2nn = 1, 2, 3, …(b)5 + 3nn = 0, 1, 2, 3, …(c)3 + 3nn = 0, 1, 2, 3, …(d)3 − 2nn = 0, 1, 2, 3, …3.(a)T7 = 45(b)T7 = 13(c)T7 = −7.3T11 = 77T11 = 19T11 = −9.74.(a)30 minit (b)10:00 pagi(c)3:00 petangMENJANA KECEMERLANGAN1.2.(a)menambah 6(b)menolak 4(c)mendarab 3(d)membahagi 63. (a)Nombor+2PerkataanMenambah nombor sebelumnya dengan 2.Ungkapan algebra2xx = 1, 2, 3, 4, …(b)Nombor÷2PerkataanMembahagi nombor sebelumnya dengan 2.Ungkapan algebra1002nn = 0, 1, 2, 3, …4.(a)1, 3, 5, 7 , 9, 11 , …(b)−80 , −40 , −20, −10, −5(c)268, 235 , 202 , 169, 136, 103 , …(d)12, 512 , 13, 14 , 16+18+18

p. 303

295Jawapan5.(a)x = 2(b) (i) Pola ialah −7(ii) Menolak nombor sebelumnya dengan 7(iii) 9 − 7n , n = 0, 1, 2, 3, …6. 0, 1, 1, 2 , 3 , 5 , …7.143326451010518.(a) x = 3(b)−619.(a)Menambah 6(b)6, 12, 18, …(c)(d)36 butang10.841.86 m211. Ubat123Demam8:30 pagi4:30 petang12:30 pagiAntibiotik8:30 pagi8:30 malamSelesema8:30 pagiBAB 2 PEMFAKTORAN DAN PECAHAN ALGEBRAJOM CUBA2.11.(a)(a + 2)(a + 1)(b)(4x – 3)(4x – 3)2.(a)3x + 6(b)32x − 12(c)2a + 10(d)6p2 − 8p(e)− rs4 + r(f)−2pr + 4pq(g)15bc − 18(h)14ef + 21e(i)16g + 8g2h3.(a)a2 + 3a + 2(b)x2 − x − 20(c)10 + 3m − m2(d)12p2 − 11p + 2(e)12r2 − 11r + 2(f)8r2 − 3s2 − 2rs(g)6d2 − 52db + 14b2(h)r2 − 6rs + 9s2(i)16e2 − 24e + 94.(a)17b − 4a + 3(b)−4m − 17mn(c)−5h2+ 4hj + j2(d)3x2 − y2 + 4xy5.(a)4p2 – 12p + 9(b)32y2 – 52y + 1(c)1 – 11x – 6(d)5w2 + w6.p2 − 2p + 27.(5x2 – 17x + 6) m28.√33y2 – 34y + 8JOM CUBA2.21.(a)1, 2, 4, 4y(b)1, b(c)1, w(d)1, 5, m(e)1, c(f)1, 2, b2.(a)5(e + 2)(b)2a(b – 4a)(c)3ab(c + 2a)(d)4x(1 – 3x)(e)f(e + f + g)(f)2x(x – 2y + 3w)3.(a)(b – 9)(b + 9)(b)(a + b)(a – b)(c)(x + 1)(x – 1)(d)(4y – 7)(4y + 7)(e)(m + 7)(m – 1)(f)(2x + 1)(2x − 5)4.(a)(x + 2)(x + 7)(b)(x – 2)(x + 9)(c)(x – 8)(x + 3)(d)(m – 2)(m + 13)(e)(y – 5)(y + 3)(f)(k – 4)2(g)(m – 6)(2m + 1)(h)(3f – 2)2(i)(2m − 4)(m + 4)(j)(2x − 7)(x + 1)(k)(6y − 5)(2y + 3)(l)(5p − 4)(p + 2)(m)(5m − 4)(−m − 2)(n)(− p + 2)(3p − 2)(o)(−2x + 3)(3x + 5)5.(a)(p – r)(q – w)(b)(x + y)(x + 6)(c)(3a + c)(b – 3d)(d)(h + j)(a − b)(e)(m − n)(j + y)(f)(3x + 4p)(3y − z)6.(a)2y2 + 3y − 8(b)1 bidangJOM CUBA2.31.(a)(2b – 5)(2b + 1)(b)(m – 1)(m + 7)(c)(p – 12)(p + 2)(d)7x2 – 7x – 3(e)4c2 – 2c + 92.(a)6y5(b)2m + 7nm – 2n(c)r + s2r + 3s 3.(a)5p – 2p2(b)2s9(c)12 – 3z4(x + y)4.(a)9u + 20v12(b)5t – 12s30st(c)6s + 4r – 8 3rs – 6s5.(a)4m + 3n36(b)6m + n26m2n(c)20 + 3d5d2g6.(a)x – 1y(b)2a + 54(c)1m n(d)12k + 1(e)c – 32

p. 304

296Jawapan7.(a)6(a – 3)(3 + a)(b)hy(k – 2)(h + 3)(c)6m2n(m – n)(n – 2m)(d)2rs −8rrs + 5s − 2r − 108.(a) 2m(x a)(b) 5rs(12r)(c)x + 35x(d)–2f (e +2f )3e(e –3f )9.(a)5a (a + b)3b(2a +3)(b)32a(c)y3x2(d)1eg10.(a)xy (x +1)(x + y)2(b)2q (p +1)2p 1(c)pr (r 1)(q + r)(d)t (2t +1)(2t –1)(s – u)MENJANA KECEMERLANGAN1.(a)3a + 6b(b)n2 – 3n – 10(c)a2 + 4ab + 4b2(d)16x2 – 8xy + y2(e)6v2 + v3w – 29w2(f)13h2 – 10hk + k22.(a)6m(2 – 3m)(b)(y + 9)(y – 9)(c)4ab(1 – 2a)(d)(x – 4y)(x + 4y)(e)(s – 4)(s – 2)(f)(x + 1)(x + 3)(g)(x – 3)(x + 5)(h)(x + 2)(x + 4)(i)(2c – b)(3d – e)3.(a)3a − 2b + 24v(b)12ec − 25abd20abc(c)20 – 3f5f2g(d)pn + 2p + nmm2p(e)15x2 + 2y2 − 2y24xyz(f)9rsz + 4 – 2r36yz4.(k + 4) cm5.4x2 + 4x – 66.(i)25 buah(ii)21 unit7.(i)2x2 + 14x − 10(ii)RM(16x3 + 112x2 − 8��)8.(i)7 + 4x2(ii)2 jam9.3x2+8x +418 cm210.(i) xy(ii) (xy − 2x)m(iii) 18xyBAB 3 RUMUS ALGEBRAJOM CUBA3.11.(a)m = z + qp(b)u = v – 2(c)x = 7w3y(d)b = 43a – 5(e)u = 35q + 5(f)v = 52w + 4(g)b = (2a – 5)23(h)w = 6t(i)m = �4p – 83(j)r = 4s – 732.z = 29.75x + 40.5y3.(a)(i) c = 16(b)(i) p = 2(ii) d = 12(ii) q = 2(c)(i) m = −6(d)(i) n = 13(ii) n = 3(ii) m = 116(e)(i)u = 6(f)(i)p = 0(ii)r= 32(ii)q = 92(iii) s= 4(iii)r= −4(g)(i)a = 13(h)(i)s= 12(ii)b = 2(ii)t= 50(iii)c= 6(iii)u= �744.(a)z = 5.9x + 3.6y(b) b = 24p– 7q(c)P = 0.85(35 m + 76n)(d)x = RM0.1stMENJANA KECEMERLANGAN1.(a)A = x2(b) p = 5 + 3h(c) a = v2 – v1t2.(a) q = m – p–3(b) w = p – x(c) g = 2e– 3h4(d) q = m 8p(e) v = w3(f) n = 8m3(g) v = 36w2 1(h) k = 16f2+ 7

p. 305

297Jawapan3.(a)(i) w = − 2(ii) x = –1519(iii) y = 29(c)(i) p = –16(ii) q = –119(iii) r = 1164.z = 65xy5.t = 1313s minit6.x = 4y = 7BAB 4 POLIGONJOM CUBA4.11.(a) Poligon tak sekata(b) Poligon tak sekata(c) Poligon sekata(d)Poligon sekata(e)Poligon tak sekata(f)Poligon sekata(g)Poligon sekata(h)Poligon sekata(i)Poligon sekata2.(a)satu paksi simetri(b)2 paksi simetri(c)tiada paksi simetri(d)tiada paksi simetri3.Nama PoligonBilangan SisiBilangan BucuBilangan PaksiSimetriHeksagon666Heptagon777Oktagon888Nonagon9994.Jawapan murid5.Jawapan muridJOM CUBA4.21.Bilangan segi tiga di dalam poligonJumlah sudut pedalaman3540°4720°5900°61 080°71 260°(b)(i) b = 29(ii) c = 8(iii) d = 3(d)(i) s = –15(ii) t = −46(iii) u = –2112.(a)Sudut pedalaman: a, g, e, cSudut peluaran: b, d, f, h(b) Sudut pedalaman: a, b, c, d, eSudut peluaran: f, g, h, i, j3.(a)x = 150°(b)x = 100°(c)x = 22°(d)x = 54°4.(a)p = 80°(b)p = 68°q = 55°q = 100°r = 125°r= 88°5.(a)a + b + c = 300°(b)a + b + c = 170°(c)a + b + c = 265°(d)a + b + c = 254°6.(a)7 sisi(b)8 sisi(c)9 sisi7.(a)Dekagon(b)y = 144°8.x = 117°MENJANA KECEMERLANGAN1.(a)Jawapan murid(b)Jawapan murid2.(a)p = 40°(b)p = 45°(c)p = 75°q = 135°q = 95°q = 140°r= 95°r= 50°r= 105°3.(a)x= 50°(b)x = 42.5°(c)x = 80°4.(a)360°45° = 8 sisi(b)360° 36° = 10 sisi(c)360°40° = 9 sisi(d)360°30° = 12 sisi5.(a)x + y = 215°(b)x + y = 180°(c)a + b + c + d = 425°6.Jawapan murid7.17 sisi8.p + q = 276°9.∠CBM = 58°10.(a)h = 20°(b)Sudut pedalaman = 140°Sudut peluaran = 40°(c)Bilangan sisi, n = 360°40° = 9, nonagon11.x = 54°12.Tidak boleh, kerana jumlah sudut pedalaman mesti mempunyai nilai (n − 2) × 180° dengan n = 3, 4, …13.12 sisi14.x = 72°15.x = 12°

p. 306

298JawapanBAB 5 BULATANJOM CUBA5.11. (i) pusat bulatan(ii)diameter(iii)sektor minor(iv)jejari(v)lengkok minor(vi)perentas(vii)tembereng minor2.Jawapan murid3.(a) OQ(b)OQ4.Jawapan murid5.Jawapan muridJOM CUBA5.21.KL = 24 cm2.KOM = 45 cmJOM CUBA5.31.(a)44.00 cm(b) 352.00 cm(c) 28.91 cm(d) 308.00 mm2.(a)7.80 cm(b) 3.90 cm3.(a)1386.00 m2(b) 9 856.00 mm2(c) 154.00 cm2(d) 6.16 cm24.(a)3.50 cm(b) 22.00 cm5.18.87 cm26.102.75 cm27.(a) 14.00 cm(b) 7.04 cm(c)14.70 cm(d)31.51 cm8. (a) 10.8°(b)7.2°(c)25°9.70 cm10.25π − 49MENJANA KECEMERLANGAN1.(a)3 cm(b)3 cm(c)4 cm2.51.71 m23.66 cm24.122.9 cm25.550 cm26.2 827.8 cm2BAB 6 BENTUK GEOMETRI TIGA DIMENSIJOM CUBA6.11. (a)(i) Mempunyai satu tapak berbentuk bulatan.(ii) Mempunyai satu permukaan melengkung yang bertemu di puncak kon.(b)(i) Mempunyai 6 permukaan berbentuk segi empat sama.(ii)Mempunyai sisi dan bucu.(c)(i) Mempunyai satu puncak.(ii) Mempunyai sisi dan bucu.(d)(i) Dua tapak berbentuk bulatan yang kongruen dan selari.(ii) Permukaan sisi melengkung yang mencantumkan dua tapak.2.(a)kon(b) piramid (c) sferaJOM CUBA6.21. (a) (b) (c) (d)2. (a) Prisma heksagon(b) Piramid(c) Prisma segi tiga (d)Prisma segi tigaJOM CUBA6.31. (a) 282.86 cm2(b) 754.29 cm2(c) 84 cm22. (a) 1 257.14 cm2(b) 66 980.57 mm2(c) 1 5150 cm23. (a) 455.71 m2(b) 361.43 cm2(c) 1 428.57 cm2JOM CUBA6.41.(a) 576.19 cm3(b) 618.67 cm3(c) 142.48 cm32. (a) 157.14 cm3(b) 183.43 cm3(c) 146.79 cm33.2 192.67 cm34.2 blok piramidMENJANA KECEMERLANGAN1.(a) Kubus(b) Piramid segi tiga(c) Prisma heksagon2.8 cm3.(a) 60 mm(b) 8.5 cm(c) t = 9 cm

p. 307

299Jawapan4.(a) 4 790.76 cm3(b) 13 967 guli5.30 tiub6.81 ketul manisan7.770 cm28.45 cmBAB 7 KOORDINATJOM CUBA7.11.(a) 4 unit(b) 5 unit(c) 8 unit(d) 14 unit2.(a)4.47 cm(b)1341.64 cm(c)12.37 unit(d)11.4 unit3.(a)4 unit(b)18 unit(c)7 unit(d)1 unit4.(a)a = 3, b = 3(b)a = 1, b = 4(c)a = −2, b = 2(d)a = −4, b = 15.(a)5.66 unit(b)5.83 unit(c)7.07 unit(d)12.53 unit6. 5.39 unit7. 7 unit8. 5.83 unit9.a = 2, b = 710. (a)(4, 1)(b)(2, −1)(c)(5, 2)(d)(0, 0)11.15.91 unit12.15.71 unitJOM CUBA7.21. (a) B(b) B2. (a) (4 , 8)(b) (4 , 2)(c) (2 , 5)3. (a) (3 , 6)(b) (6 , 4)(c) (4 , 0)(d)(−2, 3)4. (a) (−1, 4)(b) (3, −2)(c) (4, 1)(d) (3, 0)5.P(−4, 6)R(−4, −4)6. (a) a = 4 , (b) 8 unit(c) (3 , 4) b = 37. (a) m =4 , (b) (−2 , 6)(c) (2 , −6)n = 68.A(3,−1)9.s = 8 , u = 310.(a)a = 1(b)B(7, 1)JOM CUBA7.31.(a)(−2, 1)(b)(0 , 5)(c) (1, 3)(d)4.47 unit2.(a)14.4 unit(b) (−2, −2)(c)(−2, 4)3.(a)(4, 3)(b) (4 , −3)(c)6 unit4.(a)K(−4,1) (b)(0, 1)L(4, 1)5.(2, 3), 3.6 unitMENJANA KECEMERLANGAN1. (a) K (b) A(c) H(d) D2. (−4, 5)3. P’(6, 2)Q’(3, −4)R’(−3, 0)Jarak P’ Q’ = 6.7 unitJarak R’ Q’ = 7.2 unit4. 20 unit25. 10 unit26. 8 unit2BAB 8 GRAF FUNGSIJOM CUBA8.11. (a) (9, 18)(b) banyak kepada banyak2.b = 73.(a)fungsi(b)fungsi(c)bukan fungsi4.(a)fungsi(b)bukan fungsi5.(a){(10,2), (12, 4), (18, 10), (20, 12)}(b)S10121820R241012(c)2O121820241012RS(d)R = S − 8

p. 308

300Jawapan6.a = 9 b = 157.(a)domain {−5, 2, 4}, (b)domain { −4, 0, 1, 4},julat {0, 8, 15, 16}julat {−5, −3, 1, 2, 4}JOM CUBA8.21.(a)x01234y2581114(b)x01234y0281832(c)x–2–10123y–612310292.(a)x–3–2–10123y–8–6–4–2024(b)x–10123y–4–5–2516(c)x–2–101234y–30–9–6–318751863.(a)x–3–2–101234y23456789Free resources from www.mathsphere.co.uk 3456789O121321234yx(b)x–3–2–10123y–503430–5Free resources from www.mathsphere.co.uk 2–11234O13–4532123yx(c)x–3–2–10123y35169870–19Free resources from www.mathsphere.co.uk 20–1010203040321O123yx(d)x–4–3–2–1–0.50.51234y–1–1.33–2–4–88421.331Free resources from www.mathsphere.co.uk 68O142–2–4–6–84321234yx

p. 309

301Jawapan4.(a) (i) 30 km (ii) 42 km(b) RM82.805.(a)x–2–10123y339–5–9–313(b)(c)Free resources from www.mathsphere.co.uk 5101520253035O–5–1021123yx(d)2.3, −0.4MENJANA KECEMERLANGAN1. (a) Ya (b) Bukan2.(a)Pasangan tertib:{(1, 11), (2, 22), (3, 33), (4, 44), (5, 55)}Jadual:B12345A1122334455Graf:11223344551BA2345Persamaan: f (x) = 11x(b)Pasangan tertib: {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}Jadual:I12345S1491625Graf:36912151821241OSI2345Persamaan: f (x) = x23.(a) (i) L(ii) j(b) L = 4?j 24.(a){(1, 1), (2, 8), (3, 27), (4, 64)}(b)T1234U182764(c) 123410O302050407060TU(d)y = x3 atau f(x) = x35.(a) (i) RM96 (ii) RM90 (iii) RM80(b)x5101520253035404550y9080706050403020100

p. 310

302Jawapan(c)Free resources from www.mathsphere.co.uk 30405060708090100O40201010203050yx(d) (i) Hari ke-50 (ii) Hari ke-286.(a)p0123456A0312274875108(b)Free resources from www.mathsphere.co.uk 30405060708090100110O4620101235PA(c)(i) 80 m2(ii) 75 m27.(a)Bilangan kemeja-T10305070Kos (RM)100200300400(b)RM 50 ialah kos penghantaran.(c) RM 390 (d) 72 helai8.(a)15 m (b) 1.5 saat dan 6.5 saat(c) 8 saat (d) 16 m(e) Menaik dan menurun9.(a)RM8(b)Syarikat A kerana Syarikat A hanya mengenakan bayaran RM4 bagi satu jam penggunaan manakala Syarikat B mengenakan bayaran RM5 bagi satu jam penggunaan.(c)Syarikat B kerana dengan RM7, Zarul boleh menggunakan basikal itu selama 3 jam manakala Syarikat A hanya 2 jam 30 minit sahaja.(d)2 jam pertama(e)RM1010.(a)(i) RM 3 (ii) RM2.80(b)Syarikat Berjaya kerana bayaran yang dikenakan hanya RM4.40 manakala bagi Syarikat Maju bayaran yang dikenakan ialah RM5.(c)Umai mesti memilih Syarikat Berjaya kerana masa perbualannya lebih panjang daripada Syarikat Maju.BAB 9 LAJU DAN PECUTANJOM CUBA9.11. 2.(a) 120 km (b) 1543.5 km(c) 16.5 m (d) 666.67 km 3.8.29 m\/s4.jam 11545.(a) 833.33 m\/min (b) 2.88 km\/j(c) 1.83 km\/minit6.114.29 km\/j7.93.24 km\/jJOM CUBA9.21.SituasiPecutanBetul\/Salah(a)Betul(b)Salah(c)Betul(d)Salah2.(a) 100 km\/j (b) –360 km\/j3.0.5 ms24.8.75 cms2MENJANA KECEMERLANGAN1.Laju Seragam: lif, jam, kipasLaju Tak Seragam: ombak, angin, bas mini2.(a) 180 km\/j2(b) 200 km\/j2(c) 120 km\/j23.(a) 30 minit (b) 7:10 pagi4.(a) A = 185 km, B = 185 min

p. 311

303Jawapan(b) O354150405Jarak (km)Masa (min)AB(c) 52.44 km\/j5.(a) 0.38 m\/min2(b) 5.2 min(c) 1 m\/min (d) 180 saat 6.x = 315 kmBAB 10 KECERUNAN GARIS LURUSJOM CUBA10.11.(a) Jarak mencancang = 4 mJarak mengufuk = 6 m(b) Jarak mencancang = 12 mJarak mengufuk = 3 m (c) Jarak mencancang = 16 m Jarak mengufuk = 2 m2.(a)AB Mencancang = 3 unit Mengufuk = 3 unit (b) CD Mencancang = 8 unit Mengufuk = 1 unit(c)PQ Mencancang = 6 unit Mengufuk = 4 unit3. Mencancang = 36 cmMengufuk = 36 cm4.(a)Mencancang = 6 unitMengufuk = 5 unit(b)Mencancang = 4 unit Mengufuk = 5 unit(c)Mencancang = 4 unitMengufuk = 2 unit(d)Mencancang = 4 unitMengufuk = 4 unit(e) Mencancang = 6 unitMengufuk = 1 unit(f) Mencancang = 9 unitMengufuk = 3 unit5. (a) Pintasan−y= 4Pintasan−x= 8(b) Pintasan−y= −7 Pintasan−x= 3(c) Pintasan−y= 3 Pintasan−x= −5(d) Pintasan−y= –2 Pintasan−x= −16. (a) AB(b) EF7. (a)Negatif(b)Positif (c)Negatif(d)Negatif8. (a) 2(b) 4 (c) 279. (a) 2 (b) 12(c) − 56(d) − 4710.(a) 3(b)9 (c)53(d) − 3411. (a) − 14(b) − 109(c) 83(d) −1MENJANA KECEMERLANGAN1. yx−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 54 321O−1 −2−3(b)(g)(e)(c)(d)(f)(a)(a)Negatif(b)Positif(c)Positif(d)Negatif(e)Positif(f)Negatif(g)Positif2. 1173. (c)mempunyai kecerunan paling curam4. (a)−8(c)−12(e)2(f)−55. −36. Q(−3, 4) 7. Pintasan−x = 98. 439.(−6, 0)10. (a) 0.67(b) 9.01 m11.(a)20 ms−1(b) v = 42 m\/s12.Kecerunan = 32Luas permukaan = 14.42 m2

p. 312

304JawapanBAB 11 TRANSFORMASI ISOMETRIJOM CUBA11.11.(a) Transformasi(b) Transformasi(c) Bukan Transformasi(d) Bukan Transformasi2.(a)T(b)QR(c)∠UVQ3.(a) bukan(b) bukan(c) kongruen kerana sama rupa bentuk(d)kongruen kerana sama rupa bentuk 4.Segi tigaSisiGarisSudutSudutiRQ∠PRQiiBC∠CBAJOM CUBA11.21.(a) Translasi(b) Bukan(c) Translasi(d)Bukan2.(a) (7, −1)(b) (9, 3)(c) (2, −4)(d)(3, −8)3.(a) (−2, −8)(b) (2, −9)(c) (7, −4)(d)(−8, −6)4.(a) 24(b) −6 −8(c)44(d)−3−7 5.(a) (5, −8)(b) (2, 7)(c) (3, 3)(d)(−5, −17)6.(a) (1, −7)(b) (7, −8)JOM CUBA11.31.(b) (c) 2.(a) (b) 3.(a)PQ(b)PQ4.P(−1, 7)Q(−4, −2)R(5, −3)S(8, 7)5.(a)M’M(b)A’A6.(a)Pantulan pada garis y = 6(b)Pantulan pada garis x= −2(c)Pantulan pada garis y = 3(d)Pantulan pada garis y = 17.(a) Pantulan pada paksi−y (b) Pantulan pada paksi−x(c)Pantulan pada paksi−y (d)Pantulan pada garis x = 38. (a) (−3, 7)(b) (7, 4)JOM CUBA11.41.(a) Berputar 90° ikut arah jam berpusat di P.(b) Putaran 90° lawan arah jam berpusat di P(c) Putaran 90° lawan arah jam berpusat di P.(d)Putaran 90° ikut arah jam berpusat di P.2.(a) Putaran 90° ikut arah jam pada titik P.(b) Putaran 180° lawan arah jam \/ ikut arah jam pada titik P(c) Putaran 180° lawan arah jam \/ ikut arah jam pada titik T.(d)Putaran 90° ikut arah jam berpusat di asalan.3.Putaran 90° lawan arah jam pada pusat O.RR'OPutaran 180° pada pusat O.ROR4.Koordinat:P(−4, 0) R(−1, −2)Q(0, 2) S(−1, 6)JOM CUBA11.51.(a) Transformasi isometri(b) Bukan transformasi isometri(c)Transformasi isometri(d)Transformasi isometri2.(a) Transformasi isometri(b) Transformasi isometri(c)Transformasi isometri3.A: TranslasiB: PutaranC: Pantulan4.K, L dan M5.x =100°

p. 313

305JawapanJOM CUBA11.61.(a) (b) (c) (d) 2.(a) Tiada (b) 2 peringkat(c) 4 peringkat(d)1 peringkat3.Ikut arah jamLawan arah jam(i) peringkat 2(ii) peringkat 2(iii) peringkat 5peringkat 4peringkat 4peringkat 14.(2,8)MENJANA KECEMERLANGAN1.(a) F(b) U2.(a)translasi kerana kedudukan berubah(b)bukan(c)translasi kerana kedudukan berubah3.(a)AA'(b)AA'(c)AA'(d)AA'4.(a) (−2, 0)(b) (1, −3)(c) (−7, 2)(d)(−5, 2)(e) (−4, −2)(f)(2, −5)5.(a)MNP(b)MNP(c)MNP(d)MNP6.Koordinat:C’(5, 2)D’(7,−2)E(2, −4)F(3, 1)7.Koordinat:K’(3, −1)L’(1, 3)M(0, 3)N(3, −4)8.(a) (b) (c) (d) 9.(i) −4 −2 2 4 6 6 4 2−2−4WMM'O(ii)W' = (−3, 1)10.(a) Putaran 90° ikut arah jam pada pusat (−1, 1).(b) Putaran 180° lawan arah jam pada pusat (0, 2).(c) Putaran 180° ikut arah jam pada pusat (1, 0). (d)Putaran 90° ikut arah jam pada pusat (1, −1 ).11.(i) OBC(ii) OCD(iii)ODA12.(a)P → Q Pantulan pada garis x = 4Q → R Translasi0−4R → S Putaran 90° ikut arah jam pada pusat (5, 1)(b)(0,4)13.(1, 1)(8, 2)(7, –5)(6, –2)(4, 2)(6, –2)A (1, –1)(8, –4)14.(a)(i) –6–5–4–3–2–1O123456y1–1–2–32345xRR''R(ii) –6–5–4–3–2–1O123456y1–1–2–32345xRR'(b)–6–5–4–3–2–1O123456y1–1–2–32345xSS'''S"SR = ialah pentagon manakala S ialah segi empat

p. 314

306Jawapan15.(i)Translasi −22(ii)Pantulan pada garis GH seperti rajah di bawahABGH(iii)Putaran 90° ikut arah jam berpusat di P seperti rajah di bawahABP(iv)Putaran 90° lawan arah jam berpusat di P seperti rajah di bawahAPB(v)Putaran 180° lawan arah jam \/ ikut arah jam berpusat di P seperti rajah di bawahABP16.(a)–4–3–2–1O123456y1–1–2–3234xPQ(b)–4–3–2–1O123456y1–1–2–3234xPQR(c)Putaran 180° berpusat di asalan17.Zainun akan melalui 3 peringkat simetri ikut arah jam atau 1 peringkat simetri lawan arah jam. Fauzah akan melalui 1 peringkat simetri ikut arah jam atau 3 peringkat simetri lawan arah jam.BAB 12 SUKATAN KECENDERUNGAN MEMUSATJOM CUBA12.11.(a) 1 (b) RM7 dan RM8(c)602.Saiz L3.(a)0.5(b)32 dan 37(c)RM2(d)Kuning4.(a) 7 (b) 42.5(c)105.306.(a)5(b)L7.(a) 7(b)3.068.(a)2(b) 89.1 hari10.(a)Umur (tahun)GundalanKekerapan6 - 10\/111 - 15\/116 - 20\/\/\/\/ \/621 - 25\/\/\/\/426 - 30\/\/\/\/431 - 35\/\/\/\/4(b)Bilangan bola ping pongGundalanKekerapan10 - 19\/120 - 29\/\/230 - 39\/\/\/\/ \/640 - 49\/\/\/\/ \/\/\/850 - 59\/\/260 - 69\/111. (a) min = 11.3 median = 8.5mod = 2(b) median kerana mempunyai nilai ekstrem dalam data, iaitu 4012. (a) min = 7.2median = 7mod = 6(b) min kerana tiada nilai ekstrem dalam data13. (a) min kerana tiada nilai ekstrem dalam data. (b) median kerana data ini data numerik dan terdapat nilai ekstrem dalam datanya.14. (a)Min atau median(b)Mod(c)Min

p. 315

307JawapanMENJANA KECEMERLANGAN1.42.(a) 70 (b) 123.(a) 83 markah (b) 8 bungkus4.205.(a) min = 6.3 median = 6 mod = 6 (b) (i) 8.3, 8, 8 (ii) 12.7, 12, 12 (iii) 4.3, 4, 4(iv) 3.2, 3, 36.167.(a) (i) 284 (ii) 90 (b) 668.(a) (i) 32.27 (b) 60%(ii) 32(iii) 329.(a) (i) 32.17 (b)35(ii) 32(iii) 3210.(a)x + 2 + y + 6 + 14 = 4�� + y + 22= 4�� + y= 40 − 22x + y= 18(b) 6.4(c) (i) 7 (ii) 1011.Emas - YipPerak - RaviGangsa - Malek12.(a)min kerana markah min ialah 85. Alasannya dia masih mendapat A dalam subjek sejarah.(b)74 kerana daripada 5 ujian yang diduduki, 2 kali Joshua memperoleh 74 markah.BAB 13 KEBARANGKALIAN MUDAHJOM CUBA13.11.Jawapan muridJOM CUBA13.21.372. 133. 370JOM CUBA13.31.(a) A' = peristiwa mengambil bukan pau coklat(b) A' = { K1, K2, K3, K4, K5, S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8}2. 253. 9144.(a) B' = peristiwa Ali tidak membeli sepasang kasut(b) B' = { }5. 910JOM CUBA13.41.125 borang2.(a) 37(b) 4 73.(a) 8 15(b) 40 biji(c)4083MENJANA KECEMERLANGAN1.(a) S = { P, E, M, B, E, L, A, J, A, R, A, N}(b) { E1 , E2 , A1 , A2 , A3 }(c)7122.(a) 24 kon(b) 7123.27 bidikan4.(a)S = {(a, a), (a, e), (a, i), (e, a), (e, e), (e, i), (i, a),(i, e), (i, i)}(b)S = {(a, a), (e, e), (i, i)}(c)235.(a) 1(b) 1 (c) 236.15

p. 316

BAB 7308Bab 7 KoordinatAsalan (Origin) Titik persilangan paksi mengufuk dan paksi mencancang dengan koordinat asalan ialah (0,0). Bentangan (Net) Hamparan suatu bongkah tiga dimensi kepada bentuk dua dimensi.Bentuk dua dimensi (Two dimensional shapes) Bentuk yang mempunyai dua ukuran iaitu panjang dan lebar.Bentuk tiga dimensi (Three dimensional shape) Bentuk yang mempunyai tiga ukuran iaitu panjang, lebar dan tinggi.Bulatan (Circle) Bentuk yang terhasil daripada semua titik pada satu satah yang jaraknya sama dari pusat bulatan.Diameter (Diameter) Garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lilitan bulatan atau sfera dan melalui pusat bulatan atau sfera tersebut.Faktor (Factor) Nombor, sebutan atau ungkapan algebra yang membahagi tepat suatu nombor, sebutan atau ungkapan yang diberikan.Faktor sepunya (Common factor) Faktor yang membahagi tepat dua atau lebih nombor atau ungkapan algebra yang lain.Fungsi (Function) Hubungan antara dua pemboleh ubah dalam suatu persamaan. Fungsi bukan linear (Non-linear function) Fungsi yang mempunyai dua pemboleh ubah atau lebih dan kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah tak bersandarnya selain satu.Fungsi linear (Linear function) Fungsi yang mempunyai dua pemboleh ubah atau lebih dan kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah tak bersandarnya ialah satu.Graf fungsi (Graph of function) Graf yang terhasil daripada fungsi tertentu.Hipotenus (Hypotenuse) Sisi yang bertentangan dengan sudut tegak dalam sesuatu segi tiga bersudut tegak.Hubungan (Relation) Perkaitan antara dua atau lebih pemboleh ubah.Ikut arah jam (Clockwise) Arah pergerakan atau putaran seperti arah jarum jam bergerak.308Imej (Image)Refleksidaripadaobjek.Isometri (Isometry) Penjelmaan yang menunjukkan objek asal dan imejnya bersifat kongruen. Jadual kekerapan (Frequency table) Data yang dikumpul di dalam satu jadual.Jadual nilai (Value of table) Jadual yang menunjukkan nilai pemboleh ubah tak bersandar dan nilai pemboleh ubah bersandar dalam suatu fungsi.Jarak (Distance) Panjang atau lebar dua titik kedudukan.Jarak mencancang (Vertical distance) Panjang ukuran menegak.Jarak mengufuk (Horizontal distance) Panjang ukuran melintang.Jejari (Radius) Garis lurus yang menghubungkan pusat dengan titik pada lilitan bulatan atau permukaan sfera.Jujukan (Sequence)Satu set nombor atau objek yang disusun mengikut pola tertentu.Keadaan pegun (Stationary) Keadaan tidak bergerak.Kebarangkalian suatu peristiwa (Probability of an event) Nisbah kekerapan berlakunya suatu peristiwa kepada bilangan cubaan.Kecerunan (Gradient) Nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk di antara dua titik pada suatu garis lurus.Kecondongan (Inclination) Keadaan garisan yang bersudut.Kecuraman (Steepness) Keadaan yang curam dan condong.Kedudukan (Position) Suatu titik dan tempat.Kekongruenan (Congruency) Perihal sama bentuk dan sama saiz.Kembangan dua kurungan (Expansion of two brackets) Apabila dua ungkapan algebra linear didarabkan.Kembangan tunggal (Expansion) Apabila satu ungkapan algebra linear didarab satu sebutan algebra atau suatu nombor.

p. 317

BAB 7309Bab 7 KoordinatKeratan rentas (Cross section) Persilangan suatu bentuk di dalam ruang dua dimensi dengan garis, atau suatu jasad dalam bentuk ruang tiga dimensi dengan satah.Koordinat (Coordinate) Pasangan nombor yang menentukan kedudukan sesuatu titik terhadap paksi-x dan paksi-y.Kuasa dua sempurna (Perfect square) Nombor yang boleh ditulis sebagai kuasa dua satu nombor bulat. Contoh 12 = 1, 22 = 4, 33 = 9. Oleh itu, 1, 4 dan 9 ialah kuasa dua sempurna.Laju (Speed) Kadar perubahan jarak berhubung masa.Laju purata (Average speed) Hasil bahagi jumlah jarak yang dilalui dengan jumlah masa yang sama.Laju seragam (Uniform speed) Perubahan jarak yang sama dalam selang masa yang diambil.Laju tak seragam (Non-uniform speed) Perubahan jarak yang berbeza dalam selang masa yang sama.Lawan arah jam (Anticlockwise) Arah pergerakan bertentangan jarum jam dari kanan ke kiri.Lilitan (Circumference) Perimeter bagi bulatan.Median (Median) Nilai yang terletak di tengahtengah susunan suatu set nombor yang disusun secara tertib.Min (Mean) Nilai yang diperoleh apabila jumlah nilai data dibahagi dengan bilangan data.Mod (Mode) Nilai yang mempunyai kekerapan tertinggi bagi suatu set data.Nilai ekstrem (Extreme value) Nilai melampau sama ada nilai yang terlalu kecil atau nilai yang terlalu besar.Nisbah (Ratio) Pecahan yang membahagi dua atau lebih kuantiti yang sama unit ukurannya.Nombor ganjil (Odd numbers) Nombor integer yang tidak boleh dibahagi tepat dengan angka 2.Nombor genap(Even numbers) Nombor integer yang boleh dibahagi tepat dengan angka 2.Nyahpecutan (Deceleration) Pecutan negatif atau pengurangan halaju terhadap masa.Objek (Object) Bentuk, rajah atau objek asal dalam pelbagai transformasi.Paksi simetri (Axis of symmetry) Garis lurus yang membahagikan sesuatu bentuk atau rajah kepada dua bahagian yang sama saiz dan bentuk.Pantulan (Reflection) Transformasi yang membalikkan titik-titik pada satu satah.Pecahan Algebra (Algebraic fraction) Pecahan yang pengangka atau penyebut atau keduaduanya merupakan sebutan atau ungkapan algebra.Pecutan (Acceleration) Kadar perubahan laju berhubung dengan masa.Pekali (Coefficient) Faktor dalam sesuatu hasil darab.Pemboleh ubah (Variable) Kuantiti yang nilainya tidak diketahui dan tidak tetap, yang boleh mewakili sebarang nilai.Pemboleh ubah bersandar (Dependent variable) Pemboleh ubah yang menjadi perkara dalam suatu rumus.Pemboleh ubah tak bersandar (Independent variable) Pemboleh ubah lain yang bukan perkara dalam suatu rumus.Pengangka (Numerator) Angka atau sebutan yang terletak di bahagian atas suatu pecahan.Penyebut (Denominator) Sebutan atau ungkapan di bawah garis pecahan.Perentas (Chord) Garis lurus yang menyambungkan sebarang dua titik pada lilitan bulatan.Peristiwa (Event) Set kesudahan sesuatu eksperimen.Perkara rumus (Subject of a formula) Suatu pemboleh ubah yang diungkapkan dalam bentuk suatu pemboleh ubah yang lain dan menjadi tajuk suatu rumus.Persamaan linear (Linear equation) Persamaan yang terdiri daripada ungkapan linear.Pintasan (Intercept) Nilai x atau nilai y apabila garis atau lengkung memotong paksi-x atau paksi-y masing-masing.Plot (Plot) Perbuatan menanda titik-titik untuk melukis graf berdasarkan koordinat yang diberikan.Pola nombor (Number pattern)Corak nombor dan urutan nombor yang disusun dalam corak tertentu.309

p. 318

BAB 7310Bab 7 KoordinatPoligon sekata (Regular polygon) Poligon yang mempunyai sisi yang sama panjang dan sudut pedalaman yang sama besar.Pusat (Centre) Titik yang terletak di tengahtengah ruang.Pusat putaran (Centre of rotation) Titik tetap yang padanya setiap titik pada satah berputar melalui sudut dan arah tertentu.Ruang sampel (Sample space)Set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen.Rumus algebra(Algebraic formula)Rumus yang menggunakan nombor, huruf dan tanda operasi dalam bentuk persamaan.Sebutan Algebra (Algebraic expression) Rumus yang menggunakan nombor, huruf dan tanda operasi dalam bentuk persamaan.Sektor(Sector) Bahagian dalam bulatan yang dibatasi oleh dua jejari dan lengkok yang menyambungkan titik hujung dua jejari itu.Sifat geometri (Geometrical characteristic) Sifat dalam bidang matematik berkenaan dengan ukuran dan hubungan antara titik, garis, permukaan dan pepejal.Simetri (Symmetry) Padanan tepat dari segi saiz dan bentuk antara satu bahagian atau sisi suatu arah atau objek.Sisi lurus (Side) Garisan yang membentuk bentuk dua dimensi.Sudut pedalaman (Interior angle) Sudut yang terbentuk oleh dua sisi bersebelahan di dalam sesuatu poligon.Sudut pelengkap (Complementary angle) Dua sudut dengan hasil tambahnya ialah 90°.Sudut peluaran (Exterior angle) Sudut yang terbentuk di antara sisi poligon yang dipanjangkan dengan sisi bersebelahannya.Sudut penggenap (Supplementary angle) Dua sudut dengan hasil tambahnya ialah 180°.Sukatan kecenderungan memusat (Measure of central tendency) Perwakilan bagi sekumpulan data seperti min, median dan mod.Tembereng (Segment) Bahagian suatu bulatan yang disempadani oleh satu lengkok dan perentas yang menghubungkan kedua-dua hujung lengkok tersebut.Titik tengah (Midpoint) Titik yang membahagi dua sama sesuatu tembereng.Transformasi (Transformation)Proses mengubah kedudukan, orientasi atau saiz imej sesuatu objek melalui translasi, pantulan, putaran dan pembesaran.Translasi (Translation) Transformasi yang melibatkan pemindahan semua titik pada suatu satah melalui arah dan jarak yang sama. Ungkapan Algebra (Algebraic expression) Ungkapan yang menggabungkan nombor, pemboleh ubah atau entiti matematik lain dengan operasi.Vektor (Vector) Arah pergerakan.310

p. 319

BAB 7311Bab 7 Koordinat311Allan, R., Capewell, D., Pated, N., & Mullarkey, P., 2008.Maths Links 7B. UK: Oxford University Press.Barzilai, J. & Borwein, J. M., 1988. Two Point Step Size Gradient Methods. Journal of Numerical Analysis, 8: 141-148. Chapin, S.H., Illingworth, M., & Landau, M., 2001. Middle Grades Maths Tools for Success Course 2. New Jersey: Prentice Hall.Coxeter, H.S.M., 1969. Introduction to Geometry. Ed-2,NewYork:JohnWiley&Sons.Edwards, J.T. & John R.B., 2010. Styles and Strategies for TeachingMiddle School Mathematics.USA: Corwin Press.Howard,E.,1953. An Introduction to the History of Mathematics.USA:Holt,RinchartandWinston,Inc.Istilah Matematik untuk Sekolah-sekolah Malaysia, 2003. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.John, M.L., 2013. Axiomatic Geometry, Pure and Applied Undergradute Texts. USA: American Mathematical Society. Joseph, Y., Teh, K.H., Loh, C.H., Ivy, C., Neo,C.H., Jacinth L., Ong, C.H., & Jeffrey, P., 2014. New Syllabus Mathematics.Ed-7, Singapore: Shinglee Publishers Pte. Ltd.Kamus Dewan Edisi Keempat, 2005. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.Paul, B., 2010. Mathematics Pupils' Book. USA: Macmillan.Reviel., N., 2007. The Transformation of Mathematics in the Early Mediterranean World. Kuala Lumpur: Cambridge University Press.Smith,D.E.,1958.History of Mathematics. New York: Dover Publications, Inc.Tay, C.H., Riddington, M., & Grier, M., 2000. New Mathematics Counts for Secondary 1 Normal Academic. Singapore: Times Media.Teh, K.S. & Cooi, C.K., 1982. New Syllabus Mathematics. Singapore: Shinglee Publisher Pte Ltd.

p. 320

BAB 7312Bab 7 Koordinatbentangan 103bentuk tiga dimensi 102berserenjang 83bulatan 86dadu adil 279, 280, 284data 246, 247diameter 81faktor 27Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) 28fungsi 146fungsi bukan linear 144fungsi linear 144garis lurus 150garis serenjang 60graf fungsi 146, 147hipotenus 127hubungan 230identiti pemfaktoran 30ikut arah jam 227, 228imej 210isi padu 110isometri 230, 232jadual kekerapan 246jarak 272jarak mencancang 191jarak mengufuk 191jejari 76, 77jubin algebra 20jujukan 8kebarangkalian eksperimen 278, 279kebarangkalian teori 280kecerunan 190, 191kecondongan 190, 191kecuraman 190, 191kedudukan 135, 208kembangan 21kongruen 210koordinat 132kuasa dua sempurna 29laju 170laju purata 173laju seragam 172laju tak seragam 172lawan arah jam 225lengkok 60, 77lilitan 77luas permukaan 118masa 170median 247min 247mod 247nilai ekstrem 253nisbah 191Nombor Fibonacci 7nombor ganjil 13nombor genap 13nyahpecutan 179objek 208orientasi 210, 212origami 59paksi-x150, 220paksi-y150, 220paksi 222paksi simetri 235pantulan 218pasangan tertib 147pecahan algebra 35pecutan 179pekali 46pembahagi dua 81pemboleh ubah 44pemfaktoran 27penjelmaan 240perentas 82perimeter 46, 94peristiwa 282perkara rumus 46persamaan 153pintasan 198pola 2pola nombor 2poligon sekata 56pusat 76, 101pusat putaran 234ruang sampel 280, 282rumus 46rumus algebra 44satah Cartes 123, 124sebutan 11sebutan algebra 44sebutan serupa 23Segi Tiga Pascal 5sektor 77set 278sifat 101sifat geometri 101simetri 219simetri putaran 234skala 195songsangan 27sudut pedalaman 62sudut pelengkap 62sudut peluaran 62sudut penggenap 54sukatan kecenderungan memusat 262tembereng 132titik tengah 260translasi 230ungkapan algebra 10, 21vektor 213312

p. 321

p. 322